Theorem gsumcom2 18374

Description: Two-dimensional commutation of a group sum. Note that while A and D are constants w.r.t. j , k, C ( j ) and E ( k ) are not. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsum2d2.b	|- B = ( Base ` G )
gsum2d2.z	|- .0. = ( 0g ` G )
gsum2d2.g	|- ( ph -> G e. CMnd )
gsum2d2.a	|- ( ph -> A e. V )
gsum2d2.r	|- ( ( ph /\ j e. A ) -> C e. W )
gsum2d2.f	|- ( ( ph /\ ( j e. A /\ k e. C ) ) -> X e. B )
gsum2d2.u	|- ( ph -> U e. Fin )
gsum2d2.n	|- ( ( ph /\ ( ( j e. A /\ k e. C ) /\ -. j U k ) ) -> X = .0. )
gsumcom2.d	|- ( ph -> D e. Y )
gsumcom2.c	|- ( ph -> ( ( j e. A /\ k e. C ) <-> ( k e. D /\ j e. E ) ) )

Assertion

Ref	Expression
gsumcom2	|- ( ph -> ( G gsumg ( j e. A , k e. C |-> X ) ) = ( G gsumg ( k e. D , j e. E |-> X ) ) )

Distinct variable groups:   j, k, B   D, j, k   j, E   ph, j, k   A, j, k   j, G, k   U, j, k   C, k   j, V   .0. , j, k

Allowed substitution hints:   C( j)   E( k)   V( k)   W( j, k)   X( j, k)   Y( j, k)

Proof of Theorem gsumcom2

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsum2d2.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
2		gsum2d2.z	. . 3 |- .0. = ( 0g ` G )
3		gsum2d2.g	. . 3 |- ( ph -> G e. CMnd )
4		gsum2d2.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. V )
5		snex 4908	. . . . . 6 |- { j } e. _V
6		gsum2d2.r	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> C e. W )
7		xpexg 6960	. . . . . 6 |- ( ( { j } e. _V /\ C e. W ) -> ( { j } X. C ) e. _V )
8	5, 6, 7	sylancr 695	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> ( { j } X. C ) e. _V )
9	8	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( ph -> A. j e. A ( { j } X. C ) e. _V )
10		iunexg 7143	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ A. j e. A ( { j } X. C ) e. _V ) -> U_ j e. A ( { j } X. C ) e. _V )
11	4, 9, 10	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> U_ j e. A ( { j } X. C ) e. _V )
12		gsum2d2.f	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( j e. A /\ k e. C ) ) -> X e. B )
13	12	ralrimivva 2971	. . . 4 |- ( ph -> A. j e. A A. k e. C X e. B )
14		eqid 2622	. . . . 5 |- ( j e. A , k e. C |-> X ) = ( j e. A , k e. C |-> X )
15	14	fmpt2x 7236	. . . 4 |- ( A. j e. A A. k e. C X e. B <-> ( j e. A , k e. C |-> X ) : U_ j e. A ( { j } X. C ) --> B )
16	13, 15	sylib 208	. . 3 |- ( ph -> ( j e. A , k e. C |-> X ) : U_ j e. A ( { j } X. C ) --> B )
17		gsum2d2.u	. . . 4 |- ( ph -> U e. Fin )
18		gsum2d2.n	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( ( j e. A /\ k e. C ) /\ -. j U k ) ) -> X = .0. )
19	1, 2, 3, 4, 6, 12, 17, 18	gsum2d2lem 18372	. . 3 |- ( ph -> ( j e. A , k e. C |-> X ) finSupp .0. )
20		relxp 5227	. . . . . . 7 |- Rel ( { k } X. E )
21	20	rgenw 2924	. . . . . 6 |- A. k e. D Rel ( { k } X. E )
22		reliun 5239	. . . . . 6 |- ( Rel U_ k e. D ( { k } X. E ) <-> A. k e. D Rel ( { k } X. E ) )
23	21, 22	mpbir 221	. . . . 5 |- Rel U_ k e. D ( { k } X. E )
24		cnvf1o 7276	. . . . 5 |- ( Rel U_ k e. D ( { k } X. E ) -> ( z e. U_ k e. D ( { k } X. E ) |-> U. `' { z } ) : U_ k e. D ( { k } X. E ) -1-1-onto-> `' U_ k e. D ( { k } X. E ) )
25	23, 24	ax-mp 5	. . . 4 |- ( z e. U_ k e. D ( { k } X. E ) |-> U. `' { z } ) : U_ k e. D ( { k } X. E ) -1-1-onto-> `' U_ k e. D ( { k } X. E )
26		relxp 5227	. . . . . . . 8 |- Rel ( { j } X. C )
27	26	rgenw 2924	. . . . . . 7 |- A. j e. A Rel ( { j } X. C )
28		reliun 5239	. . . . . . 7 |- ( Rel U_ j e. A ( { j } X. C ) <-> A. j e. A Rel ( { j } X. C ) )
29	27, 28	mpbir 221	. . . . . 6 |- Rel U_ j e. A ( { j } X. C )
30		relcnv 5503	. . . . . 6 |- Rel `' U_ k e. D ( { k } X. E )
31		nfv 1843	. . . . . . . 8 |- F/ k ph
32		nfv 1843	. . . . . . . . 9 |- F/ k <. x , y >. e. U_ j e. A ( { j } X. C )
33		nfiu1 4550	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ k U_ k e. D ( { k } X. E )
34	33	nfcnv 5301	. . . . . . . . . 10 |- F/_ k `' U_ k e. D ( { k } X. E )
35	34	nfel2 2781	. . . . . . . . 9 |- F/ k <. x , y >. e. `' U_ k e. D ( { k } X. E )
36	32, 35	nfbi 1833	. . . . . . . 8 |- F/ k ( <. x , y >. e. U_ j e. A ( { j } X. C ) <-> <. x , y >. e. `' U_ k e. D ( { k } X. E ) )
37	31, 36	nfim 1825	. . . . . . 7 |- F/ k ( ph -> ( <. x , y >. e. U_ j e. A ( { j } X. C ) <-> <. x , y >. e. `' U_ k e. D ( { k } X. E ) ) )
38		opeq2 4403	. . . . . . . . . 10 |- ( k = y -> <. x , k >. = <. x , y >. )
39	38	eleq1d 2686	. . . . . . . . 9 |- ( k = y -> ( <. x , k >. e. U_ j e. A ( { j } X. C ) <-> <. x , y >. e. U_ j e. A ( { j } X. C ) ) )
40	38	eleq1d 2686	. . . . . . . . 9 |- ( k = y -> ( <. x , k >. e. `' U_ k e. D ( { k } X. E ) <-> <. x , y >. e. `' U_ k e. D ( { k } X. E ) ) )
41	39, 40	bibi12d 335	. . . . . . . 8 |- ( k = y -> ( ( <. x , k >. e. U_ j e. A ( { j } X. C ) <-> <. x , k >. e. `' U_ k e. D ( { k } X. E ) ) <-> ( <. x , y >. e. U_ j e. A ( { j } X. C ) <-> <. x , y >. e. `' U_ k e. D ( { k } X. E ) ) ) )
42	41	imbi2d 330	. . . . . . 7 |- ( k = y -> ( ( ph -> ( <. x , k >. e. U_ j e. A ( { j } X. C ) <-> <. x , k >. e. `' U_ k e. D ( { k } X. E ) ) ) <-> ( ph -> ( <. x , y >. e. U_ j e. A ( { j } X. C ) <-> <. x , y >. e. `' U_ k e. D ( { k } X. E ) ) ) ) )
43		nfv 1843	. . . . . . . . 9 |- F/ j ph
44		nfiu1 4550	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ j U_ j e. A ( { j } X. C )
45	44	nfel2 2781	. . . . . . . . . 10 |- F/ j <. x , k >. e. U_ j e. A ( { j } X. C )
46		nfv 1843	. . . . . . . . . 10 |- F/ j <. x , k >. e. `' U_ k e. D ( { k } X. E )
47	45, 46	nfbi 1833	. . . . . . . . 9 |- F/ j ( <. x , k >. e. U_ j e. A ( { j } X. C ) <-> <. x , k >. e. `' U_ k e. D ( { k } X. E ) )
48	43, 47	nfim 1825	. . . . . . . 8 |- F/ j ( ph -> ( <. x , k >. e. U_ j e. A ( { j } X. C ) <-> <. x , k >. e. `' U_ k e. D ( { k } X. E ) ) )
49		opeq1 4402	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = x -> <. j , k >. = <. x , k >. )
50	49	eleq1d 2686	. . . . . . . . . 10 |- ( j = x -> ( <. j , k >. e. U_ j e. A ( { j } X. C ) <-> <. x , k >. e. U_ j e. A ( { j } X. C ) ) )
51	49	eleq1d 2686	. . . . . . . . . 10 |- ( j = x -> ( <. j , k >. e. `' U_ k e. D ( { k } X. E ) <-> <. x , k >. e. `' U_ k e. D ( { k } X. E ) ) )
52	50, 51	bibi12d 335	. . . . . . . . 9 |- ( j = x -> ( ( <. j , k >. e. U_ j e. A ( { j } X. C ) <-> <. j , k >. e. `' U_ k e. D ( { k } X. E ) ) <-> ( <. x , k >. e. U_ j e. A ( { j } X. C ) <-> <. x , k >. e. `' U_ k e. D ( { k } X. E ) ) ) )
53	52	imbi2d 330	. . . . . . . 8 |- ( j = x -> ( ( ph -> ( <. j , k >. e. U_ j e. A ( { j } X. C ) <-> <. j , k >. e. `' U_ k e. D ( { k } X. E ) ) ) <-> ( ph -> ( <. x , k >. e. U_ j e. A ( { j } X. C ) <-> <. x , k >. e. `' U_ k e. D ( { k } X. E ) ) ) ) )
54		gsumcom2.c	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( j e. A /\ k e. C ) <-> ( k e. D /\ j e. E ) ) )
55		opeliunxp 5170	. . . . . . . . . 10 |- ( <. j , k >. e. U_ j e. A ( { j } X. C ) <-> ( j e. A /\ k e. C ) )
56		opeliunxp 5170	. . . . . . . . . 10 |- ( <. k , j >. e. U_ k e. D ( { k } X. E ) <-> ( k e. D /\ j e. E ) )
57	54, 55, 56	3bitr4g 303	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( <. j , k >. e. U_ j e. A ( { j } X. C ) <-> <. k , j >. e. U_ k e. D ( { k } X. E ) ) )
58		vex 3203	. . . . . . . . . 10 |- j e. _V
59		vex 3203	. . . . . . . . . 10 |- k e. _V
60	58, 59	opelcnv 5304	. . . . . . . . 9 |- ( <. j , k >. e. `' U_ k e. D ( { k } X. E ) <-> <. k , j >. e. U_ k e. D ( { k } X. E ) )
61	57, 60	syl6bbr 278	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( <. j , k >. e. U_ j e. A ( { j } X. C ) <-> <. j , k >. e. `' U_ k e. D ( { k } X. E ) ) )
62	48, 53, 61	chvar 2262	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( <. x , k >. e. U_ j e. A ( { j } X. C ) <-> <. x , k >. e. `' U_ k e. D ( { k } X. E ) ) )
63	37, 42, 62	chvar 2262	. . . . . 6 |- ( ph -> ( <. x , y >. e. U_ j e. A ( { j } X. C ) <-> <. x , y >. e. `' U_ k e. D ( { k } X. E ) ) )
64	29, 30, 63	eqrelrdv 5216	. . . . 5 |- ( ph -> U_ j e. A ( { j } X. C ) = `' U_ k e. D ( { k } X. E ) )
65		f1oeq3 6129	. . . . 5 |- ( U_ j e. A ( { j } X. C ) = `' U_ k e. D ( { k } X. E ) -> ( ( z e. U_ k e. D ( { k } X. E ) |-> U. `' { z } ) : U_ k e. D ( { k } X. E ) -1-1-onto-> U_ j e. A ( { j } X. C ) <-> ( z e. U_ k e. D ( { k } X. E ) |-> U. `' { z } ) : U_ k e. D ( { k } X. E ) -1-1-onto-> `' U_ k e. D ( { k } X. E ) ) )
66	64, 65	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( ( z e. U_ k e. D ( { k } X. E ) |-> U. `' { z } ) : U_ k e. D ( { k } X. E ) -1-1-onto-> U_ j e. A ( { j } X. C ) <-> ( z e. U_ k e. D ( { k } X. E ) |-> U. `' { z } ) : U_ k e. D ( { k } X. E ) -1-1-onto-> `' U_ k e. D ( { k } X. E ) ) )
67	25, 66	mpbiri 248	. . 3 |- ( ph -> ( z e. U_ k e. D ( { k } X. E ) |-> U. `' { z } ) : U_ k e. D ( { k } X. E ) -1-1-onto-> U_ j e. A ( { j } X. C ) )
68	1, 2, 3, 11, 16, 19, 67	gsumf1o 18317	. 2 |- ( ph -> ( G gsumg ( j e. A , k e. C |-> X ) ) = ( G gsumg ( ( j e. A , k e. C |-> X ) o. ( z e. U_ k e. D ( { k } X. E ) |-> U. `' { z } ) ) ) )
69		sneq 4187	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = <. x , y >. -> { z } = { <. x , y >. } )
70	69	cnveqd 5298	. . . . . . . . . 10 |- ( z = <. x , y >. -> `' { z } = `' { <. x , y >. } )
71	70	unieqd 4446	. . . . . . . . 9 |- ( z = <. x , y >. -> U. `' { z } = U. `' { <. x , y >. } )
72		opswap 5622	. . . . . . . . 9 |- U. `' { <. x , y >. } = <. y , x >.
73	71, 72	syl6eq 2672	. . . . . . . 8 |- ( z = <. x , y >. -> U. `' { z } = <. y , x >. )
74	73	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( z = <. x , y >. -> ( ( j e. A , k e. C |-> X ) ` U. `' { z } ) = ( ( j e. A , k e. C |-> X ) ` <. y , x >. ) )
75		df-ov 6653	. . . . . . 7 |- ( y ( j e. A , k e. C |-> X ) x ) = ( ( j e. A , k e. C |-> X ) ` <. y , x >. )
76	74, 75	syl6eqr 2674	. . . . . 6 |- ( z = <. x , y >. -> ( ( j e. A , k e. C |-> X ) ` U. `' { z } ) = ( y ( j e. A , k e. C |-> X ) x ) )
77	76	mpt2mptx 6751	. . . . 5 |- ( z e. U_ x e. D ( { x } X. [_ x / k ]_ E ) |-> ( ( j e. A , k e. C |-> X ) ` U. `' { z } ) ) = ( x e. D , y e. [_ x / k ]_ E |-> ( y ( j e. A , k e. C |-> X ) x ) )
78		nfcv 2764	. . . . . . 7 |- F/_ x ( { k } X. E )
79		nfcv 2764	. . . . . . . 8 |- F/_ k { x }
80		nfcsb1v 3549	. . . . . . . 8 |- F/_ k [_ x / k ]_ E
81	79, 80	nfxp 5142	. . . . . . 7 |- F/_ k ( { x } X. [_ x / k ]_ E )
82		sneq 4187	. . . . . . . 8 |- ( k = x -> { k } = { x } )
83		csbeq1a 3542	. . . . . . . 8 |- ( k = x -> E = [_ x / k ]_ E )
84	82, 83	xpeq12d 5140	. . . . . . 7 |- ( k = x -> ( { k } X. E ) = ( { x } X. [_ x / k ]_ E ) )
85	78, 81, 84	cbviun 4557	. . . . . 6 |- U_ k e. D ( { k } X. E ) = U_ x e. D ( { x } X. [_ x / k ]_ E )
86		mpteq1 4737	. . . . . 6 |- ( U_ k e. D ( { k } X. E ) = U_ x e. D ( { x } X. [_ x / k ]_ E ) -> ( z e. U_ k e. D ( { k } X. E ) |-> ( ( j e. A , k e. C |-> X ) ` U. `' { z } ) ) = ( z e. U_ x e. D ( { x } X. [_ x / k ]_ E ) |-> ( ( j e. A , k e. C |-> X ) ` U. `' { z } ) ) )
87	85, 86	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( z e. U_ k e. D ( { k } X. E ) |-> ( ( j e. A , k e. C |-> X ) ` U. `' { z } ) ) = ( z e. U_ x e. D ( { x } X. [_ x / k ]_ E ) |-> ( ( j e. A , k e. C |-> X ) ` U. `' { z } ) )
88		nfcv 2764	. . . . . 6 |- F/_ x E
89		nfcv 2764	. . . . . 6 |- F/_ x ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) k )
90		nfcv 2764	. . . . . 6 |- F/_ y ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) k )
91		nfcv 2764	. . . . . . 7 |- F/_ k y
92		nfmpt22 6723	. . . . . . 7 |- F/_ k ( j e. A , k e. C |-> X )
93		nfcv 2764	. . . . . . 7 |- F/_ k x
94	91, 92, 93	nfov 6676	. . . . . 6 |- F/_ k ( y ( j e. A , k e. C |-> X ) x )
95		nfcv 2764	. . . . . . 7 |- F/_ j y
96		nfmpt21 6722	. . . . . . 7 |- F/_ j ( j e. A , k e. C |-> X )
97		nfcv 2764	. . . . . . 7 |- F/_ j x
98	95, 96, 97	nfov 6676	. . . . . 6 |- F/_ j ( y ( j e. A , k e. C |-> X ) x )
99		oveq2 6658	. . . . . . 7 |- ( k = x -> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) k ) = ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) x ) )
100		oveq1 6657	. . . . . . 7 |- ( j = y -> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) x ) = ( y ( j e. A , k e. C |-> X ) x ) )
101	99, 100	sylan9eq 2676	. . . . . 6 |- ( ( k = x /\ j = y ) -> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) k ) = ( y ( j e. A , k e. C |-> X ) x ) )
102	88, 80, 89, 90, 94, 98, 83, 101	cbvmpt2x 6733	. . . . 5 |- ( k e. D , j e. E |-> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) k ) ) = ( x e. D , y e. [_ x / k ]_ E |-> ( y ( j e. A , k e. C |-> X ) x ) )
103	77, 87, 102	3eqtr4i 2654	. . . 4 |- ( z e. U_ k e. D ( { k } X. E ) |-> ( ( j e. A , k e. C |-> X ) ` U. `' { z } ) ) = ( k e. D , j e. E |-> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) k ) )
104		f1of 6137	. . . . . . 7 |- ( ( z e. U_ k e. D ( { k } X. E ) |-> U. `' { z } ) : U_ k e. D ( { k } X. E ) -1-1-onto-> U_ j e. A ( { j } X. C ) -> ( z e. U_ k e. D ( { k } X. E ) |-> U. `' { z } ) : U_ k e. D ( { k } X. E ) --> U_ j e. A ( { j } X. C ) )
105	67, 104	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( z e. U_ k e. D ( { k } X. E ) |-> U. `' { z } ) : U_ k e. D ( { k } X. E ) --> U_ j e. A ( { j } X. C ) )
106		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( z e. U_ k e. D ( { k } X. E ) |-> U. `' { z } ) = ( z e. U_ k e. D ( { k } X. E ) |-> U. `' { z } )
107	106	fmpt 6381	. . . . . 6 |- ( A. z e. U_ k e. D ( { k } X. E ) U. `' { z } e. U_ j e. A ( { j } X. C ) <-> ( z e. U_ k e. D ( { k } X. E ) |-> U. `' { z } ) : U_ k e. D ( { k } X. E ) --> U_ j e. A ( { j } X. C ) )
108	105, 107	sylibr 224	. . . . 5 |- ( ph -> A. z e. U_ k e. D ( { k } X. E ) U. `' { z } e. U_ j e. A ( { j } X. C ) )
109		eqidd 2623	. . . . 5 |- ( ph -> ( z e. U_ k e. D ( { k } X. E ) |-> U. `' { z } ) = ( z e. U_ k e. D ( { k } X. E ) |-> U. `' { z } ) )
110	16	feqmptd 6249	. . . . 5 |- ( ph -> ( j e. A , k e. C |-> X ) = ( x e. U_ j e. A ( { j } X. C ) |-> ( ( j e. A , k e. C |-> X ) ` x ) ) )
111		fveq2 6191	. . . . 5 |- ( x = U. `' { z } -> ( ( j e. A , k e. C |-> X ) ` x ) = ( ( j e. A , k e. C |-> X ) ` U. `' { z } ) )
112	108, 109, 110, 111	fmptcof 6397	. . . 4 |- ( ph -> ( ( j e. A , k e. C |-> X ) o. ( z e. U_ k e. D ( { k } X. E ) |-> U. `' { z } ) ) = ( z e. U_ k e. D ( { k } X. E ) |-> ( ( j e. A , k e. C |-> X ) ` U. `' { z } ) ) )
113	12	ex 450	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( j e. A /\ k e. C ) -> X e. B ) )
114	14	ovmpt4g 6783	. . . . . . . . . 10 |- ( ( j e. A /\ k e. C /\ X e. B ) -> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) k ) = X )
115	114	3expia 1267	. . . . . . . . 9 |- ( ( j e. A /\ k e. C ) -> ( X e. B -> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) k ) = X ) )
116	113, 115	sylcom 30	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( j e. A /\ k e. C ) -> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) k ) = X ) )
117	54, 116	sylbird 250	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( k e. D /\ j e. E ) -> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) k ) = X ) )
118	117	3impib 1262	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. D /\ j e. E ) -> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) k ) = X )
119	118	eqcomd 2628	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. D /\ j e. E ) -> X = ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) k ) )
120	119	mpt2eq3dva 6719	. . . 4 |- ( ph -> ( k e. D , j e. E |-> X ) = ( k e. D , j e. E |-> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) k ) ) )
121	103, 112, 120	3eqtr4a 2682	. . 3 |- ( ph -> ( ( j e. A , k e. C |-> X ) o. ( z e. U_ k e. D ( { k } X. E ) |-> U. `' { z } ) ) = ( k e. D , j e. E |-> X ) )
122	121	oveq2d 6666	. 2 |- ( ph -> ( G gsumg ( ( j e. A , k e. C |-> X ) o. ( z e. U_ k e. D ( { k } X. E ) |-> U. `' { z } ) ) ) = ( G gsumg ( k e. D , j e. E |-> X ) ) )
123	68, 122	eqtrd 2656	1 |- ( ph -> ( G gsumg ( j e. A , k e. C |-> X ) ) = ( G gsumg ( k e. D , j e. E |-> X ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   [_csb 3533   {csn 4177   <.cop 4183   U.cuni 4436   U_ciun 4520   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   `'ccnv 5113   o. ccom 5118   Rel wrel 5119   -->wf 5884   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   Fincfn 7955   Basecbs 15857   0gc0g 16100   gsum_g cgsu 16101  CMndccmn 18193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-cntz 17750  df-cmn 18195

This theorem is referenced by:  gsumcom  18376  gsumbagdiag  19376