Theorem ordunidif 5773

Description: The union of an ordinal stays the same if a subset equal to one of its elements is removed. (Contributed by NM, 10-Dec-2004.)

Assertion

Ref	Expression
ordunidif	|- ( ( Ord A /\ B e. A ) -> U. ( A \ B ) = U. A )

Proof of Theorem ordunidif

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordelon 5747	. . . . . . . 8 |- ( ( Ord A /\ B e. A ) -> B e. On )
2		onelss 5766	. . . . . . . 8 |- ( B e. On -> ( x e. B -> x C_ B ) )
3	1, 2	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( Ord A /\ B e. A ) -> ( x e. B -> x C_ B ) )
4		eloni 5733	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. On -> Ord B )
5		ordirr 5741	. . . . . . . . . . 11 |- ( Ord B -> -. B e. B )
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. On -> -. B e. B )
7		eldif 3584	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. ( A \ B ) <-> ( B e. A /\ -. B e. B ) )
8	7	simplbi2 655	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. A -> ( -. B e. B -> B e. ( A \ B ) ) )
9	6, 8	syl5 34	. . . . . . . . 9 |- ( B e. A -> ( B e. On -> B e. ( A \ B ) ) )
10	9	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( Ord A /\ B e. A ) -> ( B e. On -> B e. ( A \ B ) ) )
11	1, 10	mpd 15	. . . . . . 7 |- ( ( Ord A /\ B e. A ) -> B e. ( A \ B ) )
12	3, 11	jctild 566	. . . . . 6 |- ( ( Ord A /\ B e. A ) -> ( x e. B -> ( B e. ( A \ B ) /\ x C_ B ) ) )
13	12	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( Ord A /\ B e. A ) /\ x e. A ) -> ( x e. B -> ( B e. ( A \ B ) /\ x C_ B ) ) )
14		sseq2 3627	. . . . . 6 |- ( y = B -> ( x C_ y <-> x C_ B ) )
15	14	rspcev 3309	. . . . 5 |- ( ( B e. ( A \ B ) /\ x C_ B ) -> E. y e. ( A \ B ) x C_ y )
16	13, 15	syl6 35	. . . 4 |- ( ( ( Ord A /\ B e. A ) /\ x e. A ) -> ( x e. B -> E. y e. ( A \ B ) x C_ y ) )
17		eldif 3584	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( A \ B ) <-> ( x e. A /\ -. x e. B ) )
18	17	biimpri 218	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. A /\ -. x e. B ) -> x e. ( A \ B ) )
19		ssid 3624	. . . . . . . 8 |- x C_ x
20	18, 19	jctir 561	. . . . . . 7 |- ( ( x e. A /\ -. x e. B ) -> ( x e. ( A \ B ) /\ x C_ x ) )
21	20	ex 450	. . . . . 6 |- ( x e. A -> ( -. x e. B -> ( x e. ( A \ B ) /\ x C_ x ) ) )
22		sseq2 3627	. . . . . . 7 |- ( y = x -> ( x C_ y <-> x C_ x ) )
23	22	rspcev 3309	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( A \ B ) /\ x C_ x ) -> E. y e. ( A \ B ) x C_ y )
24	21, 23	syl6 35	. . . . 5 |- ( x e. A -> ( -. x e. B -> E. y e. ( A \ B ) x C_ y ) )
25	24	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ( Ord A /\ B e. A ) /\ x e. A ) -> ( -. x e. B -> E. y e. ( A \ B ) x C_ y ) )
26	16, 25	pm2.61d 170	. . 3 |- ( ( ( Ord A /\ B e. A ) /\ x e. A ) -> E. y e. ( A \ B ) x C_ y )
27	26	ralrimiva 2966	. 2 |- ( ( Ord A /\ B e. A ) -> A. x e. A E. y e. ( A \ B ) x C_ y )
28		unidif 4471	. 2 |- ( A. x e. A E. y e. ( A \ B ) x C_ y -> U. ( A \ B ) = U. A )
29	27, 28	syl 17	1 |- ( ( Ord A /\ B e. A ) -> U. ( A \ B ) = U. A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   \ cdif 3571   C_ wss 3574   U.cuni 4436   Ord word 5722   Oncon0 5723

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-tr 4753  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-ord 5726  df-on 5727

This theorem is referenced by: (None)