Theorem ordelon 5747

Description: An element of an ordinal class is an ordinal number. (Contributed by NM, 26-Oct-2003.)

Assertion

Ref	Expression
ordelon	|- ( ( Ord A /\ B e. A ) -> B e. On )

Proof of Theorem ordelon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordelord 5745	. 2 |- ( ( Ord A /\ B e. A ) -> Ord B )
2		elong 5731	. . 3 |- ( B e. A -> ( B e. On <-> Ord B ) )
3	2	adantl 482	. 2 |- ( ( Ord A /\ B e. A ) -> ( B e. On <-> Ord B ) )
4	1, 3	mpbird 247	1 |- ( ( Ord A /\ B e. A ) -> B e. On )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   e. wcel 1990   Ord word 5722   Oncon0 5723

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-tr 4753  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-ord 5726  df-on 5727

This theorem is referenced by:  onelon  5748  ordunidif  5773  ordpwsuc  7015  ordsucun  7025  ordunel  7027  ordunisuc2  7044  oesuclem  7605  odi  7659  oelim2  7675  oeoalem  7676  oeoelem  7678  limenpsi  8135  ordtypelem9  8431  oismo  8445  cantnflt  8569  cantnfp1lem3  8577  cantnflem1b  8583  cantnflem1  8586  rankr1bg  8666  rankr1clem  8683  rankr1c  8684  rankonidlem  8691  infxpenlem  8836  coflim  9083  fin23lem26  9147  fpwwe2lem8  9459  onsuct0  32440  iunord  42422