Theorem orvclteinc 30537

Description: Preimage maps produced by the "lower than or equal" relation are increasing. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Feb-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
dstfrv.1	|- ( ph -> P e. Prob )
dstfrv.2	|- ( ph -> X e. (rRndVar ` P ) )
orvclteinc.1	|- ( ph -> A e. RR )
orvclteinc.2	|- ( ph -> B e. RR )
orvclteinc.3	|- ( ph -> A <_ B )

Assertion

Ref	Expression
orvclteinc	|- ( ph -> ( X∘RV/𝑐 <_ A ) C_ ( X∘RV/𝑐 <_ B ) )

Proof of Theorem orvclteinc

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dstfrv.1	. . . . 5 |- ( ph -> P e. Prob )
2		dstfrv.2	. . . . 5 |- ( ph -> X e. (rRndVar ` P ) )
3	1, 2	rrvf2 30510	. . . 4 |- ( ph -> X : dom X --> RR )
4		ffun 6048	. . . 4 |- ( X : dom X --> RR -> Fun X )
5	3, 4	syl 17	. . 3 |- ( ph -> Fun X )
6		simp2 1062	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR /\ x <_ A ) -> x e. RR )
7		orvclteinc.1	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. RR )
8	7	3ad2ant1 1082	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR /\ x <_ A ) -> A e. RR )
9		orvclteinc.2	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. RR )
10	9	3ad2ant1 1082	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR /\ x <_ A ) -> B e. RR )
11		simp3 1063	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR /\ x <_ A ) -> x <_ A )
12		orvclteinc.3	. . . . . . 7 |- ( ph -> A <_ B )
13	12	3ad2ant1 1082	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR /\ x <_ A ) -> A <_ B )
14	6, 8, 10, 11, 13	letrd 10194	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR /\ x <_ A ) -> x <_ B )
15	14	3expia 1267	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( x <_ A -> x <_ B ) )
16	15	ss2rabdv 3683	. . 3 |- ( ph -> { x e. RR | x <_ A } C_ { x e. RR | x <_ B } )
17		sspreima 29447	. . 3 |- ( ( Fun X /\ { x e. RR | x <_ A } C_ { x e. RR | x <_ B } ) -> ( `' X " { x e. RR | x <_ A } ) C_ ( `' X " { x e. RR | x <_ B } ) )
18	5, 16, 17	syl2anc 693	. 2 |- ( ph -> ( `' X " { x e. RR | x <_ A } ) C_ ( `' X " { x e. RR | x <_ B } ) )
19	1, 2, 7	orrvcval4 30526	. 2 |- ( ph -> ( X∘RV/𝑐 <_ A ) = ( `' X " { x e. RR | x <_ A } ) )
20	1, 2, 9	orrvcval4 30526	. 2 |- ( ph -> ( X∘RV/𝑐 <_ B ) = ( `' X " { x e. RR | x <_ B } ) )
21	18, 19, 20	3sstr4d 3648	1 |- ( ph -> ( X∘RV/𝑐 <_ A ) C_ ( X∘RV/𝑐 <_ B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1037   e. wcel 1990   {crab 2916   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   "cima 5117   Fun wfun 5882   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   <_ cle 10075  Probcprb 30469  rRndVarcrrv 30502  ∘_RV/𝑐corvc 30517

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-ioo 12179  df-topgen 16104  df-top 20699  df-bases 20750  df-esum 30090  df-siga 30171  df-sigagen 30202  df-brsiga 30245  df-meas 30259  df-mbfm 30313  df-prob 30470  df-rrv 30503  df-orvc 30518

This theorem is referenced by:  dstfrvinc  30538  dstfrvclim1  30539