Theorem dstfrvclim1 30539

Description: The limit of the cumulative distribution function is one. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Feb-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Jul-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
dstfrv.1	|- ( ph -> P e. Prob )
dstfrv.2	|- ( ph -> X e. (rRndVar ` P ) )
dstfrv.3	|- ( ph -> F = ( x e. RR |-> ( P ` ( X∘RV/𝑐 <_ x ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
dstfrvclim1	|- ( ph -> F ~~> 1 )

Distinct variable groups:   x, P   x, X   ph, x

Allowed substitution hint:   F( x)

Proof of Theorem dstfrvclim1

Dummy variables i a n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . . . 5 |- ( TopOpen ` ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) ) = ( TopOpen ` ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) )
2		dstfrv.1	. . . . . 6 |- ( ph -> P e. Prob )
3		domprobmeas 30472	. . . . . 6 |- ( P e. Prob -> P e. (measures ` dom P ) )
4	2, 3	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> P e. (measures ` dom P ) )
5	2	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> P e. Prob )
6		dstfrv.2	. . . . . . . 8 |- ( ph -> X e. (rRndVar ` P ) )
7	6	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> X e. (rRndVar ` P ) )
8		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> i e. NN )
9	8	nnred 11035	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> i e. RR )
10	5, 7, 9	orvclteel 30534	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( X∘RV/𝑐 <_ i ) e. dom P )
11		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( i e. NN |-> ( X∘RV/𝑐 <_ i ) ) = ( i e. NN |-> ( X∘RV/𝑐 <_ i ) )
12	10, 11	fmptd 6385	. . . . 5 |- ( ph -> ( i e. NN |-> ( X∘RV/𝑐 <_ i ) ) : NN --> dom P )
13	2	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> P e. Prob )
14	6	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> X e. (rRndVar ` P ) )
15		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> n e. NN )
16	15	nnred 11035	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> n e. RR )
17	15	peano2nnd 11037	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( n + 1 ) e. NN )
18	17	nnred 11035	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( n + 1 ) e. RR )
19	16	lep1d 10955	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> n <_ ( n + 1 ) )
20	13, 14, 16, 18, 19	orvclteinc 30537	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( X∘RV/𝑐 <_ n ) C_ ( X∘RV/𝑐 <_ ( n + 1 ) ) )
21		eqidd 2623	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( i e. NN |-> ( X∘RV/𝑐 <_ i ) ) = ( i e. NN |-> ( X∘RV/𝑐 <_ i ) ) )
22		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ i = n ) -> i = n )
23	22	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ i = n ) -> ( X∘RV/𝑐 <_ i ) = ( X∘RV/𝑐 <_ n ) )
24	13, 14, 16	orvclteel 30534	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( X∘RV/𝑐 <_ n ) e. dom P )
25	21, 23, 15, 24	fvmptd 6288	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( i e. NN |-> ( X∘RV/𝑐 <_ i ) ) ` n ) = ( X∘RV/𝑐 <_ n ) )
26		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ i = ( n + 1 ) ) -> i = ( n + 1 ) )
27	26	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ i = ( n + 1 ) ) -> ( X∘RV/𝑐 <_ i ) = ( X∘RV/𝑐 <_ ( n + 1 ) ) )
28	13, 14, 18	orvclteel 30534	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( X∘RV/𝑐 <_ ( n + 1 ) ) e. dom P )
29	21, 27, 17, 28	fvmptd 6288	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( i e. NN |-> ( X∘RV/𝑐 <_ i ) ) ` ( n + 1 ) ) = ( X∘RV/𝑐 <_ ( n + 1 ) ) )
30	20, 25, 29	3sstr4d 3648	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( i e. NN |-> ( X∘RV/𝑐 <_ i ) ) ` n ) C_ ( ( i e. NN |-> ( X∘RV/𝑐 <_ i ) ) ` ( n + 1 ) ) )
31	1, 4, 12, 30	meascnbl 30282	. . . 4 |- ( ph -> ( P o. ( i e. NN |-> ( X∘RV/𝑐 <_ i ) ) ) ( ~~> t ` ( TopOpen ` ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) ) ) ( P ` U. ran ( i e. NN |-> ( X∘RV/𝑐 <_ i ) ) ) )
32		measfn 30267	. . . . . . . 8 |- ( P e. (measures ` dom P ) -> P Fn dom P )
33		dffn5 6241	. . . . . . . . 9 |- ( P Fn dom P <-> P = ( a e. dom P |-> ( P ` a ) ) )
34	33	biimpi 206	. . . . . . . 8 |- ( P Fn dom P -> P = ( a e. dom P |-> ( P ` a ) ) )
35	4, 32, 34	3syl 18	. . . . . . 7 |- ( ph -> P = ( a e. dom P |-> ( P ` a ) ) )
36		prob01 30475	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. Prob /\ a e. dom P ) -> ( P ` a ) e. ( 0 [,] 1 ) )
37	2, 36	sylan 488	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ a e. dom P ) -> ( P ` a ) e. ( 0 [,] 1 ) )
38	35, 37	fmpt3d 6386	. . . . . 6 |- ( ph -> P : dom P --> ( 0 [,] 1 ) )
39		fco 6058	. . . . . 6 |- ( ( P : dom P --> ( 0 [,] 1 ) /\ ( i e. NN |-> ( X∘RV/𝑐 <_ i ) ) : NN --> dom P ) -> ( P o. ( i e. NN |-> ( X∘RV/𝑐 <_ i ) ) ) : NN --> ( 0 [,] 1 ) )
40	38, 12, 39	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ph -> ( P o. ( i e. NN |-> ( X∘RV/𝑐 <_ i ) ) ) : NN --> ( 0 [,] 1 ) )
41	2, 6	dstfrvunirn 30536	. . . . . . 7 |- ( ph -> U. ran ( i e. NN |-> ( X∘RV/𝑐 <_ i ) ) = U. dom P )
42	2	unveldomd 30477	. . . . . . 7 |- ( ph -> U. dom P e. dom P )
43	41, 42	eqeltrd 2701	. . . . . 6 |- ( ph -> U. ran ( i e. NN |-> ( X∘RV/𝑐 <_ i ) ) e. dom P )
44		prob01 30475	. . . . . 6 |- ( ( P e. Prob /\ U. ran ( i e. NN |-> ( X∘RV/𝑐 <_ i ) ) e. dom P ) -> ( P ` U. ran ( i e. NN |-> ( X∘RV/𝑐 <_ i ) ) ) e. ( 0 [,] 1 ) )
45	2, 43, 44	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ph -> ( P ` U. ran ( i e. NN |-> ( X∘RV/𝑐 <_ i ) ) ) e. ( 0 [,] 1 ) )
46		0xr 10086	. . . . . 6 |- 0 e. RR*
47		pnfxr 10092	. . . . . 6 |- +oo e. RR*
48		0le0 11110	. . . . . 6 |- 0 <_ 0
49		1re 10039	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
50		ltpnf 11954	. . . . . . 7 |- ( 1 e. RR -> 1 < +oo )
51	49, 50	ax-mp 5	. . . . . 6 |- 1 < +oo
52		iccssico 12245	. . . . . 6 |- ( ( ( 0 e. RR* /\ +oo e. RR* ) /\ ( 0 <_ 0 /\ 1 < +oo ) ) -> ( 0 [,] 1 ) C_ ( 0 [,) +oo ) )
53	46, 47, 48, 51, 52	mp4an 709	. . . . 5 |- ( 0 [,] 1 ) C_ ( 0 [,) +oo )
54	1, 40, 45, 53	lmlimxrge0 29994	. . . 4 |- ( ph -> ( ( P o. ( i e. NN |-> ( X∘RV/𝑐 <_ i ) ) ) ( ~~> t ` ( TopOpen ` ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) ) ) ( P ` U. ran ( i e. NN |-> ( X∘RV/𝑐 <_ i ) ) ) <-> ( P o. ( i e. NN |-> ( X∘RV/𝑐 <_ i ) ) ) ~~> ( P ` U. ran ( i e. NN |-> ( X∘RV/𝑐 <_ i ) ) ) ) )
55	31, 54	mpbid 222	. . 3 |- ( ph -> ( P o. ( i e. NN |-> ( X∘RV/𝑐 <_ i ) ) ) ~~> ( P ` U. ran ( i e. NN |-> ( X∘RV/𝑐 <_ i ) ) ) )
56		eqidd 2623	. . . . 5 |- ( ph -> ( i e. NN |-> ( X∘RV/𝑐 <_ i ) ) = ( i e. NN |-> ( X∘RV/𝑐 <_ i ) ) )
57		fveq2 6191	. . . . 5 |- ( a = ( X∘RV/𝑐 <_ i ) -> ( P ` a ) = ( P ` ( X∘RV/𝑐 <_ i ) ) )
58	10, 56, 35, 57	fmptco 6396	. . . 4 |- ( ph -> ( P o. ( i e. NN |-> ( X∘RV/𝑐 <_ i ) ) ) = ( i e. NN |-> ( P ` ( X∘RV/𝑐 <_ i ) ) ) )
59		dstfrv.3	. . . . . . 7 |- ( ph -> F = ( x e. RR |-> ( P ` ( X∘RV/𝑐 <_ x ) ) ) )
60	59	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> F = ( x e. RR |-> ( P ` ( X∘RV/𝑐 <_ x ) ) ) )
61		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ i e. NN ) /\ x = i ) -> x = i )
62	61	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ i e. NN ) /\ x = i ) -> ( X∘RV/𝑐 <_ x ) = ( X∘RV/𝑐 <_ i ) )
63	62	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ i e. NN ) /\ x = i ) -> ( P ` ( X∘RV/𝑐 <_ x ) ) = ( P ` ( X∘RV/𝑐 <_ i ) ) )
64	5, 10	probvalrnd 30486	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( P ` ( X∘RV/𝑐 <_ i ) ) e. RR )
65	60, 63, 9, 64	fvmptd 6288	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( F ` i ) = ( P ` ( X∘RV/𝑐 <_ i ) ) )
66	65	mpteq2dva 4744	. . . 4 |- ( ph -> ( i e. NN |-> ( F ` i ) ) = ( i e. NN |-> ( P ` ( X∘RV/𝑐 <_ i ) ) ) )
67	58, 66	eqtr4d 2659	. . 3 |- ( ph -> ( P o. ( i e. NN |-> ( X∘RV/𝑐 <_ i ) ) ) = ( i e. NN |-> ( F ` i ) ) )
68	41	fveq2d 6195	. . . 4 |- ( ph -> ( P ` U. ran ( i e. NN |-> ( X∘RV/𝑐 <_ i ) ) ) = ( P ` U. dom P ) )
69		probtot 30474	. . . . 5 |- ( P e. Prob -> ( P ` U. dom P ) = 1 )
70	2, 69	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( P ` U. dom P ) = 1 )
71	68, 70	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ph -> ( P ` U. ran ( i e. NN |-> ( X∘RV/𝑐 <_ i ) ) ) = 1 )
72	55, 67, 71	3brtr3d 4684	. 2 |- ( ph -> ( i e. NN |-> ( F ` i ) ) ~~> 1 )
73		1z 11407	. . 3 |- 1 e. ZZ
74		reex 10027	. . . . 5 |- RR e. _V
75	74	mptex 6486	. . . 4 |- ( x e. RR |-> ( P ` ( X∘RV/𝑐 <_ x ) ) ) e. _V
76	59, 75	syl6eqel 2709	. . 3 |- ( ph -> F e. _V )
77		nnuz 11723	. . . 4 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
78		eqid 2622	. . . 4 |- ( i e. NN |-> ( F ` i ) ) = ( i e. NN |-> ( F ` i ) )
79	77, 78	climmpt 14302	. . 3 |- ( ( 1 e. ZZ /\ F e. _V ) -> ( F ~~> 1 <-> ( i e. NN |-> ( F ` i ) ) ~~> 1 ) )
80	73, 76, 79	sylancr 695	. 2 |- ( ph -> ( F ~~> 1 <-> ( i e. NN |-> ( F ` i ) ) ~~> 1 ) )
81	72, 80	mpbird 247	1 |- ( ph -> F ~~> 1 )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ran crn 5115   o. ccom 5118   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   NNcn 11020   ZZcz 11377   [,)cico 12177   [,]cicc 12178   ~~> cli 14215   ↾_s cress 15858   TopOpenctopn 16082   RR*scxrs 16160   ~~> tclm 21030  measurescmeas 30258  Probcprb 30469  rRndVarcrrv 30502  ∘_RV/𝑐corvc 30517

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-ac2 9285  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-ac 8939  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-ordt 16161  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-ps 17200  df-tsr 17201  df-plusf 17241  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-subrg 18778  df-abv 18817  df-lmod 18865  df-scaf 18866  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-lm 21033  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-tmd 21876  df-tgp 21877  df-tsms 21930  df-trg 21963  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-nm 22387  df-ngp 22388  df-nrg 22390  df-nlm 22391  df-ii 22680  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-esum 30090  df-siga 30171  df-sigagen 30202  df-brsiga 30245  df-meas 30259  df-mbfm 30313  df-prob 30470  df-rrv 30503  df-orvc 30518

This theorem is referenced by: (None)