Theorem paddclN 35128

Description: The projective sum of two subspaces is a subspace. Part of Lemma 16.2 of [MaedaMaeda] p. 68. (Contributed by NM, 14-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
paddidm.s	|- S = ( PSubSp ` K )
paddidm.p	|- .+ = ( +P ` K )

Assertion

Ref	Expression
paddclN	|- ( ( K e. HL /\ X e. S /\ Y e. S ) -> ( X .+ Y ) e. S )

Proof of Theorem paddclN

Dummy variables p q r are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1061	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ X e. S /\ Y e. S ) -> K e. HL )
2		eqid 2622	. . . . 5 |- ( Atoms ` K ) = ( Atoms ` K )
3		paddidm.s	. . . . 5 |- S = ( PSubSp ` K )
4	2, 3	psubssat 35040	. . . 4 |- ( ( K e. HL /\ X e. S ) -> X C_ ( Atoms ` K ) )
5	4	3adant3 1081	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ X e. S /\ Y e. S ) -> X C_ ( Atoms ` K ) )
6	2, 3	psubssat 35040	. . . 4 |- ( ( K e. HL /\ Y e. S ) -> Y C_ ( Atoms ` K ) )
7	6	3adant2 1080	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ X e. S /\ Y e. S ) -> Y C_ ( Atoms ` K ) )
8		paddidm.p	. . . 4 |- .+ = ( +P ` K )
9	2, 8	paddssat 35100	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ X C_ ( Atoms ` K ) /\ Y C_ ( Atoms ` K ) ) -> ( X .+ Y ) C_ ( Atoms ` K ) )
10	1, 5, 7, 9	syl3anc 1326	. 2 |- ( ( K e. HL /\ X e. S /\ Y e. S ) -> ( X .+ Y ) C_ ( Atoms ` K ) )
11		olc 399	. . . . 5 |- ( ( p e. ( Atoms ` K ) /\ E. q e. ( X .+ Y ) E. r e. ( X .+ Y ) p ( le ` K ) ( q ( join ` K ) r ) ) -> ( ( p e. ( X .+ Y ) \/ p e. ( X .+ Y ) ) \/ ( p e. ( Atoms ` K ) /\ E. q e. ( X .+ Y ) E. r e. ( X .+ Y ) p ( le ` K ) ( q ( join ` K ) r ) ) ) )
12		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( le ` K ) = ( le ` K )
13		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( join ` K ) = ( join ` K )
14	12, 13, 2, 8	elpadd 35085	. . . . . . 7 |- ( ( K e. HL /\ ( X .+ Y ) C_ ( Atoms ` K ) /\ ( X .+ Y ) C_ ( Atoms ` K ) ) -> ( p e. ( ( X .+ Y ) .+ ( X .+ Y ) ) <-> ( ( p e. ( X .+ Y ) \/ p e. ( X .+ Y ) ) \/ ( p e. ( Atoms ` K ) /\ E. q e. ( X .+ Y ) E. r e. ( X .+ Y ) p ( le ` K ) ( q ( join ` K ) r ) ) ) ) )
15	1, 10, 10, 14	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( K e. HL /\ X e. S /\ Y e. S ) -> ( p e. ( ( X .+ Y ) .+ ( X .+ Y ) ) <-> ( ( p e. ( X .+ Y ) \/ p e. ( X .+ Y ) ) \/ ( p e. ( Atoms ` K ) /\ E. q e. ( X .+ Y ) E. r e. ( X .+ Y ) p ( le ` K ) ( q ( join ` K ) r ) ) ) ) )
16	2, 8	padd4N 35126	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. HL /\ ( X C_ ( Atoms ` K ) /\ Y C_ ( Atoms ` K ) ) /\ ( X C_ ( Atoms ` K ) /\ Y C_ ( Atoms ` K ) ) ) -> ( ( X .+ Y ) .+ ( X .+ Y ) ) = ( ( X .+ X ) .+ ( Y .+ Y ) ) )
17	1, 5, 7, 5, 7, 16	syl122anc 1335	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. HL /\ X e. S /\ Y e. S ) -> ( ( X .+ Y ) .+ ( X .+ Y ) ) = ( ( X .+ X ) .+ ( Y .+ Y ) ) )
18	3, 8	paddidm 35127	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. HL /\ X e. S ) -> ( X .+ X ) = X )
19	18	3adant3 1081	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. HL /\ X e. S /\ Y e. S ) -> ( X .+ X ) = X )
20	3, 8	paddidm 35127	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. HL /\ Y e. S ) -> ( Y .+ Y ) = Y )
21	20	3adant2 1080	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. HL /\ X e. S /\ Y e. S ) -> ( Y .+ Y ) = Y )
22	19, 21	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. HL /\ X e. S /\ Y e. S ) -> ( ( X .+ X ) .+ ( Y .+ Y ) ) = ( X .+ Y ) )
23	17, 22	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ( K e. HL /\ X e. S /\ Y e. S ) -> ( ( X .+ Y ) .+ ( X .+ Y ) ) = ( X .+ Y ) )
24	23	eleq2d 2687	. . . . . 6 |- ( ( K e. HL /\ X e. S /\ Y e. S ) -> ( p e. ( ( X .+ Y ) .+ ( X .+ Y ) ) <-> p e. ( X .+ Y ) ) )
25	15, 24	bitr3d 270	. . . . 5 |- ( ( K e. HL /\ X e. S /\ Y e. S ) -> ( ( ( p e. ( X .+ Y ) \/ p e. ( X .+ Y ) ) \/ ( p e. ( Atoms ` K ) /\ E. q e. ( X .+ Y ) E. r e. ( X .+ Y ) p ( le ` K ) ( q ( join ` K ) r ) ) ) <-> p e. ( X .+ Y ) ) )
26	11, 25	syl5ib 234	. . . 4 |- ( ( K e. HL /\ X e. S /\ Y e. S ) -> ( ( p e. ( Atoms ` K ) /\ E. q e. ( X .+ Y ) E. r e. ( X .+ Y ) p ( le ` K ) ( q ( join ` K ) r ) ) -> p e. ( X .+ Y ) ) )
27	26	expd 452	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ X e. S /\ Y e. S ) -> ( p e. ( Atoms ` K ) -> ( E. q e. ( X .+ Y ) E. r e. ( X .+ Y ) p ( le ` K ) ( q ( join ` K ) r ) -> p e. ( X .+ Y ) ) ) )
28	27	ralrimiv 2965	. 2 |- ( ( K e. HL /\ X e. S /\ Y e. S ) -> A. p e. ( Atoms ` K ) ( E. q e. ( X .+ Y ) E. r e. ( X .+ Y ) p ( le ` K ) ( q ( join ` K ) r ) -> p e. ( X .+ Y ) ) )
29	12, 13, 2, 3	ispsubsp2 35032	. . 3 |- ( K e. HL -> ( ( X .+ Y ) e. S <-> ( ( X .+ Y ) C_ ( Atoms ` K ) /\ A. p e. ( Atoms ` K ) ( E. q e. ( X .+ Y ) E. r e. ( X .+ Y ) p ( le ` K ) ( q ( join ` K ) r ) -> p e. ( X .+ Y ) ) ) ) )
30	29	3ad2ant1 1082	. 2 |- ( ( K e. HL /\ X e. S /\ Y e. S ) -> ( ( X .+ Y ) e. S <-> ( ( X .+ Y ) C_ ( Atoms ` K ) /\ A. p e. ( Atoms ` K ) ( E. q e. ( X .+ Y ) E. r e. ( X .+ Y ) p ( le ` K ) ( q ( join ` K ) r ) -> p e. ( X .+ Y ) ) ) ) )
31	10, 28, 30	mpbir2and 957	1 |- ( ( K e. HL /\ X e. S /\ Y e. S ) -> ( X .+ Y ) e. S )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   lecple 15948   joincjn 16944   Atomscatm 34550   HLchlt 34637   PSubSpcpsubsp 34782   +Pcpadd 35081

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-preset 16928  df-poset 16946  df-plt 16958  df-lub 16974  df-glb 16975  df-join 16976  df-meet 16977  df-p0 17039  df-lat 17046  df-clat 17108  df-oposet 34463  df-ol 34465  df-oml 34466  df-covers 34553  df-ats 34554  df-atl 34585  df-cvlat 34609  df-hlat 34638  df-psubsp 34789  df-padd 35082

This theorem is referenced by:  pmodl42N  35137  pclun2N  35185