Theorem pmodl42N 35137

Description: Lemma derived from modular law. (Contributed by NM, 8-Apr-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmodl42.s	|- S = ( PSubSp ` K )
pmodl42.p	|- .+ = ( +P ` K )

Assertion

Ref	Expression
pmodl42N	|- ( ( ( K e. HL /\ X e. S /\ Y e. S ) /\ ( Z e. S /\ W e. S ) ) -> ( ( ( X .+ Y ) .+ Z ) i^i ( ( X .+ Y ) .+ W ) ) = ( ( X .+ Y ) .+ ( ( X .+ Z ) i^i ( Y .+ W ) ) ) )

Proof of Theorem pmodl42N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		incom 3805	. . . 4 |- ( ( Y .+ ( X .+ Z ) ) i^i ( Y .+ W ) ) = ( ( Y .+ W ) i^i ( Y .+ ( X .+ Z ) ) )
2		simpl1 1064	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. S /\ Y e. S ) /\ ( Z e. S /\ W e. S ) ) -> K e. HL )
3		simpl3 1066	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. S /\ Y e. S ) /\ ( Z e. S /\ W e. S ) ) -> Y e. S )
4		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( Atoms ` K ) = ( Atoms ` K )
5		pmodl42.s	. . . . . . 7 |- S = ( PSubSp ` K )
6	4, 5	psubssat 35040	. . . . . 6 |- ( ( K e. HL /\ Y e. S ) -> Y C_ ( Atoms ` K ) )
7	2, 3, 6	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. S /\ Y e. S ) /\ ( Z e. S /\ W e. S ) ) -> Y C_ ( Atoms ` K ) )
8		simpl2 1065	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. S /\ Y e. S ) /\ ( Z e. S /\ W e. S ) ) -> X e. S )
9	4, 5	psubssat 35040	. . . . . . 7 |- ( ( K e. HL /\ X e. S ) -> X C_ ( Atoms ` K ) )
10	2, 8, 9	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. S /\ Y e. S ) /\ ( Z e. S /\ W e. S ) ) -> X C_ ( Atoms ` K ) )
11		simprl 794	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. S /\ Y e. S ) /\ ( Z e. S /\ W e. S ) ) -> Z e. S )
12	4, 5	psubssat 35040	. . . . . . 7 |- ( ( K e. HL /\ Z e. S ) -> Z C_ ( Atoms ` K ) )
13	2, 11, 12	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. S /\ Y e. S ) /\ ( Z e. S /\ W e. S ) ) -> Z C_ ( Atoms ` K ) )
14		pmodl42.p	. . . . . . 7 |- .+ = ( +P ` K )
15	4, 14	paddssat 35100	. . . . . 6 |- ( ( K e. HL /\ X C_ ( Atoms ` K ) /\ Z C_ ( Atoms ` K ) ) -> ( X .+ Z ) C_ ( Atoms ` K ) )
16	2, 10, 13, 15	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. S /\ Y e. S ) /\ ( Z e. S /\ W e. S ) ) -> ( X .+ Z ) C_ ( Atoms ` K ) )
17		simprr 796	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. S /\ Y e. S ) /\ ( Z e. S /\ W e. S ) ) -> W e. S )
18	5, 14	paddclN 35128	. . . . . 6 |- ( ( K e. HL /\ Y e. S /\ W e. S ) -> ( Y .+ W ) e. S )
19	2, 3, 17, 18	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. S /\ Y e. S ) /\ ( Z e. S /\ W e. S ) ) -> ( Y .+ W ) e. S )
20	4, 5	psubssat 35040	. . . . . . 7 |- ( ( K e. HL /\ W e. S ) -> W C_ ( Atoms ` K ) )
21	2, 17, 20	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. S /\ Y e. S ) /\ ( Z e. S /\ W e. S ) ) -> W C_ ( Atoms ` K ) )
22	4, 14	sspadd1 35101	. . . . . 6 |- ( ( K e. HL /\ Y C_ ( Atoms ` K ) /\ W C_ ( Atoms ` K ) ) -> Y C_ ( Y .+ W ) )
23	2, 7, 21, 22	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. S /\ Y e. S ) /\ ( Z e. S /\ W e. S ) ) -> Y C_ ( Y .+ W ) )
24	4, 5, 14	pmod1i 35134	. . . . . 6 |- ( ( K e. HL /\ ( Y C_ ( Atoms ` K ) /\ ( X .+ Z ) C_ ( Atoms ` K ) /\ ( Y .+ W ) e. S ) ) -> ( Y C_ ( Y .+ W ) -> ( ( Y .+ ( X .+ Z ) ) i^i ( Y .+ W ) ) = ( Y .+ ( ( X .+ Z ) i^i ( Y .+ W ) ) ) ) )
25	24	3impia 1261	. . . . 5 |- ( ( K e. HL /\ ( Y C_ ( Atoms ` K ) /\ ( X .+ Z ) C_ ( Atoms ` K ) /\ ( Y .+ W ) e. S ) /\ Y C_ ( Y .+ W ) ) -> ( ( Y .+ ( X .+ Z ) ) i^i ( Y .+ W ) ) = ( Y .+ ( ( X .+ Z ) i^i ( Y .+ W ) ) ) )
26	2, 7, 16, 19, 23, 25	syl131anc 1339	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. S /\ Y e. S ) /\ ( Z e. S /\ W e. S ) ) -> ( ( Y .+ ( X .+ Z ) ) i^i ( Y .+ W ) ) = ( Y .+ ( ( X .+ Z ) i^i ( Y .+ W ) ) ) )
27	1, 26	syl5reqr 2671	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. S /\ Y e. S ) /\ ( Z e. S /\ W e. S ) ) -> ( Y .+ ( ( X .+ Z ) i^i ( Y .+ W ) ) ) = ( ( Y .+ W ) i^i ( Y .+ ( X .+ Z ) ) ) )
28	27	oveq2d 6666	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. S /\ Y e. S ) /\ ( Z e. S /\ W e. S ) ) -> ( X .+ ( Y .+ ( ( X .+ Z ) i^i ( Y .+ W ) ) ) ) = ( X .+ ( ( Y .+ W ) i^i ( Y .+ ( X .+ Z ) ) ) ) )
29		ssinss1 3841	. . . 4 |- ( ( X .+ Z ) C_ ( Atoms ` K ) -> ( ( X .+ Z ) i^i ( Y .+ W ) ) C_ ( Atoms ` K ) )
30	16, 29	syl 17	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. S /\ Y e. S ) /\ ( Z e. S /\ W e. S ) ) -> ( ( X .+ Z ) i^i ( Y .+ W ) ) C_ ( Atoms ` K ) )
31	4, 14	paddass 35124	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ ( X C_ ( Atoms ` K ) /\ Y C_ ( Atoms ` K ) /\ ( ( X .+ Z ) i^i ( Y .+ W ) ) C_ ( Atoms ` K ) ) ) -> ( ( X .+ Y ) .+ ( ( X .+ Z ) i^i ( Y .+ W ) ) ) = ( X .+ ( Y .+ ( ( X .+ Z ) i^i ( Y .+ W ) ) ) ) )
32	2, 10, 7, 30, 31	syl13anc 1328	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. S /\ Y e. S ) /\ ( Z e. S /\ W e. S ) ) -> ( ( X .+ Y ) .+ ( ( X .+ Z ) i^i ( Y .+ W ) ) ) = ( X .+ ( Y .+ ( ( X .+ Z ) i^i ( Y .+ W ) ) ) ) )
33	4, 14	paddass 35124	. . . . . . 7 |- ( ( K e. HL /\ ( X C_ ( Atoms ` K ) /\ Y C_ ( Atoms ` K ) /\ Z C_ ( Atoms ` K ) ) ) -> ( ( X .+ Y ) .+ Z ) = ( X .+ ( Y .+ Z ) ) )
34	2, 10, 7, 13, 33	syl13anc 1328	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. S /\ Y e. S ) /\ ( Z e. S /\ W e. S ) ) -> ( ( X .+ Y ) .+ Z ) = ( X .+ ( Y .+ Z ) ) )
35	4, 14	padd12N 35125	. . . . . . 7 |- ( ( K e. HL /\ ( X C_ ( Atoms ` K ) /\ Y C_ ( Atoms ` K ) /\ Z C_ ( Atoms ` K ) ) ) -> ( X .+ ( Y .+ Z ) ) = ( Y .+ ( X .+ Z ) ) )
36	2, 10, 7, 13, 35	syl13anc 1328	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. S /\ Y e. S ) /\ ( Z e. S /\ W e. S ) ) -> ( X .+ ( Y .+ Z ) ) = ( Y .+ ( X .+ Z ) ) )
37	34, 36	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. S /\ Y e. S ) /\ ( Z e. S /\ W e. S ) ) -> ( ( X .+ Y ) .+ Z ) = ( Y .+ ( X .+ Z ) ) )
38	4, 14	paddass 35124	. . . . . 6 |- ( ( K e. HL /\ ( X C_ ( Atoms ` K ) /\ Y C_ ( Atoms ` K ) /\ W C_ ( Atoms ` K ) ) ) -> ( ( X .+ Y ) .+ W ) = ( X .+ ( Y .+ W ) ) )
39	2, 10, 7, 21, 38	syl13anc 1328	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. S /\ Y e. S ) /\ ( Z e. S /\ W e. S ) ) -> ( ( X .+ Y ) .+ W ) = ( X .+ ( Y .+ W ) ) )
40	37, 39	ineq12d 3815	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. S /\ Y e. S ) /\ ( Z e. S /\ W e. S ) ) -> ( ( ( X .+ Y ) .+ Z ) i^i ( ( X .+ Y ) .+ W ) ) = ( ( Y .+ ( X .+ Z ) ) i^i ( X .+ ( Y .+ W ) ) ) )
41		incom 3805	. . . 4 |- ( ( Y .+ ( X .+ Z ) ) i^i ( X .+ ( Y .+ W ) ) ) = ( ( X .+ ( Y .+ W ) ) i^i ( Y .+ ( X .+ Z ) ) )
42	40, 41	syl6eq 2672	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. S /\ Y e. S ) /\ ( Z e. S /\ W e. S ) ) -> ( ( ( X .+ Y ) .+ Z ) i^i ( ( X .+ Y ) .+ W ) ) = ( ( X .+ ( Y .+ W ) ) i^i ( Y .+ ( X .+ Z ) ) ) )
43	4, 5	psubssat 35040	. . . . 5 |- ( ( K e. HL /\ ( Y .+ W ) e. S ) -> ( Y .+ W ) C_ ( Atoms ` K ) )
44	2, 19, 43	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. S /\ Y e. S ) /\ ( Z e. S /\ W e. S ) ) -> ( Y .+ W ) C_ ( Atoms ` K ) )
45	5, 14	paddclN 35128	. . . . . 6 |- ( ( K e. HL /\ X e. S /\ Z e. S ) -> ( X .+ Z ) e. S )
46	2, 8, 11, 45	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. S /\ Y e. S ) /\ ( Z e. S /\ W e. S ) ) -> ( X .+ Z ) e. S )
47	5, 14	paddclN 35128	. . . . 5 |- ( ( K e. HL /\ Y e. S /\ ( X .+ Z ) e. S ) -> ( Y .+ ( X .+ Z ) ) e. S )
48	2, 3, 46, 47	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. S /\ Y e. S ) /\ ( Z e. S /\ W e. S ) ) -> ( Y .+ ( X .+ Z ) ) e. S )
49	4, 14	sspadd1 35101	. . . . . 6 |- ( ( K e. HL /\ X C_ ( Atoms ` K ) /\ Z C_ ( Atoms ` K ) ) -> X C_ ( X .+ Z ) )
50	2, 10, 13, 49	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. S /\ Y e. S ) /\ ( Z e. S /\ W e. S ) ) -> X C_ ( X .+ Z ) )
51	4, 14	sspadd2 35102	. . . . . 6 |- ( ( K e. HL /\ ( X .+ Z ) C_ ( Atoms ` K ) /\ Y C_ ( Atoms ` K ) ) -> ( X .+ Z ) C_ ( Y .+ ( X .+ Z ) ) )
52	2, 16, 7, 51	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. S /\ Y e. S ) /\ ( Z e. S /\ W e. S ) ) -> ( X .+ Z ) C_ ( Y .+ ( X .+ Z ) ) )
53	50, 52	sstrd 3613	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. S /\ Y e. S ) /\ ( Z e. S /\ W e. S ) ) -> X C_ ( Y .+ ( X .+ Z ) ) )
54	4, 5, 14	pmod1i 35134	. . . . 5 |- ( ( K e. HL /\ ( X C_ ( Atoms ` K ) /\ ( Y .+ W ) C_ ( Atoms ` K ) /\ ( Y .+ ( X .+ Z ) ) e. S ) ) -> ( X C_ ( Y .+ ( X .+ Z ) ) -> ( ( X .+ ( Y .+ W ) ) i^i ( Y .+ ( X .+ Z ) ) ) = ( X .+ ( ( Y .+ W ) i^i ( Y .+ ( X .+ Z ) ) ) ) ) )
55	54	3impia 1261	. . . 4 |- ( ( K e. HL /\ ( X C_ ( Atoms ` K ) /\ ( Y .+ W ) C_ ( Atoms ` K ) /\ ( Y .+ ( X .+ Z ) ) e. S ) /\ X C_ ( Y .+ ( X .+ Z ) ) ) -> ( ( X .+ ( Y .+ W ) ) i^i ( Y .+ ( X .+ Z ) ) ) = ( X .+ ( ( Y .+ W ) i^i ( Y .+ ( X .+ Z ) ) ) ) )
56	2, 10, 44, 48, 53, 55	syl131anc 1339	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. S /\ Y e. S ) /\ ( Z e. S /\ W e. S ) ) -> ( ( X .+ ( Y .+ W ) ) i^i ( Y .+ ( X .+ Z ) ) ) = ( X .+ ( ( Y .+ W ) i^i ( Y .+ ( X .+ Z ) ) ) ) )
57	42, 56	eqtrd 2656	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. S /\ Y e. S ) /\ ( Z e. S /\ W e. S ) ) -> ( ( ( X .+ Y ) .+ Z ) i^i ( ( X .+ Y ) .+ W ) ) = ( X .+ ( ( Y .+ W ) i^i ( Y .+ ( X .+ Z ) ) ) ) )
58	28, 32, 57	3eqtr4rd 2667	1 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. S /\ Y e. S ) /\ ( Z e. S /\ W e. S ) ) -> ( ( ( X .+ Y ) .+ Z ) i^i ( ( X .+ Y ) .+ W ) ) = ( ( X .+ Y ) .+ ( ( X .+ Z ) i^i ( Y .+ W ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Atomscatm 34550   HLchlt 34637   PSubSpcpsubsp 34782   +Pcpadd 35081

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-preset 16928  df-poset 16946  df-plt 16958  df-lub 16974  df-glb 16975  df-join 16976  df-meet 16977  df-p0 17039  df-lat 17046  df-clat 17108  df-oposet 34463  df-ol 34465  df-oml 34466  df-covers 34553  df-ats 34554  df-atl 34585  df-cvlat 34609  df-hlat 34638  df-psubsp 34789  df-padd 35082

This theorem is referenced by:  pl42lem4N  35268