Theorem pclss2polN 35207

Description: The projective subspace closure is a subset of closed subspace closure. (Contributed by NM, 12-Sep-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pclss2pol.a	|- A = ( Atoms ` K )
pclss2pol.o	|- ._|_ = ( _|_P ` K )
pclss2pol.c	|- U = ( PCl ` K )

Assertion

Ref	Expression
pclss2polN	|- ( ( K e. HL /\ X C_ A ) -> ( U ` X ) C_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) )

Proof of Theorem pclss2polN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 473	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ X C_ A ) -> K e. HL )
2		pclss2pol.a	. . . 4 |- A = ( Atoms ` K )
3		pclss2pol.o	. . . 4 |- ._|_ = ( _|_P ` K )
4	2, 3	2polssN 35201	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ X C_ A ) -> X C_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) )
5	2, 3	polssatN 35194	. . . 4 |- ( ( K e. HL /\ X C_ A ) -> ( ._|_ ` X ) C_ A )
6	2, 3	polssatN 35194	. . . 4 |- ( ( K e. HL /\ ( ._|_ ` X ) C_ A ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) C_ A )
7	5, 6	syldan 487	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ X C_ A ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) C_ A )
8		pclss2pol.c	. . . 4 |- U = ( PCl ` K )
9	2, 8	pclssN 35180	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ X C_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) C_ A ) -> ( U ` X ) C_ ( U ` ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) ) )
10	1, 4, 7, 9	syl3anc 1326	. 2 |- ( ( K e. HL /\ X C_ A ) -> ( U ` X ) C_ ( U ` ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) ) )
11		eqid 2622	. . . . 5 |- ( PSubSp ` K ) = ( PSubSp ` K )
12	2, 11, 3	polsubN 35193	. . . 4 |- ( ( K e. HL /\ ( ._|_ ` X ) C_ A ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) e. ( PSubSp ` K ) )
13	5, 12	syldan 487	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ X C_ A ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) e. ( PSubSp ` K ) )
14	11, 8	pclidN 35182	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) e. ( PSubSp ` K ) ) -> ( U ` ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) ) = ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) )
15	13, 14	syldan 487	. 2 |- ( ( K e. HL /\ X C_ A ) -> ( U ` ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) ) = ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) )
16	10, 15	sseqtrd 3641	1 |- ( ( K e. HL /\ X C_ A ) -> ( U ` X ) C_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   C_ wss 3574   ` cfv 5888   Atomscatm 34550   HLchlt 34637   PSubSpcpsubsp 34782   PClcpclN 35173   _|_PcpolN 35188

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-riotaBAD 34239

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-undef 7399  df-preset 16928  df-poset 16946  df-plt 16958  df-lub 16974  df-glb 16975  df-join 16976  df-meet 16977  df-p0 17039  df-p1 17040  df-lat 17046  df-clat 17108  df-oposet 34463  df-ol 34465  df-oml 34466  df-covers 34553  df-ats 34554  df-atl 34585  df-cvlat 34609  df-hlat 34638  df-psubsp 34789  df-pmap 34790  df-pclN 35174  df-polarityN 35189

This theorem is referenced by:  pcl0N  35208