Theorem polssatN 35194

Description: The polarity of a set of atoms is a set of atoms. (Contributed by NM, 24-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
polssat.a	|- A = ( Atoms ` K )
polssat.p	|- ._|_ = ( _|_P ` K )

Assertion

Ref	Expression
polssatN	|- ( ( K e. HL /\ X C_ A ) -> ( ._|_ ` X ) C_ A )

Proof of Theorem polssatN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		polssat.a	. . 3 |- A = ( Atoms ` K )
2		eqid 2622	. . 3 |- ( PSubSp ` K ) = ( PSubSp ` K )
3		polssat.p	. . 3 |- ._|_ = ( _|_P ` K )
4	1, 2, 3	polsubN 35193	. 2 |- ( ( K e. HL /\ X C_ A ) -> ( ._|_ ` X ) e. ( PSubSp ` K ) )
5	1, 2	psubssat 35040	. 2 |- ( ( K e. HL /\ ( ._|_ ` X ) e. ( PSubSp ` K ) ) -> ( ._|_ ` X ) C_ A )
6	4, 5	syldan 487	1 |- ( ( K e. HL /\ X C_ A ) -> ( ._|_ ` X ) C_ A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   C_ wss 3574   ` cfv 5888   Atomscatm 34550   HLchlt 34637   PSubSpcpsubsp 34782   _|_PcpolN 35188

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-riotaBAD 34239

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-undef 7399  df-preset 16928  df-poset 16946  df-lub 16974  df-glb 16975  df-join 16976  df-meet 16977  df-p1 17040  df-lat 17046  df-clat 17108  df-oposet 34463  df-ol 34465  df-oml 34466  df-ats 34554  df-atl 34585  df-cvlat 34609  df-hlat 34638  df-psubsp 34789  df-pmap 34790  df-polarityN 35189

This theorem is referenced by:  2polcon4bN  35204  polcon2N  35205  pclss2polN  35207  2pmaplubN  35212  paddunN  35213  ispsubcl2N  35233  poml5N  35240  osumcllem1N  35242  osumcllem2N  35243  osumcllem3N  35244  osumcllem9N  35250  osumcllem11N  35252  pexmidN  35255  pexmidlem2N  35257  pexmidlem3N  35258  pexmidlem7N  35262  pexmidlem8N  35263