Theorem plybss 23950

Description: Reverse closure of the parameter S of the polynomial set function. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
plybss	|- ( F e. (Poly ` S ) -> S C_ CC )

Proof of Theorem plybss

Dummy variables k a n z f x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ply 23944	. . . 4 |- Poly = ( x e. ~P CC |-> { f | E. n e. NN0 E. a e. ( ( x u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) } )
2	1	dmmptss 5631	. . 3 |- dom Poly C_ ~P CC
3		elfvdm 6220	. . 3 |- ( F e. (Poly ` S ) -> S e. dom Poly )
4	2, 3	sseldi 3601	. 2 |- ( F e. (Poly ` S ) -> S e. ~P CC )
5	4	elpwid 4170	1 |- ( F e. (Poly ` S ) -> S C_ CC )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   E.wrex 2913   u. cun 3572   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   {csn 4177   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   CCcc 9934   0cc0 9936   x. cmul 9941   NN0cn0 11292   ...cfz 12326   ^cexp 12860   sum_csu 14416  Polycply 23940

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fv 5896  df-ply 23944

This theorem is referenced by:  elply  23951  plyf  23954  plyssc  23956  plyaddlem  23971  plymullem  23972  plysub  23975  dgrlem  23985  coeidlem  23993  plyco  23997  plycj  24033  plyreres  24038  plydivlem3  24050  plydivlem4  24051  elmnc  37706