Theorem plyssc 23956

Description: Every polynomial ring is contained in the ring of polynomials over CC. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
plyssc	|- (Poly ` S ) C_ (Poly ` CC )

Proof of Theorem plyssc

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ss 3972	. . 3 |- (/) C_ (Poly ` CC )
2		sseq1 3626	. . 3 |- ( (Poly ` S ) = (/) -> ( (Poly ` S ) C_ (Poly ` CC ) <-> (/) C_ (Poly ` CC ) ) )
3	1, 2	mpbiri 248	. 2 |- ( (Poly ` S ) = (/) -> (Poly ` S ) C_ (Poly ` CC ) )
4		n0 3931	. . 3 |- ( (Poly ` S ) =/= (/) <-> E. f f e. (Poly ` S ) )
5		plybss 23950	. . . . 5 |- ( f e. (Poly ` S ) -> S C_ CC )
6		ssid 3624	. . . . 5 |- CC C_ CC
7		plyss 23955	. . . . 5 |- ( ( S C_ CC /\ CC C_ CC ) -> (Poly ` S ) C_ (Poly ` CC ) )
8	5, 6, 7	sylancl 694	. . . 4 |- ( f e. (Poly ` S ) -> (Poly ` S ) C_ (Poly ` CC ) )
9	8	exlimiv 1858	. . 3 |- ( E. f f e. (Poly ` S ) -> (Poly ` S ) C_ (Poly ` CC ) )
10	4, 9	sylbi 207	. 2 |- ( (Poly ` S ) =/= (/) -> (Poly ` S ) C_ (Poly ` CC ) )
11	3, 10	pm2.61ine 2877	1 |- (Poly ` S ) C_ (Poly ` CC )

Syntax hints:   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ` cfv 5888   CCcc 9934  Polycply 23940

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-map 7859  df-nn 11021  df-n0 11293  df-ply 23944

This theorem is referenced by:  plyaddcl  23976  plymulcl  23977  plysubcl  23978  coeval  23979  coeeu  23981  dgrval  23984  coef3  23988  coeidlem  23993  coemulc  24011  coesub  24013  dgrmulc  24027  dgrsub  24028  dgrcolem1  24029  dgrcolem2  24030  dgrco  24031  coecj  24034  dvply2  24041  dvnply  24043  quotval  24047  quotlem  24055  quotcl2  24057  quotdgr  24058  plyrem  24060  facth  24061  fta1  24063  quotcan  24064  vieta1lem1  24065  vieta1  24067  plyexmo  24068  ftalem7  24805  dgrsub2  37705