Theorem poxp 7289

Description: A lexicographical ordering of two posets. (Contributed by Scott Fenton, 16-Mar-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Mar-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
poxp.1	|- T = { <. x , y >. | ( ( x e. ( A X. B ) /\ y e. ( A X. B ) ) /\ ( ( 1st ` x ) R ( 1st ` y ) \/ ( ( 1st ` x ) = ( 1st ` y ) /\ ( 2nd ` x ) S ( 2nd ` y ) ) ) ) }

Assertion

Ref	Expression
poxp	|- ( ( R Po A /\ S Po B ) -> T Po ( A X. B ) )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, B, y   x, R, y   x, S, y

Allowed substitution hints:   T( x, y)

Proof of Theorem poxp

Dummy variables a b c d e f t u v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxp 5131	. . . . . . . 8 |- ( t e. ( A X. B ) <-> E. a E. b ( t = <. a , b >. /\ ( a e. A /\ b e. B ) ) )
2		elxp 5131	. . . . . . . 8 |- ( u e. ( A X. B ) <-> E. c E. d ( u = <. c , d >. /\ ( c e. A /\ d e. B ) ) )
3		elxp 5131	. . . . . . . 8 |- ( v e. ( A X. B ) <-> E. e E. f ( v = <. e , f >. /\ ( e e. A /\ f e. B ) ) )
4		3an6 1409	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( t = <. a , b >. /\ ( a e. A /\ b e. B ) ) /\ ( u = <. c , d >. /\ ( c e. A /\ d e. B ) ) /\ ( v = <. e , f >. /\ ( e e. A /\ f e. B ) ) ) <-> ( ( t = <. a , b >. /\ u = <. c , d >. /\ v = <. e , f >. ) /\ ( ( a e. A /\ b e. B ) /\ ( c e. A /\ d e. B ) /\ ( e e. A /\ f e. B ) ) ) )
5		poirr 5046	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( R Po A /\ a e. A ) -> -. a R a )
6	5	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( R Po A -> ( a e. A -> -. a R a ) )
7		poirr 5046	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( S Po B /\ b e. B ) -> -. b S b )
8	7	intnand 962	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( S Po B /\ b e. B ) -> -. ( a = a /\ b S b ) )
9	8	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( S Po B -> ( b e. B -> -. ( a = a /\ b S b ) ) )
10	6, 9	im2anan9 880	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( R Po A /\ S Po B ) -> ( ( a e. A /\ b e. B ) -> ( -. a R a /\ -. ( a = a /\ b S b ) ) ) )
11		ioran 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( -. ( a R a \/ ( a = a /\ b S b ) ) <-> ( -. a R a /\ -. ( a = a /\ b S b ) ) )
12	10, 11	syl6ibr 242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( R Po A /\ S Po B ) -> ( ( a e. A /\ b e. B ) -> -. ( a R a \/ ( a = a /\ b S b ) ) ) )
13	12	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( R Po A /\ S Po B ) /\ ( a e. A /\ b e. B ) ) -> -. ( a R a \/ ( a = a /\ b S b ) ) )
14	13	intnand 962	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( R Po A /\ S Po B ) /\ ( a e. A /\ b e. B ) ) -> -. ( ( ( a e. A /\ a e. A ) /\ ( b e. B /\ b e. B ) ) /\ ( a R a \/ ( a = a /\ b S b ) ) ) )
15	14	3ad2antr1 1226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( R Po A /\ S Po B ) /\ ( ( a e. A /\ b e. B ) /\ ( c e. A /\ d e. B ) /\ ( e e. A /\ f e. B ) ) ) -> -. ( ( ( a e. A /\ a e. A ) /\ ( b e. B /\ b e. B ) ) /\ ( a R a \/ ( a = a /\ b S b ) ) ) )
16		an4 865	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( a e. A /\ c e. A ) /\ ( b e. B /\ d e. B ) ) /\ ( a R c \/ ( a = c /\ b S d ) ) ) /\ ( ( ( c e. A /\ e e. A ) /\ ( d e. B /\ f e. B ) ) /\ ( c R e \/ ( c = e /\ d S f ) ) ) ) <-> ( ( ( ( a e. A /\ c e. A ) /\ ( b e. B /\ d e. B ) ) /\ ( ( c e. A /\ e e. A ) /\ ( d e. B /\ f e. B ) ) ) /\ ( ( a R c \/ ( a = c /\ b S d ) ) /\ ( c R e \/ ( c = e /\ d S f ) ) ) ) )
17		3an6 1409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( a e. A /\ b e. B ) /\ ( c e. A /\ d e. B ) /\ ( e e. A /\ f e. B ) ) <-> ( ( a e. A /\ c e. A /\ e e. A ) /\ ( b e. B /\ d e. B /\ f e. B ) ) )
18		potr 5047	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( R Po A /\ ( a e. A /\ c e. A /\ e e. A ) ) -> ( ( a R c /\ c R e ) -> a R e ) )
19	18	3impia 1261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( R Po A /\ ( a e. A /\ c e. A /\ e e. A ) /\ ( a R c /\ c R e ) ) -> a R e )
20	19	orcd 407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( R Po A /\ ( a e. A /\ c e. A /\ e e. A ) /\ ( a R c /\ c R e ) ) -> ( a R e \/ ( a = e /\ b S f ) ) )
21	20	3expia 1267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( R Po A /\ ( a e. A /\ c e. A /\ e e. A ) ) -> ( ( a R c /\ c R e ) -> ( a R e \/ ( a = e /\ b S f ) ) ) )
22	21	expdimp 453	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( R Po A /\ ( a e. A /\ c e. A /\ e e. A ) ) /\ a R c ) -> ( c R e -> ( a R e \/ ( a = e /\ b S f ) ) ) )
23		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( c = e -> ( a R c <-> a R e ) )
24	23	biimpa 501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( c = e /\ a R c ) -> a R e )
25	24	orcd 407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( c = e /\ a R c ) -> ( a R e \/ ( a = e /\ b S f ) ) )
26	25	expcom 451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( a R c -> ( c = e -> ( a R e \/ ( a = e /\ b S f ) ) ) )
27	26	adantrd 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( a R c -> ( ( c = e /\ d S f ) -> ( a R e \/ ( a = e /\ b S f ) ) ) )
28	27	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( R Po A /\ ( a e. A /\ c e. A /\ e e. A ) ) /\ a R c ) -> ( ( c = e /\ d S f ) -> ( a R e \/ ( a = e /\ b S f ) ) ) )
29	22, 28	jaod 395	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( R Po A /\ ( a e. A /\ c e. A /\ e e. A ) ) /\ a R c ) -> ( ( c R e \/ ( c = e /\ d S f ) ) -> ( a R e \/ ( a = e /\ b S f ) ) ) )
30	29	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( R Po A /\ ( a e. A /\ c e. A /\ e e. A ) ) -> ( a R c -> ( ( c R e \/ ( c = e /\ d S f ) ) -> ( a R e \/ ( a = e /\ b S f ) ) ) ) )
31		potr 5047	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( S Po B /\ ( b e. B /\ d e. B /\ f e. B ) ) -> ( ( b S d /\ d S f ) -> b S f ) )
32	31	expdimp 453	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ( S Po B /\ ( b e. B /\ d e. B /\ f e. B ) ) /\ b S d ) -> ( d S f -> b S f ) )
33	32	anim2d 589	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( S Po B /\ ( b e. B /\ d e. B /\ f e. B ) ) /\ b S d ) -> ( ( c = e /\ d S f ) -> ( c = e /\ b S f ) ) )
34	33	orim2d 885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( S Po B /\ ( b e. B /\ d e. B /\ f e. B ) ) /\ b S d ) -> ( ( c R e \/ ( c = e /\ d S f ) ) -> ( c R e \/ ( c = e /\ b S f ) ) ) )
35		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( a = c -> ( a R e <-> c R e ) )
36		equequ1 1952	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( a = c -> ( a = e <-> c = e ) )
37	36	anbi1d 741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( a = c -> ( ( a = e /\ b S f ) <-> ( c = e /\ b S f ) ) )
38	35, 37	orbi12d 746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( a = c -> ( ( a R e \/ ( a = e /\ b S f ) ) <-> ( c R e \/ ( c = e /\ b S f ) ) ) )
39	38	imbi2d 330	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( a = c -> ( ( ( c R e \/ ( c = e /\ d S f ) ) -> ( a R e \/ ( a = e /\ b S f ) ) ) <-> ( ( c R e \/ ( c = e /\ d S f ) ) -> ( c R e \/ ( c = e /\ b S f ) ) ) ) )
40	34, 39	syl5ibr 236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( a = c -> ( ( ( S Po B /\ ( b e. B /\ d e. B /\ f e. B ) ) /\ b S d ) -> ( ( c R e \/ ( c = e /\ d S f ) ) -> ( a R e \/ ( a = e /\ b S f ) ) ) ) )
41	40	expd 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( a = c -> ( ( S Po B /\ ( b e. B /\ d e. B /\ f e. B ) ) -> ( b S d -> ( ( c R e \/ ( c = e /\ d S f ) ) -> ( a R e \/ ( a = e /\ b S f ) ) ) ) ) )
42	41	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( S Po B /\ ( b e. B /\ d e. B /\ f e. B ) ) -> ( a = c -> ( b S d -> ( ( c R e \/ ( c = e /\ d S f ) ) -> ( a R e \/ ( a = e /\ b S f ) ) ) ) ) )
43	42	impd 447	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( S Po B /\ ( b e. B /\ d e. B /\ f e. B ) ) -> ( ( a = c /\ b S d ) -> ( ( c R e \/ ( c = e /\ d S f ) ) -> ( a R e \/ ( a = e /\ b S f ) ) ) ) )
44	30, 43	jaao 531	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( R Po A /\ ( a e. A /\ c e. A /\ e e. A ) ) /\ ( S Po B /\ ( b e. B /\ d e. B /\ f e. B ) ) ) -> ( ( a R c \/ ( a = c /\ b S d ) ) -> ( ( c R e \/ ( c = e /\ d S f ) ) -> ( a R e \/ ( a = e /\ b S f ) ) ) ) )
45	44	impd 447	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( R Po A /\ ( a e. A /\ c e. A /\ e e. A ) ) /\ ( S Po B /\ ( b e. B /\ d e. B /\ f e. B ) ) ) -> ( ( ( a R c \/ ( a = c /\ b S d ) ) /\ ( c R e \/ ( c = e /\ d S f ) ) ) -> ( a R e \/ ( a = e /\ b S f ) ) ) )
46	45	an4s 869	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( R Po A /\ S Po B ) /\ ( ( a e. A /\ c e. A /\ e e. A ) /\ ( b e. B /\ d e. B /\ f e. B ) ) ) -> ( ( ( a R c \/ ( a = c /\ b S d ) ) /\ ( c R e \/ ( c = e /\ d S f ) ) ) -> ( a R e \/ ( a = e /\ b S f ) ) ) )
47	17, 46	sylan2b 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( R Po A /\ S Po B ) /\ ( ( a e. A /\ b e. B ) /\ ( c e. A /\ d e. B ) /\ ( e e. A /\ f e. B ) ) ) -> ( ( ( a R c \/ ( a = c /\ b S d ) ) /\ ( c R e \/ ( c = e /\ d S f ) ) ) -> ( a R e \/ ( a = e /\ b S f ) ) ) )
48		an4 865	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( a e. A /\ b e. B ) /\ ( e e. A /\ f e. B ) ) <-> ( ( a e. A /\ e e. A ) /\ ( b e. B /\ f e. B ) ) )
49	48	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( a e. A /\ b e. B ) /\ ( e e. A /\ f e. B ) ) -> ( ( a e. A /\ e e. A ) /\ ( b e. B /\ f e. B ) ) )
50	49	3adant2 1080	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( a e. A /\ b e. B ) /\ ( c e. A /\ d e. B ) /\ ( e e. A /\ f e. B ) ) -> ( ( a e. A /\ e e. A ) /\ ( b e. B /\ f e. B ) ) )
51	50	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( R Po A /\ S Po B ) /\ ( ( a e. A /\ b e. B ) /\ ( c e. A /\ d e. B ) /\ ( e e. A /\ f e. B ) ) ) -> ( ( a e. A /\ e e. A ) /\ ( b e. B /\ f e. B ) ) )
52	47, 51	jctild 566	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( R Po A /\ S Po B ) /\ ( ( a e. A /\ b e. B ) /\ ( c e. A /\ d e. B ) /\ ( e e. A /\ f e. B ) ) ) -> ( ( ( a R c \/ ( a = c /\ b S d ) ) /\ ( c R e \/ ( c = e /\ d S f ) ) ) -> ( ( ( a e. A /\ e e. A ) /\ ( b e. B /\ f e. B ) ) /\ ( a R e \/ ( a = e /\ b S f ) ) ) ) )
53	52	adantld 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( R Po A /\ S Po B ) /\ ( ( a e. A /\ b e. B ) /\ ( c e. A /\ d e. B ) /\ ( e e. A /\ f e. B ) ) ) -> ( ( ( ( ( a e. A /\ c e. A ) /\ ( b e. B /\ d e. B ) ) /\ ( ( c e. A /\ e e. A ) /\ ( d e. B /\ f e. B ) ) ) /\ ( ( a R c \/ ( a = c /\ b S d ) ) /\ ( c R e \/ ( c = e /\ d S f ) ) ) ) -> ( ( ( a e. A /\ e e. A ) /\ ( b e. B /\ f e. B ) ) /\ ( a R e \/ ( a = e /\ b S f ) ) ) ) )
54	16, 53	syl5bi 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( R Po A /\ S Po B ) /\ ( ( a e. A /\ b e. B ) /\ ( c e. A /\ d e. B ) /\ ( e e. A /\ f e. B ) ) ) -> ( ( ( ( ( a e. A /\ c e. A ) /\ ( b e. B /\ d e. B ) ) /\ ( a R c \/ ( a = c /\ b S d ) ) ) /\ ( ( ( c e. A /\ e e. A ) /\ ( d e. B /\ f e. B ) ) /\ ( c R e \/ ( c = e /\ d S f ) ) ) ) -> ( ( ( a e. A /\ e e. A ) /\ ( b e. B /\ f e. B ) ) /\ ( a R e \/ ( a = e /\ b S f ) ) ) ) )
55	15, 54	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( R Po A /\ S Po B ) /\ ( ( a e. A /\ b e. B ) /\ ( c e. A /\ d e. B ) /\ ( e e. A /\ f e. B ) ) ) -> ( -. ( ( ( a e. A /\ a e. A ) /\ ( b e. B /\ b e. B ) ) /\ ( a R a \/ ( a = a /\ b S b ) ) ) /\ ( ( ( ( ( a e. A /\ c e. A ) /\ ( b e. B /\ d e. B ) ) /\ ( a R c \/ ( a = c /\ b S d ) ) ) /\ ( ( ( c e. A /\ e e. A ) /\ ( d e. B /\ f e. B ) ) /\ ( c R e \/ ( c = e /\ d S f ) ) ) ) -> ( ( ( a e. A /\ e e. A ) /\ ( b e. B /\ f e. B ) ) /\ ( a R e \/ ( a = e /\ b S f ) ) ) ) ) )
56		breq12 4658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( t = <. a , b >. /\ t = <. a , b >. ) -> ( t T t <-> <. a , b >. T <. a , b >. ) )
57	56	anidms 677	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( t = <. a , b >. -> ( t T t <-> <. a , b >. T <. a , b >. ) )
58	57	notbid 308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( t = <. a , b >. -> ( -. t T t <-> -. <. a , b >. T <. a , b >. ) )
59	58	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( t = <. a , b >. /\ u = <. c , d >. /\ v = <. e , f >. ) -> ( -. t T t <-> -. <. a , b >. T <. a , b >. ) )
60		breq12 4658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( t = <. a , b >. /\ u = <. c , d >. ) -> ( t T u <-> <. a , b >. T <. c , d >. ) )
61	60	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( t = <. a , b >. /\ u = <. c , d >. /\ v = <. e , f >. ) -> ( t T u <-> <. a , b >. T <. c , d >. ) )
62		breq12 4658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( u = <. c , d >. /\ v = <. e , f >. ) -> ( u T v <-> <. c , d >. T <. e , f >. ) )
63	62	3adant1 1079	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( t = <. a , b >. /\ u = <. c , d >. /\ v = <. e , f >. ) -> ( u T v <-> <. c , d >. T <. e , f >. ) )
64	61, 63	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( t = <. a , b >. /\ u = <. c , d >. /\ v = <. e , f >. ) -> ( ( t T u /\ u T v ) <-> ( <. a , b >. T <. c , d >. /\ <. c , d >. T <. e , f >. ) ) )
65		breq12 4658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( t = <. a , b >. /\ v = <. e , f >. ) -> ( t T v <-> <. a , b >. T <. e , f >. ) )
66	65	3adant2 1080	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( t = <. a , b >. /\ u = <. c , d >. /\ v = <. e , f >. ) -> ( t T v <-> <. a , b >. T <. e , f >. ) )
67	64, 66	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( t = <. a , b >. /\ u = <. c , d >. /\ v = <. e , f >. ) -> ( ( ( t T u /\ u T v ) -> t T v ) <-> ( ( <. a , b >. T <. c , d >. /\ <. c , d >. T <. e , f >. ) -> <. a , b >. T <. e , f >. ) ) )
68	59, 67	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( t = <. a , b >. /\ u = <. c , d >. /\ v = <. e , f >. ) -> ( ( -. t T t /\ ( ( t T u /\ u T v ) -> t T v ) ) <-> ( -. <. a , b >. T <. a , b >. /\ ( ( <. a , b >. T <. c , d >. /\ <. c , d >. T <. e , f >. ) -> <. a , b >. T <. e , f >. ) ) ) )
69		poxp.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- T = { <. x , y >. | ( ( x e. ( A X. B ) /\ y e. ( A X. B ) ) /\ ( ( 1st ` x ) R ( 1st ` y ) \/ ( ( 1st ` x ) = ( 1st ` y ) /\ ( 2nd ` x ) S ( 2nd ` y ) ) ) ) }
70	69	xporderlem 7288	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( <. a , b >. T <. a , b >. <-> ( ( ( a e. A /\ a e. A ) /\ ( b e. B /\ b e. B ) ) /\ ( a R a \/ ( a = a /\ b S b ) ) ) )
71	70	notbii 310	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( -. <. a , b >. T <. a , b >. <-> -. ( ( ( a e. A /\ a e. A ) /\ ( b e. B /\ b e. B ) ) /\ ( a R a \/ ( a = a /\ b S b ) ) ) )
72	69	xporderlem 7288	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( <. a , b >. T <. c , d >. <-> ( ( ( a e. A /\ c e. A ) /\ ( b e. B /\ d e. B ) ) /\ ( a R c \/ ( a = c /\ b S d ) ) ) )
73	69	xporderlem 7288	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( <. c , d >. T <. e , f >. <-> ( ( ( c e. A /\ e e. A ) /\ ( d e. B /\ f e. B ) ) /\ ( c R e \/ ( c = e /\ d S f ) ) ) )
74	72, 73	anbi12i 733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( <. a , b >. T <. c , d >. /\ <. c , d >. T <. e , f >. ) <-> ( ( ( ( a e. A /\ c e. A ) /\ ( b e. B /\ d e. B ) ) /\ ( a R c \/ ( a = c /\ b S d ) ) ) /\ ( ( ( c e. A /\ e e. A ) /\ ( d e. B /\ f e. B ) ) /\ ( c R e \/ ( c = e /\ d S f ) ) ) ) )
75	69	xporderlem 7288	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( <. a , b >. T <. e , f >. <-> ( ( ( a e. A /\ e e. A ) /\ ( b e. B /\ f e. B ) ) /\ ( a R e \/ ( a = e /\ b S f ) ) ) )
76	74, 75	imbi12i 340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( <. a , b >. T <. c , d >. /\ <. c , d >. T <. e , f >. ) -> <. a , b >. T <. e , f >. ) <-> ( ( ( ( ( a e. A /\ c e. A ) /\ ( b e. B /\ d e. B ) ) /\ ( a R c \/ ( a = c /\ b S d ) ) ) /\ ( ( ( c e. A /\ e e. A ) /\ ( d e. B /\ f e. B ) ) /\ ( c R e \/ ( c = e /\ d S f ) ) ) ) -> ( ( ( a e. A /\ e e. A ) /\ ( b e. B /\ f e. B ) ) /\ ( a R e \/ ( a = e /\ b S f ) ) ) ) )
77	71, 76	anbi12i 733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( -. <. a , b >. T <. a , b >. /\ ( ( <. a , b >. T <. c , d >. /\ <. c , d >. T <. e , f >. ) -> <. a , b >. T <. e , f >. ) ) <-> ( -. ( ( ( a e. A /\ a e. A ) /\ ( b e. B /\ b e. B ) ) /\ ( a R a \/ ( a = a /\ b S b ) ) ) /\ ( ( ( ( ( a e. A /\ c e. A ) /\ ( b e. B /\ d e. B ) ) /\ ( a R c \/ ( a = c /\ b S d ) ) ) /\ ( ( ( c e. A /\ e e. A ) /\ ( d e. B /\ f e. B ) ) /\ ( c R e \/ ( c = e /\ d S f ) ) ) ) -> ( ( ( a e. A /\ e e. A ) /\ ( b e. B /\ f e. B ) ) /\ ( a R e \/ ( a = e /\ b S f ) ) ) ) ) )
78	68, 77	syl6bb 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( t = <. a , b >. /\ u = <. c , d >. /\ v = <. e , f >. ) -> ( ( -. t T t /\ ( ( t T u /\ u T v ) -> t T v ) ) <-> ( -. ( ( ( a e. A /\ a e. A ) /\ ( b e. B /\ b e. B ) ) /\ ( a R a \/ ( a = a /\ b S b ) ) ) /\ ( ( ( ( ( a e. A /\ c e. A ) /\ ( b e. B /\ d e. B ) ) /\ ( a R c \/ ( a = c /\ b S d ) ) ) /\ ( ( ( c e. A /\ e e. A ) /\ ( d e. B /\ f e. B ) ) /\ ( c R e \/ ( c = e /\ d S f ) ) ) ) -> ( ( ( a e. A /\ e e. A ) /\ ( b e. B /\ f e. B ) ) /\ ( a R e \/ ( a = e /\ b S f ) ) ) ) ) ) )
79	55, 78	syl5ibr 236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( t = <. a , b >. /\ u = <. c , d >. /\ v = <. e , f >. ) -> ( ( ( R Po A /\ S Po B ) /\ ( ( a e. A /\ b e. B ) /\ ( c e. A /\ d e. B ) /\ ( e e. A /\ f e. B ) ) ) -> ( -. t T t /\ ( ( t T u /\ u T v ) -> t T v ) ) ) )
80	79	expcomd 454	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( t = <. a , b >. /\ u = <. c , d >. /\ v = <. e , f >. ) -> ( ( ( a e. A /\ b e. B ) /\ ( c e. A /\ d e. B ) /\ ( e e. A /\ f e. B ) ) -> ( ( R Po A /\ S Po B ) -> ( -. t T t /\ ( ( t T u /\ u T v ) -> t T v ) ) ) ) )
81	80	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( t = <. a , b >. /\ u = <. c , d >. /\ v = <. e , f >. ) /\ ( ( a e. A /\ b e. B ) /\ ( c e. A /\ d e. B ) /\ ( e e. A /\ f e. B ) ) ) -> ( ( R Po A /\ S Po B ) -> ( -. t T t /\ ( ( t T u /\ u T v ) -> t T v ) ) ) )
82	4, 81	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( t = <. a , b >. /\ ( a e. A /\ b e. B ) ) /\ ( u = <. c , d >. /\ ( c e. A /\ d e. B ) ) /\ ( v = <. e , f >. /\ ( e e. A /\ f e. B ) ) ) -> ( ( R Po A /\ S Po B ) -> ( -. t T t /\ ( ( t T u /\ u T v ) -> t T v ) ) ) )
83	82	3exp 1264	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( t = <. a , b >. /\ ( a e. A /\ b e. B ) ) -> ( ( u = <. c , d >. /\ ( c e. A /\ d e. B ) ) -> ( ( v = <. e , f >. /\ ( e e. A /\ f e. B ) ) -> ( ( R Po A /\ S Po B ) -> ( -. t T t /\ ( ( t T u /\ u T v ) -> t T v ) ) ) ) ) )
84	83	com3l 89	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( u = <. c , d >. /\ ( c e. A /\ d e. B ) ) -> ( ( v = <. e , f >. /\ ( e e. A /\ f e. B ) ) -> ( ( t = <. a , b >. /\ ( a e. A /\ b e. B ) ) -> ( ( R Po A /\ S Po B ) -> ( -. t T t /\ ( ( t T u /\ u T v ) -> t T v ) ) ) ) ) )
85	84	exlimivv 1860	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. c E. d ( u = <. c , d >. /\ ( c e. A /\ d e. B ) ) -> ( ( v = <. e , f >. /\ ( e e. A /\ f e. B ) ) -> ( ( t = <. a , b >. /\ ( a e. A /\ b e. B ) ) -> ( ( R Po A /\ S Po B ) -> ( -. t T t /\ ( ( t T u /\ u T v ) -> t T v ) ) ) ) ) )
86	85	com3l 89	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( v = <. e , f >. /\ ( e e. A /\ f e. B ) ) -> ( ( t = <. a , b >. /\ ( a e. A /\ b e. B ) ) -> ( E. c E. d ( u = <. c , d >. /\ ( c e. A /\ d e. B ) ) -> ( ( R Po A /\ S Po B ) -> ( -. t T t /\ ( ( t T u /\ u T v ) -> t T v ) ) ) ) ) )
87	86	exlimivv 1860	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. e E. f ( v = <. e , f >. /\ ( e e. A /\ f e. B ) ) -> ( ( t = <. a , b >. /\ ( a e. A /\ b e. B ) ) -> ( E. c E. d ( u = <. c , d >. /\ ( c e. A /\ d e. B ) ) -> ( ( R Po A /\ S Po B ) -> ( -. t T t /\ ( ( t T u /\ u T v ) -> t T v ) ) ) ) ) )
88	87	com3l 89	. . . . . . . . . 10 |- ( ( t = <. a , b >. /\ ( a e. A /\ b e. B ) ) -> ( E. c E. d ( u = <. c , d >. /\ ( c e. A /\ d e. B ) ) -> ( E. e E. f ( v = <. e , f >. /\ ( e e. A /\ f e. B ) ) -> ( ( R Po A /\ S Po B ) -> ( -. t T t /\ ( ( t T u /\ u T v ) -> t T v ) ) ) ) ) )
89	88	exlimivv 1860	. . . . . . . . 9 |- ( E. a E. b ( t = <. a , b >. /\ ( a e. A /\ b e. B ) ) -> ( E. c E. d ( u = <. c , d >. /\ ( c e. A /\ d e. B ) ) -> ( E. e E. f ( v = <. e , f >. /\ ( e e. A /\ f e. B ) ) -> ( ( R Po A /\ S Po B ) -> ( -. t T t /\ ( ( t T u /\ u T v ) -> t T v ) ) ) ) ) )
90	89	3imp 1256	. . . . . . . 8 |- ( ( E. a E. b ( t = <. a , b >. /\ ( a e. A /\ b e. B ) ) /\ E. c E. d ( u = <. c , d >. /\ ( c e. A /\ d e. B ) ) /\ E. e E. f ( v = <. e , f >. /\ ( e e. A /\ f e. B ) ) ) -> ( ( R Po A /\ S Po B ) -> ( -. t T t /\ ( ( t T u /\ u T v ) -> t T v ) ) ) )
91	1, 2, 3, 90	syl3anb 1369	. . . . . . 7 |- ( ( t e. ( A X. B ) /\ u e. ( A X. B ) /\ v e. ( A X. B ) ) -> ( ( R Po A /\ S Po B ) -> ( -. t T t /\ ( ( t T u /\ u T v ) -> t T v ) ) ) )
92	91	3expia 1267	. . . . . 6 |- ( ( t e. ( A X. B ) /\ u e. ( A X. B ) ) -> ( v e. ( A X. B ) -> ( ( R Po A /\ S Po B ) -> ( -. t T t /\ ( ( t T u /\ u T v ) -> t T v ) ) ) ) )
93	92	com3r 87	. . . . 5 |- ( ( R Po A /\ S Po B ) -> ( ( t e. ( A X. B ) /\ u e. ( A X. B ) ) -> ( v e. ( A X. B ) -> ( -. t T t /\ ( ( t T u /\ u T v ) -> t T v ) ) ) ) )
94	93	imp 445	. . . 4 |- ( ( ( R Po A /\ S Po B ) /\ ( t e. ( A X. B ) /\ u e. ( A X. B ) ) ) -> ( v e. ( A X. B ) -> ( -. t T t /\ ( ( t T u /\ u T v ) -> t T v ) ) ) )
95	94	ralrimiv 2965	. . 3 |- ( ( ( R Po A /\ S Po B ) /\ ( t e. ( A X. B ) /\ u e. ( A X. B ) ) ) -> A. v e. ( A X. B ) ( -. t T t /\ ( ( t T u /\ u T v ) -> t T v ) ) )
96	95	ralrimivva 2971	. 2 |- ( ( R Po A /\ S Po B ) -> A. t e. ( A X. B ) A. u e. ( A X. B ) A. v e. ( A X. B ) ( -. t T t /\ ( ( t T u /\ u T v ) -> t T v ) ) )
97		df-po 5035	. 2 |- ( T Po ( A X. B ) <-> A. t e. ( A X. B ) A. u e. ( A X. B ) A. v e. ( A X. B ) ( -. t T t /\ ( ( t T u /\ u T v ) -> t T v ) ) )
98	96, 97	sylibr 224	1 |- ( ( R Po A /\ S Po B ) -> T Po ( A X. B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   A.wral 2912   <.cop 4183   class class class wbr 4653   {copab 4712   Po wpo 5033   X. cxp 5112   ` cfv 5888   1stc1st 7166   2ndc2nd 7167

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-1st 7168  df-2nd 7169

This theorem is referenced by:  soxp  7290