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Theorem soxp 7290

Description: A lexicographical ordering of two strictly ordered classes. (Contributed by Scott Fenton, 17-Mar-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Mar-2013.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
soxp.1	$/\$ $/\$ $\/$ $/\$

**Assertion**
Ref	Expression
soxp	$/\$

Distinct variable groups:

Allowed substitution hints:

(

)

Proof of Theorem soxp Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sopo 5052	. . 3
2		sopo 5052	. . 3
3		soxp.1	. . . 4 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
4	3	poxp 7289	. . 3 $/\$
5	1, 2, 4	syl2an 494	. 2 $/\$
6		elxp 5131	. . . . 5 $/\$ $/\$
7		elxp 5131	. . . . 5 $/\$ $/\$
8		ioran 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
9		ioran 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
10		ianor 509	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $\/$
11	10	anbi2i 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
12	9, 11	bitri 264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $\/$ $/\$ $/\$ $\/$
13		ianor 509	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $\/$
14	12, 13	anbi12i 733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$
15	8, 14	bitri 264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$
16		solin 5058	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
17		3orass 1040	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $\/$ $\/$ $\/$ $\/$
18		df-or 385	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $\/$ $\/$ $\/$
19	17, 18	bitri 264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $\/$ $\/$ $\/$
20	16, 19	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $\/$
21		solin 5058	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
22		3orass 1040	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $\/$ $\/$ $\/$ $\/$
23		df-or 385	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $\/$ $\/$ $\/$
24	22, 23	bitri 264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $\/$ $\/$ $\/$
25	21, 24	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $\/$
26	25	orim2d 885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $\/$ $\/$ $\/$
27	20, 26	im2anan9 880	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$ $/\$ $\/$ $\/$
28		pm2.53 388	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $\/$
29		orc 400	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $\/$ $/\$
30	28, 29	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $\/$ $\/$ $/\$
31	30	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $\/$ $/\$ $\/$ $\/$ $\/$ $/\$
32		orel1 397	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $\/$
33	32	orim2d 885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $\/$ $\/$ $\/$
34	33	anim2d 589	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $\/$ $/\$ $\/$ $\/$ $\/$ $/\$ $\/$
35		imor 428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $\/$
36	35	biimpri 218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $\/$
37	36	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $\/$
38		equcomi 1944	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
39	38	anim1i 592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$
40	39	olcd 408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $\/$ $/\$
41	40	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $\/$ $/\$
42	37, 41	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $\/$ $\/$ $/\$
43	29	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $\/$ $\/$ $/\$
44	42, 43	jaoi 394	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $\/$ $\/$ $\/$ $/\$
45	44	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $\/$ $/\$ $\/$ $\/$ $/\$
46	34, 45	syl6com 37	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $\/$ $/\$ $\/$ $\/$ $\/$ $/\$
47	31, 46	jaod 395	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $\/$ $/\$ $\/$ $\/$ $\/$ $\/$ $/\$
48	27, 47	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$ $\/$ $/\$
49	48	impd 447	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $\/$ $/\$
50	15, 49	syl5bi 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
51		df-3or 1038	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $\/$ $/\$
52		df-or 385	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
53	51, 52	bitri 264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
54	50, 53	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $\/$ $/\$
55		pm3.2 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
56	55	ad2ant2l 782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
57		idd 24	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
58		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
59	58	ancomd 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
60		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
61	60	ancomd 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
62		pm3.2 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
63	59, 61, 62	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
64	56, 57, 63	3orim123d 1407	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
65	54, 64	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
66	65	an4s 869	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
67	66	expcom 451	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
68	67	an4s 869	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
69		breq12 4658	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
70		eqeq12 2635	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
71		breq12 4658	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
72	71	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
73	69, 70, 72	3orbi123d 1398	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $\/$ $\/$ $\/$ $\/$
74	3	xporderlem 7288	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
75		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
76		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
77	75, 76	opth 4945	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
78	3	xporderlem 7288	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
79	74, 77, 78	3orbi123i 1252	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $\/$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
80	73, 79	syl6bb 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $\/$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
81	80	biimprcd 240	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
82	68, 81	syl6 35	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
83	82	com3r 87	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
84	83	imp 445	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
85	84	an4s 869	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
86	85	expcom 451	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
87	86	exlimivv 1860	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
88	87	com12 32	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
89	88	exlimivv 1860	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
90	89	imp 445	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
91	6, 7, 90	syl2anb 496	. . . 4 $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
92	91	com12 32	. . 3 $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
93	92	ralrimivv 2970	. 2 $/\$ $\/$ $\/$
94		df-so 5036	. 2 $/\$ $\/$ $\/$
95	5, 93, 94	sylanbrc 698	1 $/\$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 196 $\/$ wo 383 $/\$ wa 384 $\/$ w3o 1036

wceq 1483

wex 1704

wcel 1990

wral 2912

cop 4183 class class class wbr 4653

copab 4712

wpo 5033

wor 5034

cxp 5112

cfv 5888

c1st 7166

c2nd 7167

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ral 2917 df-rex 2918 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-nul 3916 df-if 4087 df-sn 4178 df-pr 4180 df-op 4184 df-uni 4437 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-id 5024 df-po 5035 df-so 5036 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fv 5896 df-1st 7168 df-2nd 7169

This theorem is referenced by: wexp 7291

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