Theorem ralrnmpt2 6775

Description: A restricted quantifier over an image set. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngop.1	|- F = ( x e. A , y e. B |-> C )
ralrnmpt2.2	|- ( z = C -> ( ph <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
ralrnmpt2	|- ( A. x e. A A. y e. B C e. V -> ( A. z e. ran F ph <-> A. x e. A A. y e. B ps ) )

Distinct variable groups:   y, z, A   z, B   z, C   z, F   ps, z   x, y, z   ph, x, y

Allowed substitution hints:   ph( z)   ps( x, y)   A( x)   B( x, y)   C( x, y)   F( x, y)   V( x, y, z)

Proof of Theorem ralrnmpt2

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngop.1	. . . . 5 |- F = ( x e. A , y e. B |-> C )
2	1	rnmpt2 6770	. . . 4 |- ran F = { w | E. x e. A E. y e. B w = C }
3	2	raleqi 3142	. . 3 |- ( A. z e. ran F ph <-> A. z e. { w | E. x e. A E. y e. B w = C } ph )
4		eqeq1 2626	. . . . 5 |- ( w = z -> ( w = C <-> z = C ) )
5	4	2rexbidv 3057	. . . 4 |- ( w = z -> ( E. x e. A E. y e. B w = C <-> E. x e. A E. y e. B z = C ) )
6	5	ralab 3367	. . 3 |- ( A. z e. { w | E. x e. A E. y e. B w = C } ph <-> A. z ( E. x e. A E. y e. B z = C -> ph ) )
7		ralcom4 3224	. . . 4 |- ( A. x e. A A. z ( E. y e. B z = C -> ph ) <-> A. z A. x e. A ( E. y e. B z = C -> ph ) )
8		r19.23v 3023	. . . . 5 |- ( A. x e. A ( E. y e. B z = C -> ph ) <-> ( E. x e. A E. y e. B z = C -> ph ) )
9	8	albii 1747	. . . 4 |- ( A. z A. x e. A ( E. y e. B z = C -> ph ) <-> A. z ( E. x e. A E. y e. B z = C -> ph ) )
10	7, 9	bitr2i 265	. . 3 |- ( A. z ( E. x e. A E. y e. B z = C -> ph ) <-> A. x e. A A. z ( E. y e. B z = C -> ph ) )
11	3, 6, 10	3bitri 286	. 2 |- ( A. z e. ran F ph <-> A. x e. A A. z ( E. y e. B z = C -> ph ) )
12		ralcom4 3224	. . . . . 6 |- ( A. y e. B A. z ( z = C -> ph ) <-> A. z A. y e. B ( z = C -> ph ) )
13		r19.23v 3023	. . . . . . 7 |- ( A. y e. B ( z = C -> ph ) <-> ( E. y e. B z = C -> ph ) )
14	13	albii 1747	. . . . . 6 |- ( A. z A. y e. B ( z = C -> ph ) <-> A. z ( E. y e. B z = C -> ph ) )
15	12, 14	bitri 264	. . . . 5 |- ( A. y e. B A. z ( z = C -> ph ) <-> A. z ( E. y e. B z = C -> ph ) )
16		nfv 1843	. . . . . . . 8 |- F/ z ps
17		ralrnmpt2.2	. . . . . . . 8 |- ( z = C -> ( ph <-> ps ) )
18	16, 17	ceqsalg 3230	. . . . . . 7 |- ( C e. V -> ( A. z ( z = C -> ph ) <-> ps ) )
19	18	ralimi 2952	. . . . . 6 |- ( A. y e. B C e. V -> A. y e. B ( A. z ( z = C -> ph ) <-> ps ) )
20		ralbi 3068	. . . . . 6 |- ( A. y e. B ( A. z ( z = C -> ph ) <-> ps ) -> ( A. y e. B A. z ( z = C -> ph ) <-> A. y e. B ps ) )
21	19, 20	syl 17	. . . . 5 |- ( A. y e. B C e. V -> ( A. y e. B A. z ( z = C -> ph ) <-> A. y e. B ps ) )
22	15, 21	syl5bbr 274	. . . 4 |- ( A. y e. B C e. V -> ( A. z ( E. y e. B z = C -> ph ) <-> A. y e. B ps ) )
23	22	ralimi 2952	. . 3 |- ( A. x e. A A. y e. B C e. V -> A. x e. A ( A. z ( E. y e. B z = C -> ph ) <-> A. y e. B ps ) )
24		ralbi 3068	. . 3 |- ( A. x e. A ( A. z ( E. y e. B z = C -> ph ) <-> A. y e. B ps ) -> ( A. x e. A A. z ( E. y e. B z = C -> ph ) <-> A. x e. A A. y e. B ps ) )
25	23, 24	syl 17	. 2 |- ( A. x e. A A. y e. B C e. V -> ( A. x e. A A. z ( E. y e. B z = C -> ph ) <-> A. x e. A A. y e. B ps ) )
26	11, 25	syl5bb 272	1 |- ( A. x e. A A. y e. B C e. V -> ( A. z e. ran F ph <-> A. x e. A A. y e. B ps ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   A.wal 1481   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   E.wrex 2913   ran crn 5115   |-> cmpt2 6652

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-br 4654  df-opab 4713  df-cnv 5122  df-dm 5124  df-rn 5125  df-oprab 6654  df-mpt2 6655

This theorem is referenced by:  rexrnmpt2  6776  efgval2  18137  txcnp  21423  txcnmpt  21427  txflf  21810