Theorem txcnmpt 21427

Description: A map into the product of two topological spaces is continuous if both of its projections are continuous. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
txcnmpt.1	|- W = U. U
txcnmpt.2	|- H = ( x e. W |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. )

Assertion

Ref	Expression
txcnmpt	|- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> H e. ( U Cn ( R tX S ) ) )

Distinct variable groups:   x, F   x, G   x, R   x, S   x, U   x, W

Allowed substitution hint:   H( x)

Proof of Theorem txcnmpt

Dummy variables s r z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		txcnmpt.1	. . . . . . 7 |- W = U. U
2		eqid 2622	. . . . . . 7 |- U. R = U. R
3	1, 2	cnf 21050	. . . . . 6 |- ( F e. ( U Cn R ) -> F : W --> U. R )
4	3	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> F : W --> U. R )
5	4	ffvelrnda 6359	. . . 4 |- ( ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) /\ x e. W ) -> ( F ` x ) e. U. R )
6		eqid 2622	. . . . . . 7 |- U. S = U. S
7	1, 6	cnf 21050	. . . . . 6 |- ( G e. ( U Cn S ) -> G : W --> U. S )
8	7	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> G : W --> U. S )
9	8	ffvelrnda 6359	. . . 4 |- ( ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) /\ x e. W ) -> ( G ` x ) e. U. S )
10		opelxpi 5148	. . . 4 |- ( ( ( F ` x ) e. U. R /\ ( G ` x ) e. U. S ) -> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. e. ( U. R X. U. S ) )
11	5, 9, 10	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) /\ x e. W ) -> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. e. ( U. R X. U. S ) )
12		txcnmpt.2	. . 3 |- H = ( x e. W |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. )
13	11, 12	fmptd 6385	. 2 |- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> H : W --> ( U. R X. U. S ) )
14	12	mptpreima 5628	. . . . . 6 |- ( `' H " ( r X. s ) ) = { x e. W | <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. e. ( r X. s ) }
15	4	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) -> F : W --> U. R )
16	15	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) /\ x e. W ) -> F : W --> U. R )
17		ffn 6045	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F : W --> U. R -> F Fn W )
18		elpreima 6337	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F Fn W -> ( x e. ( `' F " r ) <-> ( x e. W /\ ( F ` x ) e. r ) ) )
19	16, 17, 18	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) /\ x e. W ) -> ( x e. ( `' F " r ) <-> ( x e. W /\ ( F ` x ) e. r ) ) )
20		ibar 525	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. W -> ( ( F ` x ) e. r <-> ( x e. W /\ ( F ` x ) e. r ) ) )
21	20	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) /\ x e. W ) -> ( ( F ` x ) e. r <-> ( x e. W /\ ( F ` x ) e. r ) ) )
22	19, 21	bitr4d 271	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) /\ x e. W ) -> ( x e. ( `' F " r ) <-> ( F ` x ) e. r ) )
23	8	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) /\ x e. W ) -> G : W --> U. S )
24		ffn 6045	. . . . . . . . . . . 12 |- ( G : W --> U. S -> G Fn W )
25		elpreima 6337	. . . . . . . . . . . 12 |- ( G Fn W -> ( x e. ( `' G " s ) <-> ( x e. W /\ ( G ` x ) e. s ) ) )
26	23, 24, 25	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) /\ x e. W ) -> ( x e. ( `' G " s ) <-> ( x e. W /\ ( G ` x ) e. s ) ) )
27		ibar 525	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. W -> ( ( G ` x ) e. s <-> ( x e. W /\ ( G ` x ) e. s ) ) )
28	27	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) /\ x e. W ) -> ( ( G ` x ) e. s <-> ( x e. W /\ ( G ` x ) e. s ) ) )
29	26, 28	bitr4d 271	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) /\ x e. W ) -> ( x e. ( `' G " s ) <-> ( G ` x ) e. s ) )
30	22, 29	anbi12d 747	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) /\ x e. W ) -> ( ( x e. ( `' F " r ) /\ x e. ( `' G " s ) ) <-> ( ( F ` x ) e. r /\ ( G ` x ) e. s ) ) )
31		elin 3796	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( ( `' F " r ) i^i ( `' G " s ) ) <-> ( x e. ( `' F " r ) /\ x e. ( `' G " s ) ) )
32		opelxp 5146	. . . . . . . . 9 |- ( <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. e. ( r X. s ) <-> ( ( F ` x ) e. r /\ ( G ` x ) e. s ) )
33	30, 31, 32	3bitr4g 303	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) /\ x e. W ) -> ( x e. ( ( `' F " r ) i^i ( `' G " s ) ) <-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. e. ( r X. s ) ) )
34	33	rabbi2dva 3821	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) -> ( W i^i ( ( `' F " r ) i^i ( `' G " s ) ) ) = { x e. W | <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. e. ( r X. s ) } )
35		inss1 3833	. . . . . . . . . 10 |- ( ( `' F " r ) i^i ( `' G " s ) ) C_ ( `' F " r )
36		cnvimass 5485	. . . . . . . . . 10 |- ( `' F " r ) C_ dom F
37	35, 36	sstri 3612	. . . . . . . . 9 |- ( ( `' F " r ) i^i ( `' G " s ) ) C_ dom F
38		fdm 6051	. . . . . . . . . 10 |- ( F : W --> U. R -> dom F = W )
39	15, 38	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) -> dom F = W )
40	37, 39	syl5sseq 3653	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) -> ( ( `' F " r ) i^i ( `' G " s ) ) C_ W )
41		sseqin2 3817	. . . . . . . 8 |- ( ( ( `' F " r ) i^i ( `' G " s ) ) C_ W <-> ( W i^i ( ( `' F " r ) i^i ( `' G " s ) ) ) = ( ( `' F " r ) i^i ( `' G " s ) ) )
42	40, 41	sylib 208	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) -> ( W i^i ( ( `' F " r ) i^i ( `' G " s ) ) ) = ( ( `' F " r ) i^i ( `' G " s ) ) )
43	34, 42	eqtr3d 2658	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) -> { x e. W | <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. e. ( r X. s ) } = ( ( `' F " r ) i^i ( `' G " s ) ) )
44	14, 43	syl5eq 2668	. . . . 5 |- ( ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) -> ( `' H " ( r X. s ) ) = ( ( `' F " r ) i^i ( `' G " s ) ) )
45		cntop1 21044	. . . . . . . 8 |- ( G e. ( U Cn S ) -> U e. Top )
46	45	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> U e. Top )
47	46	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) -> U e. Top )
48		cnima 21069	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ r e. R ) -> ( `' F " r ) e. U )
49	48	ad2ant2r 783	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) -> ( `' F " r ) e. U )
50		cnima 21069	. . . . . . 7 |- ( ( G e. ( U Cn S ) /\ s e. S ) -> ( `' G " s ) e. U )
51	50	ad2ant2l 782	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) -> ( `' G " s ) e. U )
52		inopn 20704	. . . . . 6 |- ( ( U e. Top /\ ( `' F " r ) e. U /\ ( `' G " s ) e. U ) -> ( ( `' F " r ) i^i ( `' G " s ) ) e. U )
53	47, 49, 51, 52	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) -> ( ( `' F " r ) i^i ( `' G " s ) ) e. U )
54	44, 53	eqeltrd 2701	. . . 4 |- ( ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) -> ( `' H " ( r X. s ) ) e. U )
55	54	ralrimivva 2971	. . 3 |- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> A. r e. R A. s e. S ( `' H " ( r X. s ) ) e. U )
56		vex 3203	. . . . . 6 |- r e. _V
57		vex 3203	. . . . . 6 |- s e. _V
58	56, 57	xpex 6962	. . . . 5 |- ( r X. s ) e. _V
59	58	rgen2w 2925	. . . 4 |- A. r e. R A. s e. S ( r X. s ) e. _V
60		eqid 2622	. . . . 5 |- ( r e. R , s e. S |-> ( r X. s ) ) = ( r e. R , s e. S |-> ( r X. s ) )
61		imaeq2 5462	. . . . . 6 |- ( z = ( r X. s ) -> ( `' H " z ) = ( `' H " ( r X. s ) ) )
62	61	eleq1d 2686	. . . . 5 |- ( z = ( r X. s ) -> ( ( `' H " z ) e. U <-> ( `' H " ( r X. s ) ) e. U ) )
63	60, 62	ralrnmpt2 6775	. . . 4 |- ( A. r e. R A. s e. S ( r X. s ) e. _V -> ( A. z e. ran ( r e. R , s e. S |-> ( r X. s ) ) ( `' H " z ) e. U <-> A. r e. R A. s e. S ( `' H " ( r X. s ) ) e. U ) )
64	59, 63	ax-mp 5	. . 3 |- ( A. z e. ran ( r e. R , s e. S |-> ( r X. s ) ) ( `' H " z ) e. U <-> A. r e. R A. s e. S ( `' H " ( r X. s ) ) e. U )
65	55, 64	sylibr 224	. 2 |- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> A. z e. ran ( r e. R , s e. S |-> ( r X. s ) ) ( `' H " z ) e. U )
66	1	toptopon 20722	. . . 4 |- ( U e. Top <-> U e. (TopOn ` W ) )
67	46, 66	sylib 208	. . 3 |- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> U e. (TopOn ` W ) )
68		cntop2 21045	. . . 4 |- ( F e. ( U Cn R ) -> R e. Top )
69		cntop2 21045	. . . 4 |- ( G e. ( U Cn S ) -> S e. Top )
70		eqid 2622	. . . . 5 |- ran ( r e. R , s e. S |-> ( r X. s ) ) = ran ( r e. R , s e. S |-> ( r X. s ) )
71	70	txval 21367	. . . 4 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( R tX S ) = ( topGen ` ran ( r e. R , s e. S |-> ( r X. s ) ) ) )
72	68, 69, 71	syl2an 494	. . 3 |- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> ( R tX S ) = ( topGen ` ran ( r e. R , s e. S |-> ( r X. s ) ) ) )
73	2	toptopon 20722	. . . . 5 |- ( R e. Top <-> R e. (TopOn ` U. R ) )
74	68, 73	sylib 208	. . . 4 |- ( F e. ( U Cn R ) -> R e. (TopOn ` U. R ) )
75	6	toptopon 20722	. . . . 5 |- ( S e. Top <-> S e. (TopOn ` U. S ) )
76	69, 75	sylib 208	. . . 4 |- ( G e. ( U Cn S ) -> S e. (TopOn ` U. S ) )
77		txtopon 21394	. . . 4 |- ( ( R e. (TopOn ` U. R ) /\ S e. (TopOn ` U. S ) ) -> ( R tX S ) e. (TopOn ` ( U. R X. U. S ) ) )
78	74, 76, 77	syl2an 494	. . 3 |- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> ( R tX S ) e. (TopOn ` ( U. R X. U. S ) ) )
79	67, 72, 78	tgcn 21056	. 2 |- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> ( H e. ( U Cn ( R tX S ) ) <-> ( H : W --> ( U. R X. U. S ) /\ A. z e. ran ( r e. R , s e. S |-> ( r X. s ) ) ( `' H " z ) e. U ) ) )
80	13, 65, 79	mpbir2and 957	1 |- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> H e. ( U Cn ( R tX S ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   <.cop 4183   U.cuni 4436   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   ran crn 5115   "cima 5117   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   topGenctg 16098   Topctop 20698  TopOnctopon 20715   Cn ccn 21028   tX ctx 21363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-map 7859  df-topgen 16104  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cn 21031  df-tx 21365

This theorem is referenced by:  uptx  21428  hauseqlcld  21449  txkgen  21455  cnmpt1t  21468  cnmpt2t  21476  txpconn  31214