Theorem txcnp 21423

Description: If two functions are continuous at D, then the ordered pair of them is continuous at D into the product topology. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
txcnp.4	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
txcnp.5	|- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )
txcnp.6	|- ( ph -> L e. (TopOn ` Z ) )
txcnp.7	|- ( ph -> D e. X )
txcnp.8	|- ( ph -> ( x e. X |-> A ) e. ( ( J CnP K ) ` D ) )
txcnp.9	|- ( ph -> ( x e. X |-> B ) e. ( ( J CnP L ) ` D ) )

Assertion

Ref	Expression
txcnp	|- ( ph -> ( x e. X |-> <. A , B >. ) e. ( ( J CnP ( K tX L ) ) ` D ) )

Distinct variable groups:   ph, x   x, Y   x, Z   x, D   x, X

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x)   J( x)   K( x)   L( x)

Proof of Theorem txcnp

Dummy variables s r t v w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		txcnp.4	. . . . . . 7 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
2		txcnp.5	. . . . . . 7 |- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )
3		txcnp.8	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. X |-> A ) e. ( ( J CnP K ) ` D ) )
4		cnpf2 21054	. . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ ( x e. X |-> A ) e. ( ( J CnP K ) ` D ) ) -> ( x e. X |-> A ) : X --> Y )
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. X |-> A ) : X --> Y )
6		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( x e. X |-> A ) = ( x e. X |-> A )
7	6	fmpt 6381	. . . . . 6 |- ( A. x e. X A e. Y <-> ( x e. X |-> A ) : X --> Y )
8	5, 7	sylibr 224	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. X A e. Y )
9	8	r19.21bi 2932	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> A e. Y )
10		txcnp.6	. . . . . . 7 |- ( ph -> L e. (TopOn ` Z ) )
11		txcnp.9	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. X |-> B ) e. ( ( J CnP L ) ` D ) )
12		cnpf2 21054	. . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. (TopOn ` Z ) /\ ( x e. X |-> B ) e. ( ( J CnP L ) ` D ) ) -> ( x e. X |-> B ) : X --> Z )
13	1, 10, 11, 12	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. X |-> B ) : X --> Z )
14		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( x e. X |-> B ) = ( x e. X |-> B )
15	14	fmpt 6381	. . . . . 6 |- ( A. x e. X B e. Z <-> ( x e. X |-> B ) : X --> Z )
16	13, 15	sylibr 224	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. X B e. Z )
17	16	r19.21bi 2932	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> B e. Z )
18		opelxpi 5148	. . . 4 |- ( ( A e. Y /\ B e. Z ) -> <. A , B >. e. ( Y X. Z ) )
19	9, 17, 18	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> <. A , B >. e. ( Y X. Z ) )
20		eqid 2622	. . 3 |- ( x e. X |-> <. A , B >. ) = ( x e. X |-> <. A , B >. )
21	19, 20	fmptd 6385	. 2 |- ( ph -> ( x e. X |-> <. A , B >. ) : X --> ( Y X. Z ) )
22		txcnp.7	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> D e. X )
23		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> x e. X )
24		opex 4932	. . . . . . . . . . . 12 |- <. A , B >. e. _V
25	20	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. X /\ <. A , B >. e. _V ) -> ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` x ) = <. A , B >. )
26	23, 24, 25	sylancl 694	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` x ) = <. A , B >. )
27	6	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. X /\ A e. Y ) -> ( ( x e. X |-> A ) ` x ) = A )
28	23, 9, 27	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( x e. X |-> A ) ` x ) = A )
29	14	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. X /\ B e. Z ) -> ( ( x e. X |-> B ) ` x ) = B )
30	23, 17, 29	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( x e. X |-> B ) ` x ) = B )
31	28, 30	opeq12d 4410	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> <. ( ( x e. X |-> A ) ` x ) , ( ( x e. X |-> B ) ` x ) >. = <. A , B >. )
32	26, 31	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` x ) = <. ( ( x e. X |-> A ) ` x ) , ( ( x e. X |-> B ) ` x ) >. )
33	32	ralrimiva 2966	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. x e. X ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` x ) = <. ( ( x e. X |-> A ) ` x ) , ( ( x e. X |-> B ) ` x ) >. )
34		nffvmpt1 6199	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ x ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` D )
35		nffvmpt1 6199	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ x ( ( x e. X |-> A ) ` D )
36		nffvmpt1 6199	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ x ( ( x e. X |-> B ) ` D )
37	35, 36	nfop 4418	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ x <. ( ( x e. X |-> A ) ` D ) , ( ( x e. X |-> B ) ` D ) >.
38	34, 37	nfeq 2776	. . . . . . . . . 10 |- F/ x ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` D ) = <. ( ( x e. X |-> A ) ` D ) , ( ( x e. X |-> B ) ` D ) >.
39		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = D -> ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` x ) = ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` D ) )
40		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = D -> ( ( x e. X |-> A ) ` x ) = ( ( x e. X |-> A ) ` D ) )
41		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = D -> ( ( x e. X |-> B ) ` x ) = ( ( x e. X |-> B ) ` D ) )
42	40, 41	opeq12d 4410	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = D -> <. ( ( x e. X |-> A ) ` x ) , ( ( x e. X |-> B ) ` x ) >. = <. ( ( x e. X |-> A ) ` D ) , ( ( x e. X |-> B ) ` D ) >. )
43	39, 42	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . 10 |- ( x = D -> ( ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` x ) = <. ( ( x e. X |-> A ) ` x ) , ( ( x e. X |-> B ) ` x ) >. <-> ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` D ) = <. ( ( x e. X |-> A ) ` D ) , ( ( x e. X |-> B ) ` D ) >. ) )
44	38, 43	rspc 3303	. . . . . . . . 9 |- ( D e. X -> ( A. x e. X ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` x ) = <. ( ( x e. X |-> A ) ` x ) , ( ( x e. X |-> B ) ` x ) >. -> ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` D ) = <. ( ( x e. X |-> A ) ` D ) , ( ( x e. X |-> B ) ` D ) >. ) )
45	22, 33, 44	sylc 65	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` D ) = <. ( ( x e. X |-> A ) ` D ) , ( ( x e. X |-> B ) ` D ) >. )
46	45	eleq1d 2686	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` D ) e. ( v X. w ) <-> <. ( ( x e. X |-> A ) ` D ) , ( ( x e. X |-> B ) ` D ) >. e. ( v X. w ) ) )
47	46	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( v e. K /\ w e. L ) ) -> ( ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` D ) e. ( v X. w ) <-> <. ( ( x e. X |-> A ) ` D ) , ( ( x e. X |-> B ) ` D ) >. e. ( v X. w ) ) )
48	3	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( v e. K /\ w e. L ) ) /\ ( ( ( x e. X |-> A ) ` D ) e. v /\ ( ( x e. X |-> B ) ` D ) e. w ) ) -> ( x e. X |-> A ) e. ( ( J CnP K ) ` D ) )
49		simplrl 800	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( v e. K /\ w e. L ) ) /\ ( ( ( x e. X |-> A ) ` D ) e. v /\ ( ( x e. X |-> B ) ` D ) e. w ) ) -> v e. K )
50		simprl 794	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( v e. K /\ w e. L ) ) /\ ( ( ( x e. X |-> A ) ` D ) e. v /\ ( ( x e. X |-> B ) ` D ) e. w ) ) -> ( ( x e. X |-> A ) ` D ) e. v )
51		cnpimaex 21060	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. X |-> A ) e. ( ( J CnP K ) ` D ) /\ v e. K /\ ( ( x e. X |-> A ) ` D ) e. v ) -> E. r e. J ( D e. r /\ ( ( x e. X |-> A ) " r ) C_ v ) )
52	48, 49, 50, 51	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( v e. K /\ w e. L ) ) /\ ( ( ( x e. X |-> A ) ` D ) e. v /\ ( ( x e. X |-> B ) ` D ) e. w ) ) -> E. r e. J ( D e. r /\ ( ( x e. X |-> A ) " r ) C_ v ) )
53	11	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( v e. K /\ w e. L ) ) /\ ( ( ( x e. X |-> A ) ` D ) e. v /\ ( ( x e. X |-> B ) ` D ) e. w ) ) -> ( x e. X |-> B ) e. ( ( J CnP L ) ` D ) )
54		simplrr 801	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( v e. K /\ w e. L ) ) /\ ( ( ( x e. X |-> A ) ` D ) e. v /\ ( ( x e. X |-> B ) ` D ) e. w ) ) -> w e. L )
55		simprr 796	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( v e. K /\ w e. L ) ) /\ ( ( ( x e. X |-> A ) ` D ) e. v /\ ( ( x e. X |-> B ) ` D ) e. w ) ) -> ( ( x e. X |-> B ) ` D ) e. w )
56		cnpimaex 21060	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. X |-> B ) e. ( ( J CnP L ) ` D ) /\ w e. L /\ ( ( x e. X |-> B ) ` D ) e. w ) -> E. s e. J ( D e. s /\ ( ( x e. X |-> B ) " s ) C_ w ) )
57	53, 54, 55, 56	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( v e. K /\ w e. L ) ) /\ ( ( ( x e. X |-> A ) ` D ) e. v /\ ( ( x e. X |-> B ) ` D ) e. w ) ) -> E. s e. J ( D e. s /\ ( ( x e. X |-> B ) " s ) C_ w ) )
58	52, 57	jca 554	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( v e. K /\ w e. L ) ) /\ ( ( ( x e. X |-> A ) ` D ) e. v /\ ( ( x e. X |-> B ) ` D ) e. w ) ) -> ( E. r e. J ( D e. r /\ ( ( x e. X |-> A ) " r ) C_ v ) /\ E. s e. J ( D e. s /\ ( ( x e. X |-> B ) " s ) C_ w ) ) )
59	58	ex 450	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( v e. K /\ w e. L ) ) -> ( ( ( ( x e. X |-> A ) ` D ) e. v /\ ( ( x e. X |-> B ) ` D ) e. w ) -> ( E. r e. J ( D e. r /\ ( ( x e. X |-> A ) " r ) C_ v ) /\ E. s e. J ( D e. s /\ ( ( x e. X |-> B ) " s ) C_ w ) ) ) )
60		opelxp 5146	. . . . . . 7 |- ( <. ( ( x e. X |-> A ) ` D ) , ( ( x e. X |-> B ) ` D ) >. e. ( v X. w ) <-> ( ( ( x e. X |-> A ) ` D ) e. v /\ ( ( x e. X |-> B ) ` D ) e. w ) )
61		reeanv 3107	. . . . . . 7 |- ( E. r e. J E. s e. J ( ( D e. r /\ ( ( x e. X |-> A ) " r ) C_ v ) /\ ( D e. s /\ ( ( x e. X |-> B ) " s ) C_ w ) ) <-> ( E. r e. J ( D e. r /\ ( ( x e. X |-> A ) " r ) C_ v ) /\ E. s e. J ( D e. s /\ ( ( x e. X |-> B ) " s ) C_ w ) ) )
62	59, 60, 61	3imtr4g 285	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( v e. K /\ w e. L ) ) -> ( <. ( ( x e. X |-> A ) ` D ) , ( ( x e. X |-> B ) ` D ) >. e. ( v X. w ) -> E. r e. J E. s e. J ( ( D e. r /\ ( ( x e. X |-> A ) " r ) C_ v ) /\ ( D e. s /\ ( ( x e. X |-> B ) " s ) C_ w ) ) ) )
63	47, 62	sylbid 230	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( v e. K /\ w e. L ) ) -> ( ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` D ) e. ( v X. w ) -> E. r e. J E. s e. J ( ( D e. r /\ ( ( x e. X |-> A ) " r ) C_ v ) /\ ( D e. s /\ ( ( x e. X |-> B ) " s ) C_ w ) ) ) )
64		an4 865	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( D e. r /\ ( ( x e. X |-> A ) " r ) C_ v ) /\ ( D e. s /\ ( ( x e. X |-> B ) " s ) C_ w ) ) <-> ( ( D e. r /\ D e. s ) /\ ( ( ( x e. X |-> A ) " r ) C_ v /\ ( ( x e. X |-> B ) " s ) C_ w ) ) )
65		elin 3796	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( D e. ( r i^i s ) <-> ( D e. r /\ D e. s ) )
66	65	biimpri 218	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( D e. r /\ D e. s ) -> D e. ( r i^i s ) )
67	66	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( v e. K /\ w e. L ) ) /\ ( r e. J /\ s e. J ) ) -> ( ( D e. r /\ D e. s ) -> D e. ( r i^i s ) ) )
68		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( r e. J /\ s e. J ) -> r e. J )
69		toponss 20731	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ r e. J ) -> r C_ X )
70	1, 68, 69	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( r e. J /\ s e. J ) ) -> r C_ X )
71		ssinss1 3841	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( r C_ X -> ( r i^i s ) C_ X )
72	71	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ r C_ X ) -> ( r i^i s ) C_ X )
73	72	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ r C_ X ) /\ t e. ( r i^i s ) ) -> t e. X )
74	33	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ r C_ X ) /\ t e. ( r i^i s ) ) -> A. x e. X ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` x ) = <. ( ( x e. X |-> A ) ` x ) , ( ( x e. X |-> B ) ` x ) >. )
75		nffvmpt1 6199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- F/_ x ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` t )
76		nffvmpt1 6199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- F/_ x ( ( x e. X |-> A ) ` t )
77		nffvmpt1 6199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- F/_ x ( ( x e. X |-> B ) ` t )
78	76, 77	nfop 4418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- F/_ x <. ( ( x e. X |-> A ) ` t ) , ( ( x e. X |-> B ) ` t ) >.
79	75, 78	nfeq 2776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/ x ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` t ) = <. ( ( x e. X |-> A ) ` t ) , ( ( x e. X |-> B ) ` t ) >.
80		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = t -> ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` x ) = ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` t ) )
81		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x = t -> ( ( x e. X |-> A ) ` x ) = ( ( x e. X |-> A ) ` t ) )
82		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x = t -> ( ( x e. X |-> B ) ` x ) = ( ( x e. X |-> B ) ` t ) )
83	81, 82	opeq12d 4410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = t -> <. ( ( x e. X |-> A ) ` x ) , ( ( x e. X |-> B ) ` x ) >. = <. ( ( x e. X |-> A ) ` t ) , ( ( x e. X |-> B ) ` t ) >. )
84	80, 83	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = t -> ( ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` x ) = <. ( ( x e. X |-> A ) ` x ) , ( ( x e. X |-> B ) ` x ) >. <-> ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` t ) = <. ( ( x e. X |-> A ) ` t ) , ( ( x e. X |-> B ) ` t ) >. ) )
85	79, 84	rspc 3303	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( t e. X -> ( A. x e. X ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` x ) = <. ( ( x e. X |-> A ) ` x ) , ( ( x e. X |-> B ) ` x ) >. -> ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` t ) = <. ( ( x e. X |-> A ) ` t ) , ( ( x e. X |-> B ) ` t ) >. ) )
86	73, 74, 85	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ r C_ X ) /\ t e. ( r i^i s ) ) -> ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` t ) = <. ( ( x e. X |-> A ) ` t ) , ( ( x e. X |-> B ) ` t ) >. )
87		inss1 3833	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( r i^i s ) C_ r
88		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ r C_ X ) /\ t e. ( r i^i s ) ) -> t e. ( r i^i s ) )
89	87, 88	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ r C_ X ) /\ t e. ( r i^i s ) ) -> t e. r )
90	5	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ r C_ X ) /\ t e. ( r i^i s ) ) -> ( x e. X |-> A ) : X --> Y )
91		ffun 6048	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( x e. X |-> A ) : X --> Y -> Fun ( x e. X |-> A ) )
92	90, 91	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ r C_ X ) /\ t e. ( r i^i s ) ) -> Fun ( x e. X |-> A ) )
93	72	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ r C_ X ) /\ t e. ( r i^i s ) ) -> ( r i^i s ) C_ X )
94		fdm 6051	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( x e. X |-> A ) : X --> Y -> dom ( x e. X |-> A ) = X )
95	90, 94	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ r C_ X ) /\ t e. ( r i^i s ) ) -> dom ( x e. X |-> A ) = X )
96	93, 95	sseqtr4d 3642	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ r C_ X ) /\ t e. ( r i^i s ) ) -> ( r i^i s ) C_ dom ( x e. X |-> A ) )
97	96, 88	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ r C_ X ) /\ t e. ( r i^i s ) ) -> t e. dom ( x e. X |-> A ) )
98		funfvima 6492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( Fun ( x e. X |-> A ) /\ t e. dom ( x e. X |-> A ) ) -> ( t e. r -> ( ( x e. X |-> A ) ` t ) e. ( ( x e. X |-> A ) " r ) ) )
99	92, 97, 98	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ r C_ X ) /\ t e. ( r i^i s ) ) -> ( t e. r -> ( ( x e. X |-> A ) ` t ) e. ( ( x e. X |-> A ) " r ) ) )
100	89, 99	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ r C_ X ) /\ t e. ( r i^i s ) ) -> ( ( x e. X |-> A ) ` t ) e. ( ( x e. X |-> A ) " r ) )
101		inss2 3834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( r i^i s ) C_ s
102	101, 88	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ r C_ X ) /\ t e. ( r i^i s ) ) -> t e. s )
103	13	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ r C_ X ) /\ t e. ( r i^i s ) ) -> ( x e. X |-> B ) : X --> Z )
104		ffun 6048	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( x e. X |-> B ) : X --> Z -> Fun ( x e. X |-> B ) )
105	103, 104	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ r C_ X ) /\ t e. ( r i^i s ) ) -> Fun ( x e. X |-> B ) )
106		fdm 6051	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( x e. X |-> B ) : X --> Z -> dom ( x e. X |-> B ) = X )
107	103, 106	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ r C_ X ) /\ t e. ( r i^i s ) ) -> dom ( x e. X |-> B ) = X )
108	93, 107	sseqtr4d 3642	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ r C_ X ) /\ t e. ( r i^i s ) ) -> ( r i^i s ) C_ dom ( x e. X |-> B ) )
109	108, 88	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ r C_ X ) /\ t e. ( r i^i s ) ) -> t e. dom ( x e. X |-> B ) )
110		funfvima 6492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( Fun ( x e. X |-> B ) /\ t e. dom ( x e. X |-> B ) ) -> ( t e. s -> ( ( x e. X |-> B ) ` t ) e. ( ( x e. X |-> B ) " s ) ) )
111	105, 109, 110	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ r C_ X ) /\ t e. ( r i^i s ) ) -> ( t e. s -> ( ( x e. X |-> B ) ` t ) e. ( ( x e. X |-> B ) " s ) ) )
112	102, 111	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ r C_ X ) /\ t e. ( r i^i s ) ) -> ( ( x e. X |-> B ) ` t ) e. ( ( x e. X |-> B ) " s ) )
113		opelxpi 5148	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( x e. X |-> A ) ` t ) e. ( ( x e. X |-> A ) " r ) /\ ( ( x e. X |-> B ) ` t ) e. ( ( x e. X |-> B ) " s ) ) -> <. ( ( x e. X |-> A ) ` t ) , ( ( x e. X |-> B ) ` t ) >. e. ( ( ( x e. X |-> A ) " r ) X. ( ( x e. X |-> B ) " s ) ) )
114	100, 112, 113	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ r C_ X ) /\ t e. ( r i^i s ) ) -> <. ( ( x e. X |-> A ) ` t ) , ( ( x e. X |-> B ) ` t ) >. e. ( ( ( x e. X |-> A ) " r ) X. ( ( x e. X |-> B ) " s ) ) )
115	86, 114	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ r C_ X ) /\ t e. ( r i^i s ) ) -> ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` t ) e. ( ( ( x e. X |-> A ) " r ) X. ( ( x e. X |-> B ) " s ) ) )
116	115	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ r C_ X ) -> A. t e. ( r i^i s ) ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` t ) e. ( ( ( x e. X |-> A ) " r ) X. ( ( x e. X |-> B ) " s ) ) )
117		ffun 6048	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) : X --> ( Y X. Z ) -> Fun ( x e. X |-> <. A , B >. ) )
118	21, 117	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> Fun ( x e. X |-> <. A , B >. ) )
119	118	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ r C_ X ) -> Fun ( x e. X |-> <. A , B >. ) )
120		fdm 6051	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) : X --> ( Y X. Z ) -> dom ( x e. X |-> <. A , B >. ) = X )
121	21, 120	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> dom ( x e. X |-> <. A , B >. ) = X )
122	121	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ r C_ X ) -> dom ( x e. X |-> <. A , B >. ) = X )
123	72, 122	sseqtr4d 3642	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ r C_ X ) -> ( r i^i s ) C_ dom ( x e. X |-> <. A , B >. ) )
124		funimass4 6247	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( Fun ( x e. X |-> <. A , B >. ) /\ ( r i^i s ) C_ dom ( x e. X |-> <. A , B >. ) ) -> ( ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " ( r i^i s ) ) C_ ( ( ( x e. X |-> A ) " r ) X. ( ( x e. X |-> B ) " s ) ) <-> A. t e. ( r i^i s ) ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` t ) e. ( ( ( x e. X |-> A ) " r ) X. ( ( x e. X |-> B ) " s ) ) ) )
125	119, 123, 124	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ r C_ X ) -> ( ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " ( r i^i s ) ) C_ ( ( ( x e. X |-> A ) " r ) X. ( ( x e. X |-> B ) " s ) ) <-> A. t e. ( r i^i s ) ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` t ) e. ( ( ( x e. X |-> A ) " r ) X. ( ( x e. X |-> B ) " s ) ) ) )
126	116, 125	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ r C_ X ) -> ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " ( r i^i s ) ) C_ ( ( ( x e. X |-> A ) " r ) X. ( ( x e. X |-> B ) " s ) ) )
127	70, 126	syldan 487	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( r e. J /\ s e. J ) ) -> ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " ( r i^i s ) ) C_ ( ( ( x e. X |-> A ) " r ) X. ( ( x e. X |-> B ) " s ) ) )
128	127	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( v e. K /\ w e. L ) ) /\ ( r e. J /\ s e. J ) ) -> ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " ( r i^i s ) ) C_ ( ( ( x e. X |-> A ) " r ) X. ( ( x e. X |-> B ) " s ) ) )
129		xpss12 5225	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. X |-> A ) " r ) C_ v /\ ( ( x e. X |-> B ) " s ) C_ w ) -> ( ( ( x e. X |-> A ) " r ) X. ( ( x e. X |-> B ) " s ) ) C_ ( v X. w ) )
130		sstr2 3610	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " ( r i^i s ) ) C_ ( ( ( x e. X |-> A ) " r ) X. ( ( x e. X |-> B ) " s ) ) -> ( ( ( ( x e. X |-> A ) " r ) X. ( ( x e. X |-> B ) " s ) ) C_ ( v X. w ) -> ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " ( r i^i s ) ) C_ ( v X. w ) ) )
131	128, 129, 130	syl2im 40	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( v e. K /\ w e. L ) ) /\ ( r e. J /\ s e. J ) ) -> ( ( ( ( x e. X |-> A ) " r ) C_ v /\ ( ( x e. X |-> B ) " s ) C_ w ) -> ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " ( r i^i s ) ) C_ ( v X. w ) ) )
132	67, 131	anim12d 586	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( v e. K /\ w e. L ) ) /\ ( r e. J /\ s e. J ) ) -> ( ( ( D e. r /\ D e. s ) /\ ( ( ( x e. X |-> A ) " r ) C_ v /\ ( ( x e. X |-> B ) " s ) C_ w ) ) -> ( D e. ( r i^i s ) /\ ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " ( r i^i s ) ) C_ ( v X. w ) ) ) )
133	64, 132	syl5bi 232	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( v e. K /\ w e. L ) ) /\ ( r e. J /\ s e. J ) ) -> ( ( ( D e. r /\ ( ( x e. X |-> A ) " r ) C_ v ) /\ ( D e. s /\ ( ( x e. X |-> B ) " s ) C_ w ) ) -> ( D e. ( r i^i s ) /\ ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " ( r i^i s ) ) C_ ( v X. w ) ) ) )
134		topontop 20718	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> J e. Top )
135	1, 134	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> J e. Top )
136		inopn 20704	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. Top /\ r e. J /\ s e. J ) -> ( r i^i s ) e. J )
137	136	3expb 1266	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. Top /\ ( r e. J /\ s e. J ) ) -> ( r i^i s ) e. J )
138	135, 137	sylan 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( r e. J /\ s e. J ) ) -> ( r i^i s ) e. J )
139	138	adantlr 751	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( v e. K /\ w e. L ) ) /\ ( r e. J /\ s e. J ) ) -> ( r i^i s ) e. J )
140	133, 139	jctild 566	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( v e. K /\ w e. L ) ) /\ ( r e. J /\ s e. J ) ) -> ( ( ( D e. r /\ ( ( x e. X |-> A ) " r ) C_ v ) /\ ( D e. s /\ ( ( x e. X |-> B ) " s ) C_ w ) ) -> ( ( r i^i s ) e. J /\ ( D e. ( r i^i s ) /\ ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " ( r i^i s ) ) C_ ( v X. w ) ) ) ) )
141	140	expimpd 629	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( v e. K /\ w e. L ) ) -> ( ( ( r e. J /\ s e. J ) /\ ( ( D e. r /\ ( ( x e. X |-> A ) " r ) C_ v ) /\ ( D e. s /\ ( ( x e. X |-> B ) " s ) C_ w ) ) ) -> ( ( r i^i s ) e. J /\ ( D e. ( r i^i s ) /\ ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " ( r i^i s ) ) C_ ( v X. w ) ) ) ) )
142		eleq2 2690	. . . . . . . . . 10 |- ( z = ( r i^i s ) -> ( D e. z <-> D e. ( r i^i s ) ) )
143		imaeq2 5462	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( r i^i s ) -> ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " z ) = ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " ( r i^i s ) ) )
144	143	sseq1d 3632	. . . . . . . . . 10 |- ( z = ( r i^i s ) -> ( ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " z ) C_ ( v X. w ) <-> ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " ( r i^i s ) ) C_ ( v X. w ) ) )
145	142, 144	anbi12d 747	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( r i^i s ) -> ( ( D e. z /\ ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " z ) C_ ( v X. w ) ) <-> ( D e. ( r i^i s ) /\ ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " ( r i^i s ) ) C_ ( v X. w ) ) ) )
146	145	rspcev 3309	. . . . . . . 8 |- ( ( ( r i^i s ) e. J /\ ( D e. ( r i^i s ) /\ ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " ( r i^i s ) ) C_ ( v X. w ) ) ) -> E. z e. J ( D e. z /\ ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " z ) C_ ( v X. w ) ) )
147	141, 146	syl6 35	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( v e. K /\ w e. L ) ) -> ( ( ( r e. J /\ s e. J ) /\ ( ( D e. r /\ ( ( x e. X |-> A ) " r ) C_ v ) /\ ( D e. s /\ ( ( x e. X |-> B ) " s ) C_ w ) ) ) -> E. z e. J ( D e. z /\ ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " z ) C_ ( v X. w ) ) ) )
148	147	expd 452	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( v e. K /\ w e. L ) ) -> ( ( r e. J /\ s e. J ) -> ( ( ( D e. r /\ ( ( x e. X |-> A ) " r ) C_ v ) /\ ( D e. s /\ ( ( x e. X |-> B ) " s ) C_ w ) ) -> E. z e. J ( D e. z /\ ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " z ) C_ ( v X. w ) ) ) ) )
149	148	rexlimdvv 3037	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( v e. K /\ w e. L ) ) -> ( E. r e. J E. s e. J ( ( D e. r /\ ( ( x e. X |-> A ) " r ) C_ v ) /\ ( D e. s /\ ( ( x e. X |-> B ) " s ) C_ w ) ) -> E. z e. J ( D e. z /\ ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " z ) C_ ( v X. w ) ) ) )
150	63, 149	syld 47	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( v e. K /\ w e. L ) ) -> ( ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` D ) e. ( v X. w ) -> E. z e. J ( D e. z /\ ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " z ) C_ ( v X. w ) ) ) )
151	150	ralrimivva 2971	. . 3 |- ( ph -> A. v e. K A. w e. L ( ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` D ) e. ( v X. w ) -> E. z e. J ( D e. z /\ ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " z ) C_ ( v X. w ) ) ) )
152		vex 3203	. . . . . 6 |- v e. _V
153		vex 3203	. . . . . 6 |- w e. _V
154	152, 153	xpex 6962	. . . . 5 |- ( v X. w ) e. _V
155	154	rgen2w 2925	. . . 4 |- A. v e. K A. w e. L ( v X. w ) e. _V
156		eqid 2622	. . . . 5 |- ( v e. K , w e. L |-> ( v X. w ) ) = ( v e. K , w e. L |-> ( v X. w ) )
157		eleq2 2690	. . . . . 6 |- ( y = ( v X. w ) -> ( ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` D ) e. y <-> ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` D ) e. ( v X. w ) ) )
158		sseq2 3627	. . . . . . . 8 |- ( y = ( v X. w ) -> ( ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " z ) C_ y <-> ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " z ) C_ ( v X. w ) ) )
159	158	anbi2d 740	. . . . . . 7 |- ( y = ( v X. w ) -> ( ( D e. z /\ ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " z ) C_ y ) <-> ( D e. z /\ ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " z ) C_ ( v X. w ) ) ) )
160	159	rexbidv 3052	. . . . . 6 |- ( y = ( v X. w ) -> ( E. z e. J ( D e. z /\ ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " z ) C_ y ) <-> E. z e. J ( D e. z /\ ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " z ) C_ ( v X. w ) ) ) )
161	157, 160	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( y = ( v X. w ) -> ( ( ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` D ) e. y -> E. z e. J ( D e. z /\ ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " z ) C_ y ) ) <-> ( ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` D ) e. ( v X. w ) -> E. z e. J ( D e. z /\ ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " z ) C_ ( v X. w ) ) ) ) )
162	156, 161	ralrnmpt2 6775	. . . 4 |- ( A. v e. K A. w e. L ( v X. w ) e. _V -> ( A. y e. ran ( v e. K , w e. L |-> ( v X. w ) ) ( ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` D ) e. y -> E. z e. J ( D e. z /\ ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " z ) C_ y ) ) <-> A. v e. K A. w e. L ( ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` D ) e. ( v X. w ) -> E. z e. J ( D e. z /\ ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " z ) C_ ( v X. w ) ) ) ) )
163	155, 162	ax-mp 5	. . 3 |- ( A. y e. ran ( v e. K , w e. L |-> ( v X. w ) ) ( ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` D ) e. y -> E. z e. J ( D e. z /\ ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " z ) C_ y ) ) <-> A. v e. K A. w e. L ( ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` D ) e. ( v X. w ) -> E. z e. J ( D e. z /\ ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " z ) C_ ( v X. w ) ) ) )
164	151, 163	sylibr 224	. 2 |- ( ph -> A. y e. ran ( v e. K , w e. L |-> ( v X. w ) ) ( ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` D ) e. y -> E. z e. J ( D e. z /\ ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " z ) C_ y ) ) )
165		topontop 20718	. . . . 5 |- ( K e. (TopOn ` Y ) -> K e. Top )
166	2, 165	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> K e. Top )
167		topontop 20718	. . . . 5 |- ( L e. (TopOn ` Z ) -> L e. Top )
168	10, 167	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> L e. Top )
169		eqid 2622	. . . . 5 |- ran ( v e. K , w e. L |-> ( v X. w ) ) = ran ( v e. K , w e. L |-> ( v X. w ) )
170	169	txval 21367	. . . 4 |- ( ( K e. Top /\ L e. Top ) -> ( K tX L ) = ( topGen ` ran ( v e. K , w e. L |-> ( v X. w ) ) ) )
171	166, 168, 170	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> ( K tX L ) = ( topGen ` ran ( v e. K , w e. L |-> ( v X. w ) ) ) )
172		txtopon 21394	. . . 4 |- ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ L e. (TopOn ` Z ) ) -> ( K tX L ) e. (TopOn ` ( Y X. Z ) ) )
173	2, 10, 172	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> ( K tX L ) e. (TopOn ` ( Y X. Z ) ) )
174	1, 171, 173, 22	tgcnp 21057	. 2 |- ( ph -> ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) e. ( ( J CnP ( K tX L ) ) ` D ) <-> ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) : X --> ( Y X. Z ) /\ A. y e. ran ( v e. K , w e. L |-> ( v X. w ) ) ( ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` D ) e. y -> E. z e. J ( D e. z /\ ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " z ) C_ y ) ) ) ) )
175	21, 164, 174	mpbir2and 957	1 |- ( ph -> ( x e. X |-> <. A , B >. ) e. ( ( J CnP ( K tX L ) ) ` D ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   <.cop 4183   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   dom cdm 5114   ran crn 5115   "cima 5117   Fun wfun 5882   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   topGenctg 16098   Topctop 20698  TopOnctopon 20715   CnP ccnp 21029   tX ctx 21363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-map 7859  df-topgen 16104  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cnp 21032  df-tx 21365

This theorem is referenced by:  limccnp2  23656