Theorem rexrnmpt2 6776

Description: A restricted quantifier over an image set. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngop.1	|- F = ( x e. A , y e. B |-> C )
ralrnmpt2.2	|- ( z = C -> ( ph <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
rexrnmpt2	|- ( A. x e. A A. y e. B C e. V -> ( E. z e. ran F ph <-> E. x e. A E. y e. B ps ) )

Distinct variable groups:   y, z, A   z, B   z, C   z, F   ps, z   x, y, z   ph, x, y

Allowed substitution hints:   ph( z)   ps( x, y)   A( x)   B( x, y)   C( x, y)   F( x, y)   V( x, y, z)

Proof of Theorem rexrnmpt2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngop.1	. . . 4 |- F = ( x e. A , y e. B |-> C )
2		ralrnmpt2.2	. . . . 5 |- ( z = C -> ( ph <-> ps ) )
3	2	notbid 308	. . . 4 |- ( z = C -> ( -. ph <-> -. ps ) )
4	1, 3	ralrnmpt2 6775	. . 3 |- ( A. x e. A A. y e. B C e. V -> ( A. z e. ran F -. ph <-> A. x e. A A. y e. B -. ps ) )
5	4	notbid 308	. 2 |- ( A. x e. A A. y e. B C e. V -> ( -. A. z e. ran F -. ph <-> -. A. x e. A A. y e. B -. ps ) )
6		dfrex2 2996	. 2 |- ( E. z e. ran F ph <-> -. A. z e. ran F -. ph )
7		dfrex2 2996	. . . 4 |- ( E. y e. B ps <-> -. A. y e. B -. ps )
8	7	rexbii 3041	. . 3 |- ( E. x e. A E. y e. B ps <-> E. x e. A -. A. y e. B -. ps )
9		rexnal 2995	. . 3 |- ( E. x e. A -. A. y e. B -. ps <-> -. A. x e. A A. y e. B -. ps )
10	8, 9	bitri 264	. 2 |- ( E. x e. A E. y e. B ps <-> -. A. x e. A A. y e. B -. ps )
11	5, 6, 10	3bitr4g 303	1 |- ( A. x e. A A. y e. B C e. V -> ( E. z e. ran F ph <-> E. x e. A E. y e. B ps ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   ran crn 5115   |-> cmpt2 6652

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-br 4654  df-opab 4713  df-cnv 5122  df-dm 5124  df-rn 5125  df-oprab 6654  df-mpt2 6655

This theorem is referenced by:  lsmass  18083  eltx  21371  txrest  21434  txlm  21451  ptrest  33408