Theorem rclexi 37922

Description: The reflexive closure of a set exists. (Contributed by RP, 27-Oct-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
rclexi.1	|- A e. V

Assertion

Ref	Expression
rclexi	|- |^| { x | ( A C_ x /\ ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) C_ x ) } e. _V

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hint:   V( x)

Proof of Theorem rclexi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssun1 3776	. 2 |- A C_ ( A u. ( _I |` ( dom A u. ran A ) ) )
2		dmun 5331	. . . . . . 7 |- dom ( A u. ( _I |` ( dom A u. ran A ) ) ) = ( dom A u. dom ( _I |` ( dom A u. ran A ) ) )
3		dmresi 5457	. . . . . . . 8 |- dom ( _I |` ( dom A u. ran A ) ) = ( dom A u. ran A )
4	3	uneq2i 3764	. . . . . . 7 |- ( dom A u. dom ( _I |` ( dom A u. ran A ) ) ) = ( dom A u. ( dom A u. ran A ) )
5		ssun1 3776	. . . . . . . 8 |- dom A C_ ( dom A u. ran A )
6		ssequn1 3783	. . . . . . . 8 |- ( dom A C_ ( dom A u. ran A ) <-> ( dom A u. ( dom A u. ran A ) ) = ( dom A u. ran A ) )
7	5, 6	mpbi 220	. . . . . . 7 |- ( dom A u. ( dom A u. ran A ) ) = ( dom A u. ran A )
8	2, 4, 7	3eqtri 2648	. . . . . 6 |- dom ( A u. ( _I |` ( dom A u. ran A ) ) ) = ( dom A u. ran A )
9		rnun 5541	. . . . . . 7 |- ran ( A u. ( _I |` ( dom A u. ran A ) ) ) = ( ran A u. ran ( _I |` ( dom A u. ran A ) ) )
10		rnresi 5479	. . . . . . . 8 |- ran ( _I |` ( dom A u. ran A ) ) = ( dom A u. ran A )
11	10	uneq2i 3764	. . . . . . 7 |- ( ran A u. ran ( _I |` ( dom A u. ran A ) ) ) = ( ran A u. ( dom A u. ran A ) )
12		ssun2 3777	. . . . . . . 8 |- ran A C_ ( dom A u. ran A )
13		ssequn1 3783	. . . . . . . 8 |- ( ran A C_ ( dom A u. ran A ) <-> ( ran A u. ( dom A u. ran A ) ) = ( dom A u. ran A ) )
14	12, 13	mpbi 220	. . . . . . 7 |- ( ran A u. ( dom A u. ran A ) ) = ( dom A u. ran A )
15	9, 11, 14	3eqtri 2648	. . . . . 6 |- ran ( A u. ( _I |` ( dom A u. ran A ) ) ) = ( dom A u. ran A )
16	8, 15	uneq12i 3765	. . . . 5 |- ( dom ( A u. ( _I |` ( dom A u. ran A ) ) ) u. ran ( A u. ( _I |` ( dom A u. ran A ) ) ) ) = ( ( dom A u. ran A ) u. ( dom A u. ran A ) )
17		unidm 3756	. . . . 5 |- ( ( dom A u. ran A ) u. ( dom A u. ran A ) ) = ( dom A u. ran A )
18	16, 17	eqtri 2644	. . . 4 |- ( dom ( A u. ( _I |` ( dom A u. ran A ) ) ) u. ran ( A u. ( _I |` ( dom A u. ran A ) ) ) ) = ( dom A u. ran A )
19	18	reseq2i 5393	. . 3 |- ( _I |` ( dom ( A u. ( _I |` ( dom A u. ran A ) ) ) u. ran ( A u. ( _I |` ( dom A u. ran A ) ) ) ) ) = ( _I |` ( dom A u. ran A ) )
20		ssun2 3777	. . 3 |- ( _I |` ( dom A u. ran A ) ) C_ ( A u. ( _I |` ( dom A u. ran A ) ) )
21	19, 20	eqsstri 3635	. 2 |- ( _I |` ( dom ( A u. ( _I |` ( dom A u. ran A ) ) ) u. ran ( A u. ( _I |` ( dom A u. ran A ) ) ) ) ) C_ ( A u. ( _I |` ( dom A u. ran A ) ) )
22		rclexi.1	. . . . . 6 |- A e. V
23	22	elexi 3213	. . . . 5 |- A e. _V
24		dmexg 7097	. . . . . . . 8 |- ( A e. V -> dom A e. _V )
25		rnexg 7098	. . . . . . . 8 |- ( A e. V -> ran A e. _V )
26		unexg 6959	. . . . . . . 8 |- ( ( dom A e. _V /\ ran A e. _V ) -> ( dom A u. ran A ) e. _V )
27	24, 25, 26	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( A e. V -> ( dom A u. ran A ) e. _V )
28	27	resiexd 6480	. . . . . 6 |- ( A e. V -> ( _I |` ( dom A u. ran A ) ) e. _V )
29	22, 28	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( _I |` ( dom A u. ran A ) ) e. _V
30	23, 29	unex 6956	. . . 4 |- ( A u. ( _I |` ( dom A u. ran A ) ) ) e. _V
31		dmeq 5324	. . . . . . . 8 |- ( x = ( A u. ( _I |` ( dom A u. ran A ) ) ) -> dom x = dom ( A u. ( _I |` ( dom A u. ran A ) ) ) )
32		rneq 5351	. . . . . . . 8 |- ( x = ( A u. ( _I |` ( dom A u. ran A ) ) ) -> ran x = ran ( A u. ( _I |` ( dom A u. ran A ) ) ) )
33	31, 32	uneq12d 3768	. . . . . . 7 |- ( x = ( A u. ( _I |` ( dom A u. ran A ) ) ) -> ( dom x u. ran x ) = ( dom ( A u. ( _I |` ( dom A u. ran A ) ) ) u. ran ( A u. ( _I |` ( dom A u. ran A ) ) ) ) )
34	33	reseq2d 5396	. . . . . 6 |- ( x = ( A u. ( _I |` ( dom A u. ran A ) ) ) -> ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) = ( _I |` ( dom ( A u. ( _I |` ( dom A u. ran A ) ) ) u. ran ( A u. ( _I |` ( dom A u. ran A ) ) ) ) ) )
35		id 22	. . . . . 6 |- ( x = ( A u. ( _I |` ( dom A u. ran A ) ) ) -> x = ( A u. ( _I |` ( dom A u. ran A ) ) ) )
36	34, 35	sseq12d 3634	. . . . 5 |- ( x = ( A u. ( _I |` ( dom A u. ran A ) ) ) -> ( ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) C_ x <-> ( _I |` ( dom ( A u. ( _I |` ( dom A u. ran A ) ) ) u. ran ( A u. ( _I |` ( dom A u. ran A ) ) ) ) ) C_ ( A u. ( _I |` ( dom A u. ran A ) ) ) ) )
37	36	cleq2lem 37914	. . . 4 |- ( x = ( A u. ( _I |` ( dom A u. ran A ) ) ) -> ( ( A C_ x /\ ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) C_ x ) <-> ( A C_ ( A u. ( _I |` ( dom A u. ran A ) ) ) /\ ( _I |` ( dom ( A u. ( _I |` ( dom A u. ran A ) ) ) u. ran ( A u. ( _I |` ( dom A u. ran A ) ) ) ) ) C_ ( A u. ( _I |` ( dom A u. ran A ) ) ) ) ) )
38	30, 37	spcev 3300	. . 3 |- ( ( A C_ ( A u. ( _I |` ( dom A u. ran A ) ) ) /\ ( _I |` ( dom ( A u. ( _I |` ( dom A u. ran A ) ) ) u. ran ( A u. ( _I |` ( dom A u. ran A ) ) ) ) ) C_ ( A u. ( _I |` ( dom A u. ran A ) ) ) ) -> E. x ( A C_ x /\ ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) C_ x ) )
39		intexab 4822	. . 3 |- ( E. x ( A C_ x /\ ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) C_ x ) <-> |^| { x | ( A C_ x /\ ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) C_ x ) } e. _V )
40	38, 39	sylib 208	. 2 |- ( ( A C_ ( A u. ( _I |` ( dom A u. ran A ) ) ) /\ ( _I |` ( dom ( A u. ( _I |` ( dom A u. ran A ) ) ) u. ran ( A u. ( _I |` ( dom A u. ran A ) ) ) ) ) C_ ( A u. ( _I |` ( dom A u. ran A ) ) ) ) -> |^| { x | ( A C_ x /\ ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) C_ x ) } e. _V )
41	1, 21, 40	mp2an 708	1 |- |^| { x | ( A C_ x /\ ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) C_ x ) } e. _V

Syntax hints:   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   {cab 2608   _Vcvv 3200   u. cun 3572   C_ wss 3574   |^|cint 4475   _I cid 5023   dom cdm 5114   ran crn 5115   |` cres 5116

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896

This theorem is referenced by: (None)