Theorem refssfne 32353

Description: A cover is a refinement iff it is a subcover of something which is both finer and a refinement. (Contributed by Jeff Hankins, 18-Jan-2010.) (Revised by Thierry Arnoux, 3-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
refssfne.1	|- X = U. A
refssfne.2	|- Y = U. B

Assertion

Ref	Expression
refssfne	|- ( X = Y -> ( B Ref A <-> E. c ( B C_ c /\ ( A Fne c /\ c Ref A ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, c   B, c   X, c   Y, c

Proof of Theorem refssfne

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		refrel 21311	. . . . . . 7 |- Rel Ref
2	1	brrelex2i 5159	. . . . . 6 |- ( B Ref A -> A e. _V )
3	2	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( X = Y /\ B Ref A ) -> A e. _V )
4	1	brrelexi 5158	. . . . . 6 |- ( B Ref A -> B e. _V )
5	4	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( X = Y /\ B Ref A ) -> B e. _V )
6		unexg 6959	. . . . 5 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> ( A u. B ) e. _V )
7	3, 5, 6	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( X = Y /\ B Ref A ) -> ( A u. B ) e. _V )
8		ssun2 3777	. . . . . 6 |- B C_ ( A u. B )
9	8	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( X = Y /\ B Ref A ) -> B C_ ( A u. B ) )
10		ssun1 3776	. . . . . . 7 |- A C_ ( A u. B )
11	10	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( X = Y /\ B Ref A ) -> A C_ ( A u. B ) )
12		eqimss2 3658	. . . . . . . . 9 |- ( X = Y -> Y C_ X )
13	12	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( X = Y /\ B Ref A ) -> Y C_ X )
14		ssequn2 3786	. . . . . . . 8 |- ( Y C_ X <-> ( X u. Y ) = X )
15	13, 14	sylib 208	. . . . . . 7 |- ( ( X = Y /\ B Ref A ) -> ( X u. Y ) = X )
16	15	eqcomd 2628	. . . . . 6 |- ( ( X = Y /\ B Ref A ) -> X = ( X u. Y ) )
17		refssfne.1	. . . . . . 7 |- X = U. A
18		refssfne.2	. . . . . . . . 9 |- Y = U. B
19	17, 18	uneq12i 3765	. . . . . . . 8 |- ( X u. Y ) = ( U. A u. U. B )
20		uniun 4456	. . . . . . . 8 |- U. ( A u. B ) = ( U. A u. U. B )
21	19, 20	eqtr4i 2647	. . . . . . 7 |- ( X u. Y ) = U. ( A u. B )
22	17, 21	fness 32344	. . . . . 6 |- ( ( ( A u. B ) e. _V /\ A C_ ( A u. B ) /\ X = ( X u. Y ) ) -> A Fne ( A u. B ) )
23	7, 11, 16, 22	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( X = Y /\ B Ref A ) -> A Fne ( A u. B ) )
24		elun 3753	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( A u. B ) <-> ( x e. A \/ x e. B ) )
25		ssid 3624	. . . . . . . . . . 11 |- x C_ x
26		sseq2 3627	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = x -> ( x C_ y <-> x C_ x ) )
27	26	rspcev 3309	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. A /\ x C_ x ) -> E. y e. A x C_ y )
28	25, 27	mpan2 707	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. A -> E. y e. A x C_ y )
29	28	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( X = Y /\ B Ref A ) -> ( x e. A -> E. y e. A x C_ y ) )
30		refssex 21314	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B Ref A /\ x e. B ) -> E. y e. A x C_ y )
31	30	ex 450	. . . . . . . . . 10 |- ( B Ref A -> ( x e. B -> E. y e. A x C_ y ) )
32	31	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( X = Y /\ B Ref A ) -> ( x e. B -> E. y e. A x C_ y ) )
33	29, 32	jaod 395	. . . . . . . 8 |- ( ( X = Y /\ B Ref A ) -> ( ( x e. A \/ x e. B ) -> E. y e. A x C_ y ) )
34	24, 33	syl5bi 232	. . . . . . 7 |- ( ( X = Y /\ B Ref A ) -> ( x e. ( A u. B ) -> E. y e. A x C_ y ) )
35	34	ralrimiv 2965	. . . . . 6 |- ( ( X = Y /\ B Ref A ) -> A. x e. ( A u. B ) E. y e. A x C_ y )
36	21, 17	isref 21312	. . . . . . 7 |- ( ( A u. B ) e. _V -> ( ( A u. B ) Ref A <-> ( X = ( X u. Y ) /\ A. x e. ( A u. B ) E. y e. A x C_ y ) ) )
37	7, 36	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( X = Y /\ B Ref A ) -> ( ( A u. B ) Ref A <-> ( X = ( X u. Y ) /\ A. x e. ( A u. B ) E. y e. A x C_ y ) ) )
38	16, 35, 37	mpbir2and 957	. . . . 5 |- ( ( X = Y /\ B Ref A ) -> ( A u. B ) Ref A )
39	9, 23, 38	jca32 558	. . . 4 |- ( ( X = Y /\ B Ref A ) -> ( B C_ ( A u. B ) /\ ( A Fne ( A u. B ) /\ ( A u. B ) Ref A ) ) )
40		sseq2 3627	. . . . . 6 |- ( c = ( A u. B ) -> ( B C_ c <-> B C_ ( A u. B ) ) )
41		breq2 4657	. . . . . . 7 |- ( c = ( A u. B ) -> ( A Fne c <-> A Fne ( A u. B ) ) )
42		breq1 4656	. . . . . . 7 |- ( c = ( A u. B ) -> ( c Ref A <-> ( A u. B ) Ref A ) )
43	41, 42	anbi12d 747	. . . . . 6 |- ( c = ( A u. B ) -> ( ( A Fne c /\ c Ref A ) <-> ( A Fne ( A u. B ) /\ ( A u. B ) Ref A ) ) )
44	40, 43	anbi12d 747	. . . . 5 |- ( c = ( A u. B ) -> ( ( B C_ c /\ ( A Fne c /\ c Ref A ) ) <-> ( B C_ ( A u. B ) /\ ( A Fne ( A u. B ) /\ ( A u. B ) Ref A ) ) ) )
45	44	spcegv 3294	. . . 4 |- ( ( A u. B ) e. _V -> ( ( B C_ ( A u. B ) /\ ( A Fne ( A u. B ) /\ ( A u. B ) Ref A ) ) -> E. c ( B C_ c /\ ( A Fne c /\ c Ref A ) ) ) )
46	7, 39, 45	sylc 65	. . 3 |- ( ( X = Y /\ B Ref A ) -> E. c ( B C_ c /\ ( A Fne c /\ c Ref A ) ) )
47	46	ex 450	. 2 |- ( X = Y -> ( B Ref A -> E. c ( B C_ c /\ ( A Fne c /\ c Ref A ) ) ) )
48		vex 3203	. . . . . . . 8 |- c e. _V
49	48	ssex 4802	. . . . . . 7 |- ( B C_ c -> B e. _V )
50	49	ad2antrl 764	. . . . . 6 |- ( ( X = Y /\ ( B C_ c /\ ( A Fne c /\ c Ref A ) ) ) -> B e. _V )
51		simprl 794	. . . . . 6 |- ( ( X = Y /\ ( B C_ c /\ ( A Fne c /\ c Ref A ) ) ) -> B C_ c )
52		simpl 473	. . . . . . 7 |- ( ( X = Y /\ ( B C_ c /\ ( A Fne c /\ c Ref A ) ) ) -> X = Y )
53		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- U. c = U. c
54	53, 17	refbas 21313	. . . . . . . . 9 |- ( c Ref A -> X = U. c )
55	54	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( A Fne c /\ c Ref A ) -> X = U. c )
56	55	ad2antll 765	. . . . . . 7 |- ( ( X = Y /\ ( B C_ c /\ ( A Fne c /\ c Ref A ) ) ) -> X = U. c )
57	52, 56	eqtr3d 2658	. . . . . 6 |- ( ( X = Y /\ ( B C_ c /\ ( A Fne c /\ c Ref A ) ) ) -> Y = U. c )
58	18, 53	ssref 21315	. . . . . 6 |- ( ( B e. _V /\ B C_ c /\ Y = U. c ) -> B Ref c )
59	50, 51, 57, 58	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( X = Y /\ ( B C_ c /\ ( A Fne c /\ c Ref A ) ) ) -> B Ref c )
60		simprrr 805	. . . . 5 |- ( ( X = Y /\ ( B C_ c /\ ( A Fne c /\ c Ref A ) ) ) -> c Ref A )
61		reftr 21317	. . . . 5 |- ( ( B Ref c /\ c Ref A ) -> B Ref A )
62	59, 60, 61	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( X = Y /\ ( B C_ c /\ ( A Fne c /\ c Ref A ) ) ) -> B Ref A )
63	62	ex 450	. . 3 |- ( X = Y -> ( ( B C_ c /\ ( A Fne c /\ c Ref A ) ) -> B Ref A ) )
64	63	exlimdv 1861	. 2 |- ( X = Y -> ( E. c ( B C_ c /\ ( A Fne c /\ c Ref A ) ) -> B Ref A ) )
65	47, 64	impbid 202	1 |- ( X = Y -> ( B Ref A <-> E. c ( B C_ c /\ ( A Fne c /\ c Ref A ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   u. cun 3572   C_ wss 3574   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   Refcref 21305   Fnecfne 32331

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-topgen 16104  df-ref 21308  df-fne 32332

This theorem is referenced by: (None)