Theorem restnlly 21285

Description: If the property A passes to open subspaces, then a space is n-locally A iff it is locally A. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
restlly.1	|- ( ( ph /\ ( j e. A /\ x e. j ) ) -> ( j ↾t x ) e. A )

Assertion

Ref	Expression
restnlly	|- ( ph -> 𝑛Locally A = Locally A )

Distinct variable groups:   x, j, A   ph, j, x

Proof of Theorem restnlly

Dummy variables k s u y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nllytop 21276	. . . . . 6 |- ( k e. 𝑛Locally A -> k e. Top )
2	1	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) -> k e. Top )
3		nlly2i 21279	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. 𝑛Locally A /\ y e. k /\ u e. y ) -> E. s e. ~P y E. x e. k ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) )
4	3	3adant1l 1318	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) -> E. s e. ~P y E. x e. k ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) )
5		simprl 794	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) /\ s e. ~P y ) /\ ( x e. k /\ ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) ) ) -> x e. k )
6		simprr2 1110	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) /\ s e. ~P y ) /\ ( x e. k /\ ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) ) ) -> x C_ s )
7		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) /\ s e. ~P y ) /\ ( x e. k /\ ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) ) ) -> s e. ~P y )
8	7	elpwid 4170	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) /\ s e. ~P y ) /\ ( x e. k /\ ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) ) ) -> s C_ y )
9	6, 8	sstrd 3613	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) /\ s e. ~P y ) /\ ( x e. k /\ ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) ) ) -> x C_ y )
10		selpw 4165	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ~P y <-> x C_ y )
11	9, 10	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) /\ s e. ~P y ) /\ ( x e. k /\ ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) ) ) -> x e. ~P y )
12	5, 11	elind 3798	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) /\ s e. ~P y ) /\ ( x e. k /\ ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) ) ) -> x e. ( k i^i ~P y ) )
13		simprr1 1109	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) /\ s e. ~P y ) /\ ( x e. k /\ ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) ) ) -> u e. x )
14		simpll1 1100	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) /\ s e. ~P y ) /\ ( x e. k /\ ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) ) ) -> ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) )
15	14	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) /\ s e. ~P y ) /\ ( x e. k /\ ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) ) ) -> k e. 𝑛Locally A )
16	15, 1	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) /\ s e. ~P y ) /\ ( x e. k /\ ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) ) ) -> k e. Top )
17		restabs 20969	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k e. Top /\ x C_ s /\ s e. ~P y ) -> ( ( k ↾t s ) ↾t x ) = ( k ↾t x ) )
18	16, 6, 7, 17	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) /\ s e. ~P y ) /\ ( x e. k /\ ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) ) ) -> ( ( k ↾t s ) ↾t x ) = ( k ↾t x ) )
19		simprr3 1111	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) /\ s e. ~P y ) /\ ( x e. k /\ ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) ) ) -> ( k ↾t s ) e. A )
20	14	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) /\ s e. ~P y ) /\ ( x e. k /\ ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) ) ) -> ph )
21		restlly.1	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( j e. A /\ x e. j ) ) -> ( j ↾t x ) e. A )
22	21	expr 643	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> ( x e. j -> ( j ↾t x ) e. A ) )
23	22	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A. j e. A ( x e. j -> ( j ↾t x ) e. A ) )
24	20, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) /\ s e. ~P y ) /\ ( x e. k /\ ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) ) ) -> A. j e. A ( x e. j -> ( j ↾t x ) e. A ) )
25		df-ss 3588	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x C_ s <-> ( x i^i s ) = x )
26	6, 25	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) /\ s e. ~P y ) /\ ( x e. k /\ ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) ) ) -> ( x i^i s ) = x )
27		elrestr 16089	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( k e. Top /\ s e. ~P y /\ x e. k ) -> ( x i^i s ) e. ( k ↾t s ) )
28	16, 7, 5, 27	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) /\ s e. ~P y ) /\ ( x e. k /\ ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) ) ) -> ( x i^i s ) e. ( k ↾t s ) )
29	26, 28	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) /\ s e. ~P y ) /\ ( x e. k /\ ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) ) ) -> x e. ( k ↾t s ) )
30		eleq2 2690	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j = ( k ↾t s ) -> ( x e. j <-> x e. ( k ↾t s ) ) )
31		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j = ( k ↾t s ) -> ( j ↾t x ) = ( ( k ↾t s ) ↾t x ) )
32	31	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j = ( k ↾t s ) -> ( ( j ↾t x ) e. A <-> ( ( k ↾t s ) ↾t x ) e. A ) )
33	30, 32	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j = ( k ↾t s ) -> ( ( x e. j -> ( j ↾t x ) e. A ) <-> ( x e. ( k ↾t s ) -> ( ( k ↾t s ) ↾t x ) e. A ) ) )
34	33	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k ↾t s ) e. A -> ( A. j e. A ( x e. j -> ( j ↾t x ) e. A ) -> ( x e. ( k ↾t s ) -> ( ( k ↾t s ) ↾t x ) e. A ) ) )
35	19, 24, 29, 34	syl3c 66	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) /\ s e. ~P y ) /\ ( x e. k /\ ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) ) ) -> ( ( k ↾t s ) ↾t x ) e. A )
36	18, 35	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) /\ s e. ~P y ) /\ ( x e. k /\ ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) ) ) -> ( k ↾t x ) e. A )
37	12, 13, 36	jca32 558	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) /\ s e. ~P y ) /\ ( x e. k /\ ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) ) ) -> ( x e. ( k i^i ~P y ) /\ ( u e. x /\ ( k ↾t x ) e. A ) ) )
38	37	ex 450	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) /\ s e. ~P y ) -> ( ( x e. k /\ ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) ) -> ( x e. ( k i^i ~P y ) /\ ( u e. x /\ ( k ↾t x ) e. A ) ) ) )
39	38	reximdv2 3014	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) /\ s e. ~P y ) -> ( E. x e. k ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) -> E. x e. ( k i^i ~P y ) ( u e. x /\ ( k ↾t x ) e. A ) ) )
40	39	rexlimdva 3031	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) -> ( E. s e. ~P y E. x e. k ( u e. x /\ x C_ s /\ ( k ↾t s ) e. A ) -> E. x e. ( k i^i ~P y ) ( u e. x /\ ( k ↾t x ) e. A ) ) )
41	4, 40	mpd 15	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ y e. k /\ u e. y ) -> E. x e. ( k i^i ~P y ) ( u e. x /\ ( k ↾t x ) e. A ) )
42	41	3expb 1266	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) /\ ( y e. k /\ u e. y ) ) -> E. x e. ( k i^i ~P y ) ( u e. x /\ ( k ↾t x ) e. A ) )
43	42	ralrimivva 2971	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) -> A. y e. k A. u e. y E. x e. ( k i^i ~P y ) ( u e. x /\ ( k ↾t x ) e. A ) )
44		islly 21271	. . . . 5 |- ( k e. Locally A <-> ( k e. Top /\ A. y e. k A. u e. y E. x e. ( k i^i ~P y ) ( u e. x /\ ( k ↾t x ) e. A ) ) )
45	2, 43, 44	sylanbrc 698	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. 𝑛Locally A ) -> k e. Locally A )
46	45	ex 450	. . 3 |- ( ph -> ( k e. 𝑛Locally A -> k e. Locally A ) )
47	46	ssrdv 3609	. 2 |- ( ph -> 𝑛Locally A C_ Locally A )
48		llyssnlly 21281	. . 3 |- Locally A C_ 𝑛Locally A
49	48	a1i 11	. 2 |- ( ph -> Locally A C_ 𝑛Locally A )
50	47, 49	eqssd 3620	1 |- ( ph -> 𝑛Locally A = Locally A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158  (class class class)co 6650   ↾_t crest 16081   Topctop 20698  Locally clly 21267  𝑛Locally cnlly 21268

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-rest 16083  df-top 20699  df-nei 20902  df-lly 21269  df-nlly 21270

This theorem is referenced by:  loclly  21290  hausnlly  21296