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Theorem subislly 21284
Description: The property of a subspace being locally A. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
subislly |- ( ( J e. Top /\ B e. V ) -> ( ( J ↾t B ) e. Locally A <-> A. x e. J A. y e. ( x i^i B ) E. u e. J ( ( u i^i B ) C_ x /\ y e. u /\ ( J ↾t ( u i^i B ) ) e. A ) ) )
Distinct variable groups:   x, u, y, A   u, B, x, y   u, J, x, y   u, V, x, y
Proof of Theorem subislly
Dummy variables w z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resttop 20964 . . 3 |- ( ( J e. Top /\ B e. V ) -> ( J ↾t B ) e. Top )
2 islly 21271 . . . 4 |- ( ( J ↾t B ) e. Locally A <-> ( ( J ↾t B ) e. Top /\ A. z e. ( J ↾t B ) A. y e. z E. w e. ( ( J ↾t B ) i^i ~P z ) ( y e. w /\ ( ( J ↾t B ) ↾t w ) e. A ) ) )
32baib 944 . . 3 |- ( ( J ↾t B ) e. Top -> ( ( J ↾t B ) e. Locally A <-> A. z e. ( J ↾t B ) A. y e. z E. w e. ( ( J ↾t B ) i^i ~P z ) ( y e. w /\ ( ( J ↾t B ) ↾t w ) e. A ) ) )
41, 3syl 17 . 2 |- ( ( J e. Top /\ B e. V ) -> ( ( J ↾t B ) e. Locally A <-> A. z e. ( J ↾t B ) A. y e. z E. w e. ( ( J ↾t B ) i^i ~P z ) ( y e. w /\ ( ( J ↾t B ) ↾t w ) e. A ) ) )
5 vex 3203 . . . . 5 |- x e. _V
65inex1 4799 . . . 4 |- ( x i^i B ) e. _V
76a1i 11 . . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ B e. V ) /\ x e. J ) -> ( x i^i B ) e. _V )
8 elrest 16088 . . 3 |- ( ( J e. Top /\ B e. V ) -> ( z e. ( J ↾t B ) <-> E. x e. J z = ( x i^i B ) ) )
9 simpr 477 . . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ B e. V ) /\ z = ( x i^i B ) ) -> z = ( x i^i B ) )
109raleqdv 3144 . . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ B e. V ) /\ z = ( x i^i B ) ) -> ( A. y e. z E. w e. ( ( J ↾t B ) i^i ~P z ) ( y e. w /\ ( ( J ↾t B ) ↾t w ) e. A ) <-> A. y e. ( x i^i B ) E. w e. ( ( J ↾t B ) i^i ~P z ) ( y e. w /\ ( ( J ↾t B ) ↾t w ) e. A ) ) )
11 elin 3796 . . . . . . . . 9 |- ( w e. ( ( J ↾t B ) i^i ~P z ) <-> ( w e. ( J ↾t B ) /\ w e. ~P z ) )
1211anbi1i 731 . . . . . . . 8 |- ( ( w e. ( ( J ↾t B ) i^i ~P z ) /\ ( y e. w /\ ( ( J ↾t B ) ↾t w ) e. A ) ) <-> ( ( w e. ( J ↾t B ) /\ w e. ~P z ) /\ ( y e. w /\ ( ( J ↾t B ) ↾t w ) e. A ) ) )
13 anass 681 . . . . . . . 8 |- ( ( ( w e. ( J ↾t B ) /\ w e. ~P z ) /\ ( y e. w /\ ( ( J ↾t B ) ↾t w ) e. A ) ) <-> ( w e. ( J ↾t B ) /\ ( w e. ~P z /\ ( y e. w /\ ( ( J ↾t B ) ↾t w ) e. A ) ) ) )
1412, 13bitri 264 . . . . . . 7 |- ( ( w e. ( ( J ↾t B ) i^i ~P z ) /\ ( y e. w /\ ( ( J ↾t B ) ↾t w ) e. A ) ) <-> ( w e. ( J ↾t B ) /\ ( w e. ~P z /\ ( y e. w /\ ( ( J ↾t B ) ↾t w ) e. A ) ) ) )
1514rexbii2 3039 . . . . . 6 |- ( E. w e. ( ( J ↾t B ) i^i ~P z ) ( y e. w /\ ( ( J ↾t B ) ↾t w ) e. A ) <-> E. w e. ( J ↾t B ) ( w e. ~P z /\ ( y e. w /\ ( ( J ↾t B ) ↾t w ) e. A ) ) )
16 vex 3203 . . . . . . . . 9 |- u e. _V
1716inex1 4799 . . . . . . . 8 |- ( u i^i B ) e. _V
1817a1i 11 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ B e. V ) /\ z = ( x i^i B ) ) /\ y e. ( x i^i B ) ) /\ u e. J ) -> ( u i^i B ) e. _V )
19 elrest 16088 . . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ B e. V ) -> ( w e. ( J ↾t B ) <-> E. u e. J w = ( u i^i B ) ) )
2019ad2antrr 762 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. Top /\ B e. V ) /\ z = ( x i^i B ) ) /\ y e. ( x i^i B ) ) -> ( w e. ( J ↾t B ) <-> E. u e. J w = ( u i^i B ) ) )
21 3anass 1042 . . . . . . . 8 |- ( ( w e. ~P z /\ y e. w /\ ( ( J ↾t B ) ↾t w ) e. A ) <-> ( w e. ~P z /\ ( y e. w /\ ( ( J ↾t B ) ↾t w ) e. A ) ) )
22 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ B e. V ) /\ z = ( x i^i B ) ) /\ y e. ( x i^i B ) ) /\ w = ( u i^i B ) ) -> w = ( u i^i B ) )
23 simpllr 799 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ B e. V ) /\ z = ( x i^i B ) ) /\ y e. ( x i^i B ) ) /\ w = ( u i^i B ) ) -> z = ( x i^i B ) )
2422, 23sseq12d 3634 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ B e. V ) /\ z = ( x i^i B ) ) /\ y e. ( x i^i B ) ) /\ w = ( u i^i B ) ) -> ( w C_ z <-> ( u i^i B ) C_ ( x i^i B ) ) )
25 selpw 4165 . . . . . . . . . 10 |- ( w e. ~P z <-> w C_ z )
26 inss2 3834 . . . . . . . . . . . 12 |- ( u i^i B ) C_ B
2726biantru 526 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( u i^i B ) C_ x <-> ( ( u i^i B ) C_ x /\ ( u i^i B ) C_ B ) )
28 ssin 3835 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( u i^i B ) C_ x /\ ( u i^i B ) C_ B ) <-> ( u i^i B ) C_ ( x i^i B ) )
2927, 28bitri 264 . . . . . . . . . 10 |- ( ( u i^i B ) C_ x <-> ( u i^i B ) C_ ( x i^i B ) )
3024, 25, 293bitr4g 303 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ B e. V ) /\ z = ( x i^i B ) ) /\ y e. ( x i^i B ) ) /\ w = ( u i^i B ) ) -> ( w e. ~P z <-> ( u i^i B ) C_ x ) )
3122eleq2d 2687 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ B e. V ) /\ z = ( x i^i B ) ) /\ y e. ( x i^i B ) ) /\ w = ( u i^i B ) ) -> ( y e. w <-> y e. ( u i^i B ) ) )
32 inss2 3834 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( x i^i B ) C_ B
33 simplr 792 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ B e. V ) /\ z = ( x i^i B ) ) /\ y e. ( x i^i B ) ) /\ w = ( u i^i B ) ) -> y e. ( x i^i B ) )
3432, 33sseldi 3601 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ B e. V ) /\ z = ( x i^i B ) ) /\ y e. ( x i^i B ) ) /\ w = ( u i^i B ) ) -> y e. B )
3534biantrud 528 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ B e. V ) /\ z = ( x i^i B ) ) /\ y e. ( x i^i B ) ) /\ w = ( u i^i B ) ) -> ( y e. u <-> ( y e. u /\ y e. B ) ) )
36 elin 3796 . . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ( u i^i B ) <-> ( y e. u /\ y e. B ) )
3735, 36syl6bbr 278 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ B e. V ) /\ z = ( x i^i B ) ) /\ y e. ( x i^i B ) ) /\ w = ( u i^i B ) ) -> ( y e. u <-> y e. ( u i^i B ) ) )
3831, 37bitr4d 271 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ B e. V ) /\ z = ( x i^i B ) ) /\ y e. ( x i^i B ) ) /\ w = ( u i^i B ) ) -> ( y e. w <-> y e. u ) )
3922oveq2d 6666 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ B e. V ) /\ z = ( x i^i B ) ) /\ y e. ( x i^i B ) ) /\ w = ( u i^i B ) ) -> ( ( J ↾t B ) ↾t w ) = ( ( J ↾t B ) ↾t ( u i^i B ) ) )
40 simp-4l 806 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ B e. V ) /\ z = ( x i^i B ) ) /\ y e. ( x i^i B ) ) /\ w = ( u i^i B ) ) -> J e. Top )
4126a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ B e. V ) /\ z = ( x i^i B ) ) /\ y e. ( x i^i B ) ) /\ w = ( u i^i B ) ) -> ( u i^i B ) C_ B )
42 simplr 792 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( J e. Top /\ B e. V ) /\ z = ( x i^i B ) ) -> B e. V )
4342ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ B e. V ) /\ z = ( x i^i B ) ) /\ y e. ( x i^i B ) ) /\ w = ( u i^i B ) ) -> B e. V )
44 restabs 20969 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. Top /\ ( u i^i B ) C_ B /\ B e. V ) -> ( ( J ↾t B ) ↾t ( u i^i B ) ) = ( J ↾t ( u i^i B ) ) )
4540, 41, 43, 44syl3anc 1326 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ B e. V ) /\ z = ( x i^i B ) ) /\ y e. ( x i^i B ) ) /\ w = ( u i^i B ) ) -> ( ( J ↾t B ) ↾t ( u i^i B ) ) = ( J ↾t ( u i^i B ) ) )
4639, 45eqtrd 2656 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ B e. V ) /\ z = ( x i^i B ) ) /\ y e. ( x i^i B ) ) /\ w = ( u i^i B ) ) -> ( ( J ↾t B ) ↾t w ) = ( J ↾t ( u i^i B ) ) )
4746eleq1d 2686 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ B e. V ) /\ z = ( x i^i B ) ) /\ y e. ( x i^i B ) ) /\ w = ( u i^i B ) ) -> ( ( ( J ↾t B ) ↾t w ) e. A <-> ( J ↾t ( u i^i B ) ) e. A ) )
4830, 38, 473anbi123d 1399 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ B e. V ) /\ z = ( x i^i B ) ) /\ y e. ( x i^i B ) ) /\ w = ( u i^i B ) ) -> ( ( w e. ~P z /\ y e. w /\ ( ( J ↾t B ) ↾t w ) e. A ) <-> ( ( u i^i B ) C_ x /\ y e. u /\ ( J ↾t ( u i^i B ) ) e. A ) ) )
4921, 48syl5bbr 274 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ B e. V ) /\ z = ( x i^i B ) ) /\ y e. ( x i^i B ) ) /\ w = ( u i^i B ) ) -> ( ( w e. ~P z /\ ( y e. w /\ ( ( J ↾t B ) ↾t w ) e. A ) ) <-> ( ( u i^i B ) C_ x /\ y e. u /\ ( J ↾t ( u i^i B ) ) e. A ) ) )
5018, 20, 49rexxfr2d 4883 . . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. Top /\ B e. V ) /\ z = ( x i^i B ) ) /\ y e. ( x i^i B ) ) -> ( E. w e. ( J ↾t B ) ( w e. ~P z /\ ( y e. w /\ ( ( J ↾t B ) ↾t w ) e. A ) ) <-> E. u e. J ( ( u i^i B ) C_ x /\ y e. u /\ ( J ↾t ( u i^i B ) ) e. A ) ) )
5115, 50syl5bb 272 . . . . 5 |- ( ( ( ( J e. Top /\ B e. V ) /\ z = ( x i^i B ) ) /\ y e. ( x i^i B ) ) -> ( E. w e. ( ( J ↾t B ) i^i ~P z ) ( y e. w /\ ( ( J ↾t B ) ↾t w ) e. A ) <-> E. u e. J ( ( u i^i B ) C_ x /\ y e. u /\ ( J ↾t ( u i^i B ) ) e. A ) ) )
5251ralbidva 2985 . . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ B e. V ) /\ z = ( x i^i B ) ) -> ( A. y e. ( x i^i B ) E. w e. ( ( J ↾t B ) i^i ~P z ) ( y e. w /\ ( ( J ↾t B ) ↾t w ) e. A ) <-> A. y e. ( x i^i B ) E. u e. J ( ( u i^i B ) C_ x /\ y e. u /\ ( J ↾t ( u i^i B ) ) e. A ) ) )
5310, 52bitrd 268 . . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ B e. V ) /\ z = ( x i^i B ) ) -> ( A. y e. z E. w e. ( ( J ↾t B ) i^i ~P z ) ( y e. w /\ ( ( J ↾t B ) ↾t w ) e. A ) <-> A. y e. ( x i^i B ) E. u e. J ( ( u i^i B ) C_ x /\ y e. u /\ ( J ↾t ( u i^i B ) ) e. A ) ) )
547, 8, 53ralxfr2d 4882 . 2 |- ( ( J e. Top /\ B e. V ) -> ( A. z e. ( J ↾t B ) A. y e. z E. w e. ( ( J ↾t B ) i^i ~P z ) ( y e. w /\ ( ( J ↾t B ) ↾t w ) e. A ) <-> A. x e. J A. y e. ( x i^i B ) E. u e. J ( ( u i^i B ) C_ x /\ y e. u /\ ( J ↾t ( u i^i B ) ) e. A ) ) )
554, 54bitrd 268 1 |- ( ( J e. Top /\ B e. V ) -> ( ( J ↾t B ) e. Locally A <-> A. x e. J A. y e. ( x i^i B ) E. u e. J ( ( u i^i B ) C_ x /\ y e. u /\ ( J ↾t ( u i^i B ) ) e. A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158  (class class class)co 6650   ↾t crest 16081   Topctop 20698  Locally clly 21267
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-fin 7959  df-fi 8317  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-top 20699  df-bases 20750  df-lly 21269
This theorem is referenced by:  iccllysconn  31232
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