Theorem txlm 21451

Description: Two sequences converge iff the sequence of their ordered pairs converges. Proposition 14-2.6 of [Gleason] p. 230. (Contributed by NM, 16-Jul-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
txlm.z	|- Z = ( ZZ>= ` M )
txlm.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
txlm.j	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
txlm.k	|- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )
txlm.f	|- ( ph -> F : Z --> X )
txlm.g	|- ( ph -> G : Z --> Y )
txlm.h	|- H = ( n e. Z |-> <. ( F ` n ) , ( G ` n ) >. )

Assertion

Ref	Expression
txlm	|- ( ph -> ( ( F ( ~~> t ` J ) R /\ G ( ~~> t ` K ) S ) <-> H ( ~~> t ` ( J tX K ) ) <. R , S >. ) )

Distinct variable groups:   n, F   ph, n   n, G   n, J   n, K   n, X   n, Y   n, Z

Allowed substitution hints:   R( n)   S( n)   H( n)   M( n)

Proof of Theorem txlm

Dummy variables j k u v w t are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r19.27v 3070	. . . . . . . 8 |- ( ( A. u e. J ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) /\ A. v e. K ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) -> A. u e. J ( ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) /\ A. v e. K ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) )
2		r19.28v 3071	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) /\ A. v e. K ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) -> A. v e. K ( ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) /\ ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) )
3	2	ralimi 2952	. . . . . . . 8 |- ( A. u e. J ( ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) /\ A. v e. K ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) -> A. u e. J A. v e. K ( ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) /\ ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) )
4	1, 3	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( A. u e. J ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) /\ A. v e. K ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) -> A. u e. J A. v e. K ( ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) /\ ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) )
5		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( w e. ( J tX K ) /\ <. R , S >. e. w ) ) -> w e. ( J tX K ) )
6		txlm.j	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
7		topontop 20718	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> J e. Top )
8	6, 7	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> J e. Top )
9		txlm.k	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )
10		topontop 20718	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( K e. (TopOn ` Y ) -> K e. Top )
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> K e. Top )
12		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ran ( u e. J , v e. K |-> ( u X. v ) ) = ran ( u e. J , v e. K |-> ( u X. v ) )
13	12	txval 21367	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top ) -> ( J tX K ) = ( topGen ` ran ( u e. J , v e. K |-> ( u X. v ) ) ) )
14	8, 11, 13	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( J tX K ) = ( topGen ` ran ( u e. J , v e. K |-> ( u X. v ) ) ) )
15	14	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( w e. ( J tX K ) /\ <. R , S >. e. w ) ) -> ( J tX K ) = ( topGen ` ran ( u e. J , v e. K |-> ( u X. v ) ) ) )
16	5, 15	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( w e. ( J tX K ) /\ <. R , S >. e. w ) ) -> w e. ( topGen ` ran ( u e. J , v e. K |-> ( u X. v ) ) ) )
17		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( w e. ( J tX K ) /\ <. R , S >. e. w ) ) -> <. R , S >. e. w )
18		tg2 20769	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( w e. ( topGen ` ran ( u e. J , v e. K |-> ( u X. v ) ) ) /\ <. R , S >. e. w ) -> E. t e. ran ( u e. J , v e. K |-> ( u X. v ) ) ( <. R , S >. e. t /\ t C_ w ) )
19	16, 17, 18	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( w e. ( J tX K ) /\ <. R , S >. e. w ) ) -> E. t e. ran ( u e. J , v e. K |-> ( u X. v ) ) ( <. R , S >. e. t /\ t C_ w ) )
20		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- u e. _V
21		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- v e. _V
22	20, 21	xpex 6962	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u X. v ) e. _V
23	22	rgen2w 2925	. . . . . . . . . . . . . 14 |- A. u e. J A. v e. K ( u X. v ) e. _V
24		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u e. J , v e. K |-> ( u X. v ) ) = ( u e. J , v e. K |-> ( u X. v ) )
25		eleq2 2690	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( t = ( u X. v ) -> ( <. R , S >. e. t <-> <. R , S >. e. ( u X. v ) ) )
26		sseq1 3626	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( t = ( u X. v ) -> ( t C_ w <-> ( u X. v ) C_ w ) )
27	25, 26	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( t = ( u X. v ) -> ( ( <. R , S >. e. t /\ t C_ w ) <-> ( <. R , S >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ w ) ) )
28	24, 27	rexrnmpt2 6776	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. u e. J A. v e. K ( u X. v ) e. _V -> ( E. t e. ran ( u e. J , v e. K |-> ( u X. v ) ) ( <. R , S >. e. t /\ t C_ w ) <-> E. u e. J E. v e. K ( <. R , S >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ w ) ) )
29	23, 28	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. t e. ran ( u e. J , v e. K |-> ( u X. v ) ) ( <. R , S >. e. t /\ t C_ w ) <-> E. u e. J E. v e. K ( <. R , S >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ w ) )
30	19, 29	sylib 208	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( w e. ( J tX K ) /\ <. R , S >. e. w ) ) -> E. u e. J E. v e. K ( <. R , S >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ w ) )
31	30	ex 450	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( w e. ( J tX K ) /\ <. R , S >. e. w ) -> E. u e. J E. v e. K ( <. R , S >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ w ) ) )
32		r19.29 3072	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A. u e. J A. v e. K ( ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) /\ ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) /\ E. u e. J E. v e. K ( <. R , S >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ w ) ) -> E. u e. J ( A. v e. K ( ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) /\ ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) /\ E. v e. K ( <. R , S >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ w ) ) )
33		r19.29 3072	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A. v e. K ( ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) /\ ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) /\ E. v e. K ( <. R , S >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ w ) ) -> E. v e. K ( ( ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) /\ ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) /\ ( <. R , S >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ w ) ) )
34		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ v e. K ) /\ ( <. R , S >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ w ) ) -> <. R , S >. e. ( u X. v ) )
35		opelxp 5146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( <. R , S >. e. ( u X. v ) <-> ( R e. u /\ S e. v ) )
36	34, 35	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ v e. K ) /\ ( <. R , S >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ w ) ) -> ( R e. u /\ S e. v ) )
37		pm2.27 42	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( R e. u -> ( ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) )
38		pm2.27 42	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( S e. v -> ( ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) )
39	37, 38	im2anan9 880	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( R e. u /\ S e. v ) -> ( ( ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) /\ ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u /\ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) )
40	36, 39	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ v e. K ) /\ ( <. R , S >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ w ) ) -> ( ( ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) /\ ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u /\ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) )
41		txlm.z	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- Z = ( ZZ>= ` M )
42	41	rexanuz2 14089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. u /\ ( G ` k ) e. v ) <-> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u /\ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) )
43	41	uztrn2 11705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. Z )
44		opelxpi 5148	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( F ` k ) e. u /\ ( G ` k ) e. v ) -> <. ( F ` k ) , ( G ` k ) >. e. ( u X. v ) )
45		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( n = k -> ( F ` n ) = ( F ` k ) )
46		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( n = k -> ( G ` n ) = ( G ` k ) )
47	45, 46	opeq12d 4410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( n = k -> <. ( F ` n ) , ( G ` n ) >. = <. ( F ` k ) , ( G ` k ) >. )
48		txlm.h	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- H = ( n e. Z |-> <. ( F ` n ) , ( G ` n ) >. )
49		opex 4932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- <. ( F ` k ) , ( G ` k ) >. e. _V
50	47, 48, 49	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( k e. Z -> ( H ` k ) = <. ( F ` k ) , ( G ` k ) >. )
51	50	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( k e. Z -> ( ( H ` k ) e. ( u X. v ) <-> <. ( F ` k ) , ( G ` k ) >. e. ( u X. v ) ) )
52	44, 51	syl5ibr 236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( k e. Z -> ( ( ( F ` k ) e. u /\ ( G ` k ) e. v ) -> ( H ` k ) e. ( u X. v ) ) )
53	52	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ v e. K ) /\ ( <. R , S >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ w ) ) /\ k e. Z ) -> ( ( ( F ` k ) e. u /\ ( G ` k ) e. v ) -> ( H ` k ) e. ( u X. v ) ) )
54		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ v e. K ) /\ ( <. R , S >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ w ) ) /\ k e. Z ) -> ( u X. v ) C_ w )
55	54	sseld 3602	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ v e. K ) /\ ( <. R , S >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ w ) ) /\ k e. Z ) -> ( ( H ` k ) e. ( u X. v ) -> ( H ` k ) e. w ) )
56	53, 55	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ v e. K ) /\ ( <. R , S >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ w ) ) /\ k e. Z ) -> ( ( ( F ` k ) e. u /\ ( G ` k ) e. v ) -> ( H ` k ) e. w ) )
57	43, 56	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ v e. K ) /\ ( <. R , S >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ w ) ) /\ ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( ( ( F ` k ) e. u /\ ( G ` k ) e. v ) -> ( H ` k ) e. w ) )
58	57	anassrs 680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ v e. K ) /\ ( <. R , S >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ w ) ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( F ` k ) e. u /\ ( G ` k ) e. v ) -> ( H ` k ) e. w ) )
59	58	ralimdva 2962	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ v e. K ) /\ ( <. R , S >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ w ) ) /\ j e. Z ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. u /\ ( G ` k ) e. v ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. w ) )
60	59	reximdva 3017	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ v e. K ) /\ ( <. R , S >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ w ) ) -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. u /\ ( G ` k ) e. v ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. w ) )
61	42, 60	syl5bir 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ v e. K ) /\ ( <. R , S >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ w ) ) -> ( ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u /\ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. w ) )
62	40, 61	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ v e. K ) /\ ( <. R , S >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ w ) ) -> ( ( ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) /\ ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. w ) )
63	62	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ v e. K ) -> ( ( <. R , S >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ w ) -> ( ( ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) /\ ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. w ) ) )
64	63	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ v e. K ) -> ( ( ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) /\ ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) -> ( ( <. R , S >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ w ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. w ) ) )
65	64	impd 447	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ v e. K ) -> ( ( ( ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) /\ ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) /\ ( <. R , S >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ w ) ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. w ) )
66	65	rexlimdva 3031	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ u e. J ) -> ( E. v e. K ( ( ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) /\ ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) /\ ( <. R , S >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ w ) ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. w ) )
67	33, 66	syl5 34	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ u e. J ) -> ( ( A. v e. K ( ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) /\ ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) /\ E. v e. K ( <. R , S >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ w ) ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. w ) )
68	67	rexlimdva 3031	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( E. u e. J ( A. v e. K ( ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) /\ ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) /\ E. v e. K ( <. R , S >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ w ) ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. w ) )
69	32, 68	syl5 34	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( A. u e. J A. v e. K ( ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) /\ ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) /\ E. u e. J E. v e. K ( <. R , S >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ w ) ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. w ) )
70	69	expcomd 454	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( E. u e. J E. v e. K ( <. R , S >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ w ) -> ( A. u e. J A. v e. K ( ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) /\ ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. w ) ) )
71	31, 70	syld 47	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( w e. ( J tX K ) /\ <. R , S >. e. w ) -> ( A. u e. J A. v e. K ( ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) /\ ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. w ) ) )
72	71	expdimp 453	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ w e. ( J tX K ) ) -> ( <. R , S >. e. w -> ( A. u e. J A. v e. K ( ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) /\ ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. w ) ) )
73	72	com23 86	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ w e. ( J tX K ) ) -> ( A. u e. J A. v e. K ( ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) /\ ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) -> ( <. R , S >. e. w -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. w ) ) )
74	73	ralrimdva 2969	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A. u e. J A. v e. K ( ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) /\ ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) -> A. w e. ( J tX K ) ( <. R , S >. e. w -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. w ) ) )
75	4, 74	syl5 34	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( A. u e. J ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) /\ A. v e. K ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) -> A. w e. ( J tX K ) ( <. R , S >. e. w -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. w ) ) )
76	75	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( R e. X /\ S e. Y ) ) -> ( ( A. u e. J ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) /\ A. v e. K ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) -> A. w e. ( J tX K ) ( <. R , S >. e. w -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. w ) ) )
77	8	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( S e. Y /\ u e. J ) ) -> J e. Top )
78	11	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( S e. Y /\ u e. J ) ) -> K e. Top )
79		simprr 796	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( S e. Y /\ u e. J ) ) -> u e. J )
80		toponmax 20730	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( K e. (TopOn ` Y ) -> Y e. K )
81	9, 80	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> Y e. K )
82	81	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( S e. Y /\ u e. J ) ) -> Y e. K )
83		txopn 21405	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( u e. J /\ Y e. K ) ) -> ( u X. Y ) e. ( J tX K ) )
84	77, 78, 79, 82, 83	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( S e. Y /\ u e. J ) ) -> ( u X. Y ) e. ( J tX K ) )
85		eleq2 2690	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = ( u X. Y ) -> ( <. R , S >. e. w <-> <. R , S >. e. ( u X. Y ) ) )
86		eleq2 2690	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = ( u X. Y ) -> ( ( H ` k ) e. w <-> ( H ` k ) e. ( u X. Y ) ) )
87	86	rexralbidv 3058	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = ( u X. Y ) -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. w <-> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. ( u X. Y ) ) )
88	85, 87	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = ( u X. Y ) -> ( ( <. R , S >. e. w -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. w ) <-> ( <. R , S >. e. ( u X. Y ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. ( u X. Y ) ) ) )
89	88	rspcv 3305	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( u X. Y ) e. ( J tX K ) -> ( A. w e. ( J tX K ) ( <. R , S >. e. w -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. w ) -> ( <. R , S >. e. ( u X. Y ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. ( u X. Y ) ) ) )
90	84, 89	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( S e. Y /\ u e. J ) ) -> ( A. w e. ( J tX K ) ( <. R , S >. e. w -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. w ) -> ( <. R , S >. e. ( u X. Y ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. ( u X. Y ) ) ) )
91		simprl 794	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( S e. Y /\ u e. J ) ) -> S e. Y )
92		opelxpi 5148	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. u /\ S e. Y ) -> <. R , S >. e. ( u X. Y ) )
93	91, 92	sylan2 491	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. u /\ ( ph /\ ( S e. Y /\ u e. J ) ) ) -> <. R , S >. e. ( u X. Y ) )
94	93	expcom 451	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( S e. Y /\ u e. J ) ) -> ( R e. u -> <. R , S >. e. ( u X. Y ) ) )
95	50	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. Z -> ( ( H ` k ) e. ( u X. Y ) <-> <. ( F ` k ) , ( G ` k ) >. e. ( u X. Y ) ) )
96		opelxp1 5150	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( <. ( F ` k ) , ( G ` k ) >. e. ( u X. Y ) -> ( F ` k ) e. u )
97	95, 96	syl6bi 243	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. Z -> ( ( H ` k ) e. ( u X. Y ) -> ( F ` k ) e. u ) )
98	43, 97	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( H ` k ) e. ( u X. Y ) -> ( F ` k ) e. u ) )
99	98	ralimdva 2962	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. Z -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. ( u X. Y ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) )
100	99	reximia 3009	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. ( u X. Y ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u )
101	100	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( S e. Y /\ u e. J ) ) -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. ( u X. Y ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) )
102	94, 101	imim12d 81	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( S e. Y /\ u e. J ) ) -> ( ( <. R , S >. e. ( u X. Y ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. ( u X. Y ) ) -> ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) ) )
103	90, 102	syld 47	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( S e. Y /\ u e. J ) ) -> ( A. w e. ( J tX K ) ( <. R , S >. e. w -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. w ) -> ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) ) )
104	103	anassrs 680	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ S e. Y ) /\ u e. J ) -> ( A. w e. ( J tX K ) ( <. R , S >. e. w -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. w ) -> ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) ) )
105	104	ralrimdva 2969	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ S e. Y ) -> ( A. w e. ( J tX K ) ( <. R , S >. e. w -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. w ) -> A. u e. J ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) ) )
106	105	adantrl 752	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( R e. X /\ S e. Y ) ) -> ( A. w e. ( J tX K ) ( <. R , S >. e. w -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. w ) -> A. u e. J ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) ) )
107	8	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( R e. X /\ v e. K ) ) -> J e. Top )
108	11	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( R e. X /\ v e. K ) ) -> K e. Top )
109		toponmax 20730	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X e. J )
110	6, 109	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> X e. J )
111	110	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( R e. X /\ v e. K ) ) -> X e. J )
112		simprr 796	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( R e. X /\ v e. K ) ) -> v e. K )
113		txopn 21405	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( X e. J /\ v e. K ) ) -> ( X X. v ) e. ( J tX K ) )
114	107, 108, 111, 112, 113	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( R e. X /\ v e. K ) ) -> ( X X. v ) e. ( J tX K ) )
115		eleq2 2690	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = ( X X. v ) -> ( <. R , S >. e. w <-> <. R , S >. e. ( X X. v ) ) )
116		eleq2 2690	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = ( X X. v ) -> ( ( H ` k ) e. w <-> ( H ` k ) e. ( X X. v ) ) )
117	116	rexralbidv 3058	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = ( X X. v ) -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. w <-> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. ( X X. v ) ) )
118	115, 117	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = ( X X. v ) -> ( ( <. R , S >. e. w -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. w ) <-> ( <. R , S >. e. ( X X. v ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. ( X X. v ) ) ) )
119	118	rspcv 3305	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X X. v ) e. ( J tX K ) -> ( A. w e. ( J tX K ) ( <. R , S >. e. w -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. w ) -> ( <. R , S >. e. ( X X. v ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. ( X X. v ) ) ) )
120	114, 119	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( R e. X /\ v e. K ) ) -> ( A. w e. ( J tX K ) ( <. R , S >. e. w -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. w ) -> ( <. R , S >. e. ( X X. v ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. ( X X. v ) ) ) )
121		opelxpi 5148	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. X /\ S e. v ) -> <. R , S >. e. ( X X. v ) )
122	121	ex 450	. . . . . . . . . . . 12 |- ( R e. X -> ( S e. v -> <. R , S >. e. ( X X. v ) ) )
123	122	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( R e. X /\ v e. K ) ) -> ( S e. v -> <. R , S >. e. ( X X. v ) ) )
124	50	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. Z -> ( ( H ` k ) e. ( X X. v ) <-> <. ( F ` k ) , ( G ` k ) >. e. ( X X. v ) ) )
125		opelxp2 5151	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( <. ( F ` k ) , ( G ` k ) >. e. ( X X. v ) -> ( G ` k ) e. v )
126	124, 125	syl6bi 243	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. Z -> ( ( H ` k ) e. ( X X. v ) -> ( G ` k ) e. v ) )
127	43, 126	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( H ` k ) e. ( X X. v ) -> ( G ` k ) e. v ) )
128	127	ralimdva 2962	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. Z -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. ( X X. v ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) )
129	128	reximia 3009	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. ( X X. v ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v )
130	129	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( R e. X /\ v e. K ) ) -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. ( X X. v ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) )
131	123, 130	imim12d 81	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( R e. X /\ v e. K ) ) -> ( ( <. R , S >. e. ( X X. v ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. ( X X. v ) ) -> ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) )
132	120, 131	syld 47	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( R e. X /\ v e. K ) ) -> ( A. w e. ( J tX K ) ( <. R , S >. e. w -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. w ) -> ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) )
133	132	anassrs 680	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ R e. X ) /\ v e. K ) -> ( A. w e. ( J tX K ) ( <. R , S >. e. w -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. w ) -> ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) )
134	133	ralrimdva 2969	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ R e. X ) -> ( A. w e. ( J tX K ) ( <. R , S >. e. w -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. w ) -> A. v e. K ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) )
135	134	adantrr 753	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( R e. X /\ S e. Y ) ) -> ( A. w e. ( J tX K ) ( <. R , S >. e. w -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. w ) -> A. v e. K ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) )
136	106, 135	jcad 555	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( R e. X /\ S e. Y ) ) -> ( A. w e. ( J tX K ) ( <. R , S >. e. w -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. w ) -> ( A. u e. J ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) /\ A. v e. K ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) ) )
137	76, 136	impbid 202	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( R e. X /\ S e. Y ) ) -> ( ( A. u e. J ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) /\ A. v e. K ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) <-> A. w e. ( J tX K ) ( <. R , S >. e. w -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. w ) ) )
138	137	pm5.32da 673	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( R e. X /\ S e. Y ) /\ ( A. u e. J ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) /\ A. v e. K ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) ) <-> ( ( R e. X /\ S e. Y ) /\ A. w e. ( J tX K ) ( <. R , S >. e. w -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. w ) ) ) )
139		opelxp 5146	. . . 4 |- ( <. R , S >. e. ( X X. Y ) <-> ( R e. X /\ S e. Y ) )
140	139	anbi1i 731	. . 3 |- ( ( <. R , S >. e. ( X X. Y ) /\ A. w e. ( J tX K ) ( <. R , S >. e. w -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. w ) ) <-> ( ( R e. X /\ S e. Y ) /\ A. w e. ( J tX K ) ( <. R , S >. e. w -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. w ) ) )
141	138, 140	syl6bbr 278	. 2 |- ( ph -> ( ( ( R e. X /\ S e. Y ) /\ ( A. u e. J ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) /\ A. v e. K ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) ) <-> ( <. R , S >. e. ( X X. Y ) /\ A. w e. ( J tX K ) ( <. R , S >. e. w -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. w ) ) ) )
142		txlm.m	. . . . 5 |- ( ph -> M e. ZZ )
143		txlm.f	. . . . 5 |- ( ph -> F : Z --> X )
144		eqidd 2623	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = ( F ` k ) )
145	6, 41, 142, 143, 144	lmbrf 21064	. . . 4 |- ( ph -> ( F ( ~~> t ` J ) R <-> ( R e. X /\ A. u e. J ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) ) ) )
146		txlm.g	. . . . 5 |- ( ph -> G : Z --> Y )
147		eqidd 2623	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) = ( G ` k ) )
148	9, 41, 142, 146, 147	lmbrf 21064	. . . 4 |- ( ph -> ( G ( ~~> t ` K ) S <-> ( S e. Y /\ A. v e. K ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) ) )
149	145, 148	anbi12d 747	. . 3 |- ( ph -> ( ( F ( ~~> t ` J ) R /\ G ( ~~> t ` K ) S ) <-> ( ( R e. X /\ A. u e. J ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) ) /\ ( S e. Y /\ A. v e. K ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) ) ) )
150		an4 865	. . 3 |- ( ( ( R e. X /\ A. u e. J ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) ) /\ ( S e. Y /\ A. v e. K ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) ) <-> ( ( R e. X /\ S e. Y ) /\ ( A. u e. J ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) /\ A. v e. K ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) ) )
151	149, 150	syl6bb 276	. 2 |- ( ph -> ( ( F ( ~~> t ` J ) R /\ G ( ~~> t ` K ) S ) <-> ( ( R e. X /\ S e. Y ) /\ ( A. u e. J ( R e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) /\ A. v e. K ( S e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( G ` k ) e. v ) ) ) ) )
152		txtopon 21394	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( J tX K ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) )
153	6, 9, 152	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> ( J tX K ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) )
154	143	ffvelrnda 6359	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( F ` n ) e. X )
155	146	ffvelrnda 6359	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( G ` n ) e. Y )
156		opelxpi 5148	. . . . 5 |- ( ( ( F ` n ) e. X /\ ( G ` n ) e. Y ) -> <. ( F ` n ) , ( G ` n ) >. e. ( X X. Y ) )
157	154, 155, 156	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> <. ( F ` n ) , ( G ` n ) >. e. ( X X. Y ) )
158	157, 48	fmptd 6385	. . 3 |- ( ph -> H : Z --> ( X X. Y ) )
159		eqidd 2623	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( H ` k ) = ( H ` k ) )
160	153, 41, 142, 158, 159	lmbrf 21064	. 2 |- ( ph -> ( H ( ~~> t ` ( J tX K ) ) <. R , S >. <-> ( <. R , S >. e. ( X X. Y ) /\ A. w e. ( J tX K ) ( <. R , S >. e. w -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( H ` k ) e. w ) ) ) )
161	141, 151, 160	3bitr4d 300	1 |- ( ph -> ( ( F ( ~~> t ` J ) R /\ G ( ~~> t ` K ) S ) <-> H ( ~~> t ` ( J tX K ) ) <. R , S >. ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   <.cop 4183   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   ran crn 5115   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   topGenctg 16098   Topctop 20698  TopOnctopon 20715   ~~> tclm 21030   tX ctx 21363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-er 7742  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-neg 10269  df-z 11378  df-uz 11688  df-topgen 16104  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-lm 21033  df-tx 21365

This theorem is referenced by:  lmcn2  21452