Theorem txrest 21434

Description: The subspace of a topological product space induced by a subset with a Cartesian product representation is a topological product of the subspaces induced by the subspaces of the terms of the products. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
txrest	|- ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( A e. X /\ B e. Y ) ) -> ( ( R tX S ) ↾t ( A X. B ) ) = ( ( R ↾t A ) tX ( S ↾t B ) ) )

Proof of Theorem txrest

Dummy variables s r u v x w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . . . . 6 |- ran ( r e. R , s e. S |-> ( r X. s ) ) = ran ( r e. R , s e. S |-> ( r X. s ) )
2	1	txval 21367	. . . . 5 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ( R tX S ) = ( topGen ` ran ( r e. R , s e. S |-> ( r X. s ) ) ) )
3	2	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( A e. X /\ B e. Y ) ) -> ( R tX S ) = ( topGen ` ran ( r e. R , s e. S |-> ( r X. s ) ) ) )
4	3	oveq1d 6665	. . 3 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( A e. X /\ B e. Y ) ) -> ( ( R tX S ) ↾t ( A X. B ) ) = ( ( topGen ` ran ( r e. R , s e. S |-> ( r X. s ) ) ) ↾t ( A X. B ) ) )
5	1	txbasex 21369	. . . 4 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ran ( r e. R , s e. S |-> ( r X. s ) ) e. _V )
6		xpexg 6960	. . . 4 |- ( ( A e. X /\ B e. Y ) -> ( A X. B ) e. _V )
7		tgrest 20963	. . . 4 |- ( ( ran ( r e. R , s e. S |-> ( r X. s ) ) e. _V /\ ( A X. B ) e. _V ) -> ( topGen ` ( ran ( r e. R , s e. S |-> ( r X. s ) ) ↾t ( A X. B ) ) ) = ( ( topGen ` ran ( r e. R , s e. S |-> ( r X. s ) ) ) ↾t ( A X. B ) ) )
8	5, 6, 7	syl2an 494	. . 3 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( A e. X /\ B e. Y ) ) -> ( topGen ` ( ran ( r e. R , s e. S |-> ( r X. s ) ) ↾t ( A X. B ) ) ) = ( ( topGen ` ran ( r e. R , s e. S |-> ( r X. s ) ) ) ↾t ( A X. B ) ) )
9		elrest 16088	. . . . . . . 8 |- ( ( ran ( r e. R , s e. S |-> ( r X. s ) ) e. _V /\ ( A X. B ) e. _V ) -> ( x e. ( ran ( r e. R , s e. S |-> ( r X. s ) ) ↾t ( A X. B ) ) <-> E. w e. ran ( r e. R , s e. S |-> ( r X. s ) ) x = ( w i^i ( A X. B ) ) ) )
10	5, 6, 9	syl2an 494	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( A e. X /\ B e. Y ) ) -> ( x e. ( ran ( r e. R , s e. S |-> ( r X. s ) ) ↾t ( A X. B ) ) <-> E. w e. ran ( r e. R , s e. S |-> ( r X. s ) ) x = ( w i^i ( A X. B ) ) ) )
11		vex 3203	. . . . . . . . . . 11 |- r e. _V
12	11	inex1 4799	. . . . . . . . . 10 |- ( r i^i A ) e. _V
13	12	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( A e. X /\ B e. Y ) ) /\ r e. R ) -> ( r i^i A ) e. _V )
14		elrest 16088	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. V /\ A e. X ) -> ( u e. ( R ↾t A ) <-> E. r e. R u = ( r i^i A ) ) )
15	14	ad2ant2r 783	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( A e. X /\ B e. Y ) ) -> ( u e. ( R ↾t A ) <-> E. r e. R u = ( r i^i A ) ) )
16		xpeq1 5128	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u = ( r i^i A ) -> ( u X. v ) = ( ( r i^i A ) X. v ) )
17	16	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . 11 |- ( u = ( r i^i A ) -> ( x = ( u X. v ) <-> x = ( ( r i^i A ) X. v ) ) )
18	17	rexbidv 3052	. . . . . . . . . 10 |- ( u = ( r i^i A ) -> ( E. v e. ( S ↾t B ) x = ( u X. v ) <-> E. v e. ( S ↾t B ) x = ( ( r i^i A ) X. v ) ) )
19		vex 3203	. . . . . . . . . . . . 13 |- s e. _V
20	19	inex1 4799	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s i^i B ) e. _V
21	20	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( A e. X /\ B e. Y ) ) /\ s e. S ) -> ( s i^i B ) e. _V )
22		elrest 16088	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S e. W /\ B e. Y ) -> ( v e. ( S ↾t B ) <-> E. s e. S v = ( s i^i B ) ) )
23	22	ad2ant2l 782	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( A e. X /\ B e. Y ) ) -> ( v e. ( S ↾t B ) <-> E. s e. S v = ( s i^i B ) ) )
24		xpeq2 5129	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( v = ( s i^i B ) -> ( ( r i^i A ) X. v ) = ( ( r i^i A ) X. ( s i^i B ) ) )
25	24	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v = ( s i^i B ) -> ( x = ( ( r i^i A ) X. v ) <-> x = ( ( r i^i A ) X. ( s i^i B ) ) ) )
26	25	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( A e. X /\ B e. Y ) ) /\ v = ( s i^i B ) ) -> ( x = ( ( r i^i A ) X. v ) <-> x = ( ( r i^i A ) X. ( s i^i B ) ) ) )
27	21, 23, 26	rexxfr2d 4883	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( A e. X /\ B e. Y ) ) -> ( E. v e. ( S ↾t B ) x = ( ( r i^i A ) X. v ) <-> E. s e. S x = ( ( r i^i A ) X. ( s i^i B ) ) ) )
28	18, 27	sylan9bbr 737	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( A e. X /\ B e. Y ) ) /\ u = ( r i^i A ) ) -> ( E. v e. ( S ↾t B ) x = ( u X. v ) <-> E. s e. S x = ( ( r i^i A ) X. ( s i^i B ) ) ) )
29	13, 15, 28	rexxfr2d 4883	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( A e. X /\ B e. Y ) ) -> ( E. u e. ( R ↾t A ) E. v e. ( S ↾t B ) x = ( u X. v ) <-> E. r e. R E. s e. S x = ( ( r i^i A ) X. ( s i^i B ) ) ) )
30	11, 19	xpex 6962	. . . . . . . . . 10 |- ( r X. s ) e. _V
31	30	rgen2w 2925	. . . . . . . . 9 |- A. r e. R A. s e. S ( r X. s ) e. _V
32		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( r e. R , s e. S |-> ( r X. s ) ) = ( r e. R , s e. S |-> ( r X. s ) )
33		ineq1 3807	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = ( r X. s ) -> ( w i^i ( A X. B ) ) = ( ( r X. s ) i^i ( A X. B ) ) )
34		inxp 5254	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( r X. s ) i^i ( A X. B ) ) = ( ( r i^i A ) X. ( s i^i B ) )
35	33, 34	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = ( r X. s ) -> ( w i^i ( A X. B ) ) = ( ( r i^i A ) X. ( s i^i B ) ) )
36	35	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . 10 |- ( w = ( r X. s ) -> ( x = ( w i^i ( A X. B ) ) <-> x = ( ( r i^i A ) X. ( s i^i B ) ) ) )
37	32, 36	rexrnmpt2 6776	. . . . . . . . 9 |- ( A. r e. R A. s e. S ( r X. s ) e. _V -> ( E. w e. ran ( r e. R , s e. S |-> ( r X. s ) ) x = ( w i^i ( A X. B ) ) <-> E. r e. R E. s e. S x = ( ( r i^i A ) X. ( s i^i B ) ) ) )
38	31, 37	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( E. w e. ran ( r e. R , s e. S |-> ( r X. s ) ) x = ( w i^i ( A X. B ) ) <-> E. r e. R E. s e. S x = ( ( r i^i A ) X. ( s i^i B ) ) )
39	29, 38	syl6bbr 278	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( A e. X /\ B e. Y ) ) -> ( E. u e. ( R ↾t A ) E. v e. ( S ↾t B ) x = ( u X. v ) <-> E. w e. ran ( r e. R , s e. S |-> ( r X. s ) ) x = ( w i^i ( A X. B ) ) ) )
40	10, 39	bitr4d 271	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( A e. X /\ B e. Y ) ) -> ( x e. ( ran ( r e. R , s e. S |-> ( r X. s ) ) ↾t ( A X. B ) ) <-> E. u e. ( R ↾t A ) E. v e. ( S ↾t B ) x = ( u X. v ) ) )
41	40	abbi2dv 2742	. . . . 5 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( A e. X /\ B e. Y ) ) -> ( ran ( r e. R , s e. S |-> ( r X. s ) ) ↾t ( A X. B ) ) = { x | E. u e. ( R ↾t A ) E. v e. ( S ↾t B ) x = ( u X. v ) } )
42		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( u e. ( R ↾t A ) , v e. ( S ↾t B ) |-> ( u X. v ) ) = ( u e. ( R ↾t A ) , v e. ( S ↾t B ) |-> ( u X. v ) )
43	42	rnmpt2 6770	. . . . 5 |- ran ( u e. ( R ↾t A ) , v e. ( S ↾t B ) |-> ( u X. v ) ) = { x | E. u e. ( R ↾t A ) E. v e. ( S ↾t B ) x = ( u X. v ) }
44	41, 43	syl6eqr 2674	. . . 4 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( A e. X /\ B e. Y ) ) -> ( ran ( r e. R , s e. S |-> ( r X. s ) ) ↾t ( A X. B ) ) = ran ( u e. ( R ↾t A ) , v e. ( S ↾t B ) |-> ( u X. v ) ) )
45	44	fveq2d 6195	. . 3 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( A e. X /\ B e. Y ) ) -> ( topGen ` ( ran ( r e. R , s e. S |-> ( r X. s ) ) ↾t ( A X. B ) ) ) = ( topGen ` ran ( u e. ( R ↾t A ) , v e. ( S ↾t B ) |-> ( u X. v ) ) ) )
46	4, 8, 45	3eqtr2d 2662	. 2 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( A e. X /\ B e. Y ) ) -> ( ( R tX S ) ↾t ( A X. B ) ) = ( topGen ` ran ( u e. ( R ↾t A ) , v e. ( S ↾t B ) |-> ( u X. v ) ) ) )
47		ovex 6678	. . 3 |- ( R ↾t A ) e. _V
48		ovex 6678	. . 3 |- ( S ↾t B ) e. _V
49		eqid 2622	. . . 4 |- ran ( u e. ( R ↾t A ) , v e. ( S ↾t B ) |-> ( u X. v ) ) = ran ( u e. ( R ↾t A ) , v e. ( S ↾t B ) |-> ( u X. v ) )
50	49	txval 21367	. . 3 |- ( ( ( R ↾t A ) e. _V /\ ( S ↾t B ) e. _V ) -> ( ( R ↾t A ) tX ( S ↾t B ) ) = ( topGen ` ran ( u e. ( R ↾t A ) , v e. ( S ↾t B ) |-> ( u X. v ) ) ) )
51	47, 48, 50	mp2an 708	. 2 |- ( ( R ↾t A ) tX ( S ↾t B ) ) = ( topGen ` ran ( u e. ( R ↾t A ) , v e. ( S ↾t B ) |-> ( u X. v ) ) )
52	46, 51	syl6eqr 2674	1 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W ) /\ ( A e. X /\ B e. Y ) ) -> ( ( R tX S ) ↾t ( A X. B ) ) = ( ( R ↾t A ) tX ( S ↾t B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   X. cxp 5112   ran crn 5115   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   ↾_t crest 16081   topGenctg 16098   tX ctx 21363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-tx 21365

This theorem is referenced by:  txlly  21439  txnlly  21440  txkgen  21455  cnmpt2res  21480  xkoinjcn  21490  cnmpt2pc  22727  cnheiborlem  22753  lhop1lem  23776  cxpcn3  24489  raddcn  29975  cvmlift2lem6  31290  cvmlift2lem9  31293  cvmlift2lem12  31296