Theorem lsmass 18083

Description: Subgroup sum is associative. (Contributed by NM, 2-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
lsmub1.p	|- .(+) = ( LSSum ` G )

Assertion

Ref	Expression
lsmass	|- ( ( R e. (SubGrp ` G ) /\ T e. (SubGrp ` G ) /\ U e. (SubGrp ` G ) ) -> ( ( R .(+) T ) .(+) U ) = ( R .(+) ( T .(+) U ) ) )

Proof of Theorem lsmass

Dummy variables a c x y z b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
2		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
3		lsmub1.p	. . . . . . . 8 |- .(+) = ( LSSum ` G )
4	1, 2, 3	lsmval 18063	. . . . . . 7 |- ( ( R e. (SubGrp ` G ) /\ T e. (SubGrp ` G ) ) -> ( R .(+) T ) = ran ( a e. R , b e. T |-> ( a ( +g ` G ) b ) ) )
5	4	3adant3 1081	. . . . . 6 |- ( ( R e. (SubGrp ` G ) /\ T e. (SubGrp ` G ) /\ U e. (SubGrp ` G ) ) -> ( R .(+) T ) = ran ( a e. R , b e. T |-> ( a ( +g ` G ) b ) ) )
6	5	rexeqdv 3145	. . . . 5 |- ( ( R e. (SubGrp ` G ) /\ T e. (SubGrp ` G ) /\ U e. (SubGrp ` G ) ) -> ( E. y e. ( R .(+) T ) E. c e. U x = ( y ( +g ` G ) c ) <-> E. y e. ran ( a e. R , b e. T |-> ( a ( +g ` G ) b ) ) E. c e. U x = ( y ( +g ` G ) c ) ) )
7		ovex 6678	. . . . . . 7 |- ( a ( +g ` G ) b ) e. _V
8	7	rgen2w 2925	. . . . . 6 |- A. a e. R A. b e. T ( a ( +g ` G ) b ) e. _V
9		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( a e. R , b e. T |-> ( a ( +g ` G ) b ) ) = ( a e. R , b e. T |-> ( a ( +g ` G ) b ) )
10		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( a ( +g ` G ) b ) -> ( y ( +g ` G ) c ) = ( ( a ( +g ` G ) b ) ( +g ` G ) c ) )
11	10	eqeq2d 2632	. . . . . . . 8 |- ( y = ( a ( +g ` G ) b ) -> ( x = ( y ( +g ` G ) c ) <-> x = ( ( a ( +g ` G ) b ) ( +g ` G ) c ) ) )
12	11	rexbidv 3052	. . . . . . 7 |- ( y = ( a ( +g ` G ) b ) -> ( E. c e. U x = ( y ( +g ` G ) c ) <-> E. c e. U x = ( ( a ( +g ` G ) b ) ( +g ` G ) c ) ) )
13	9, 12	rexrnmpt2 6776	. . . . . 6 |- ( A. a e. R A. b e. T ( a ( +g ` G ) b ) e. _V -> ( E. y e. ran ( a e. R , b e. T |-> ( a ( +g ` G ) b ) ) E. c e. U x = ( y ( +g ` G ) c ) <-> E. a e. R E. b e. T E. c e. U x = ( ( a ( +g ` G ) b ) ( +g ` G ) c ) ) )
14	8, 13	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( E. y e. ran ( a e. R , b e. T |-> ( a ( +g ` G ) b ) ) E. c e. U x = ( y ( +g ` G ) c ) <-> E. a e. R E. b e. T E. c e. U x = ( ( a ( +g ` G ) b ) ( +g ` G ) c ) )
15	6, 14	syl6bb 276	. . . 4 |- ( ( R e. (SubGrp ` G ) /\ T e. (SubGrp ` G ) /\ U e. (SubGrp ` G ) ) -> ( E. y e. ( R .(+) T ) E. c e. U x = ( y ( +g ` G ) c ) <-> E. a e. R E. b e. T E. c e. U x = ( ( a ( +g ` G ) b ) ( +g ` G ) c ) ) )
16	1, 2, 3	lsmval 18063	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T e. (SubGrp ` G ) /\ U e. (SubGrp ` G ) ) -> ( T .(+) U ) = ran ( b e. T , c e. U |-> ( b ( +g ` G ) c ) ) )
17	16	3adant1 1079	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. (SubGrp ` G ) /\ T e. (SubGrp ` G ) /\ U e. (SubGrp ` G ) ) -> ( T .(+) U ) = ran ( b e. T , c e. U |-> ( b ( +g ` G ) c ) ) )
18	17	rexeqdv 3145	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. (SubGrp ` G ) /\ T e. (SubGrp ` G ) /\ U e. (SubGrp ` G ) ) -> ( E. z e. ( T .(+) U ) x = ( a ( +g ` G ) z ) <-> E. z e. ran ( b e. T , c e. U |-> ( b ( +g ` G ) c ) ) x = ( a ( +g ` G ) z ) ) )
19		ovex 6678	. . . . . . . . . 10 |- ( b ( +g ` G ) c ) e. _V
20	19	rgen2w 2925	. . . . . . . . 9 |- A. b e. T A. c e. U ( b ( +g ` G ) c ) e. _V
21		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( b e. T , c e. U |-> ( b ( +g ` G ) c ) ) = ( b e. T , c e. U |-> ( b ( +g ` G ) c ) )
22		oveq2 6658	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( b ( +g ` G ) c ) -> ( a ( +g ` G ) z ) = ( a ( +g ` G ) ( b ( +g ` G ) c ) ) )
23	22	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . 10 |- ( z = ( b ( +g ` G ) c ) -> ( x = ( a ( +g ` G ) z ) <-> x = ( a ( +g ` G ) ( b ( +g ` G ) c ) ) ) )
24	21, 23	rexrnmpt2 6776	. . . . . . . . 9 |- ( A. b e. T A. c e. U ( b ( +g ` G ) c ) e. _V -> ( E. z e. ran ( b e. T , c e. U |-> ( b ( +g ` G ) c ) ) x = ( a ( +g ` G ) z ) <-> E. b e. T E. c e. U x = ( a ( +g ` G ) ( b ( +g ` G ) c ) ) ) )
25	20, 24	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( E. z e. ran ( b e. T , c e. U |-> ( b ( +g ` G ) c ) ) x = ( a ( +g ` G ) z ) <-> E. b e. T E. c e. U x = ( a ( +g ` G ) ( b ( +g ` G ) c ) ) )
26	18, 25	syl6bb 276	. . . . . . 7 |- ( ( R e. (SubGrp ` G ) /\ T e. (SubGrp ` G ) /\ U e. (SubGrp ` G ) ) -> ( E. z e. ( T .(+) U ) x = ( a ( +g ` G ) z ) <-> E. b e. T E. c e. U x = ( a ( +g ` G ) ( b ( +g ` G ) c ) ) ) )
27	26	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. (SubGrp ` G ) /\ T e. (SubGrp ` G ) /\ U e. (SubGrp ` G ) ) /\ a e. R ) -> ( E. z e. ( T .(+) U ) x = ( a ( +g ` G ) z ) <-> E. b e. T E. c e. U x = ( a ( +g ` G ) ( b ( +g ` G ) c ) ) ) )
28		subgrcl 17599	. . . . . . . . . . 11 |- ( R e. (SubGrp ` G ) -> G e. Grp )
29	28	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. (SubGrp ` G ) /\ T e. (SubGrp ` G ) /\ U e. (SubGrp ` G ) ) -> G e. Grp )
30	29	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R e. (SubGrp ` G ) /\ T e. (SubGrp ` G ) /\ U e. (SubGrp ` G ) ) /\ a e. R ) /\ ( b e. T /\ c e. U ) ) -> G e. Grp )
31	1	subgss 17595	. . . . . . . . . . . 12 |- ( R e. (SubGrp ` G ) -> R C_ ( Base ` G ) )
32	31	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. (SubGrp ` G ) /\ T e. (SubGrp ` G ) /\ U e. (SubGrp ` G ) ) -> R C_ ( Base ` G ) )
33	32	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R e. (SubGrp ` G ) /\ T e. (SubGrp ` G ) /\ U e. (SubGrp ` G ) ) /\ a e. R ) /\ ( b e. T /\ c e. U ) ) -> R C_ ( Base ` G ) )
34		simplr 792	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R e. (SubGrp ` G ) /\ T e. (SubGrp ` G ) /\ U e. (SubGrp ` G ) ) /\ a e. R ) /\ ( b e. T /\ c e. U ) ) -> a e. R )
35	33, 34	sseldd 3604	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R e. (SubGrp ` G ) /\ T e. (SubGrp ` G ) /\ U e. (SubGrp ` G ) ) /\ a e. R ) /\ ( b e. T /\ c e. U ) ) -> a e. ( Base ` G ) )
36	1	subgss 17595	. . . . . . . . . . . 12 |- ( T e. (SubGrp ` G ) -> T C_ ( Base ` G ) )
37	36	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. (SubGrp ` G ) /\ T e. (SubGrp ` G ) /\ U e. (SubGrp ` G ) ) -> T C_ ( Base ` G ) )
38	37	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R e. (SubGrp ` G ) /\ T e. (SubGrp ` G ) /\ U e. (SubGrp ` G ) ) /\ a e. R ) /\ ( b e. T /\ c e. U ) ) -> T C_ ( Base ` G ) )
39		simprl 794	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R e. (SubGrp ` G ) /\ T e. (SubGrp ` G ) /\ U e. (SubGrp ` G ) ) /\ a e. R ) /\ ( b e. T /\ c e. U ) ) -> b e. T )
40	38, 39	sseldd 3604	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R e. (SubGrp ` G ) /\ T e. (SubGrp ` G ) /\ U e. (SubGrp ` G ) ) /\ a e. R ) /\ ( b e. T /\ c e. U ) ) -> b e. ( Base ` G ) )
41	1	subgss 17595	. . . . . . . . . . . 12 |- ( U e. (SubGrp ` G ) -> U C_ ( Base ` G ) )
42	41	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. (SubGrp ` G ) /\ T e. (SubGrp ` G ) /\ U e. (SubGrp ` G ) ) -> U C_ ( Base ` G ) )
43	42	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R e. (SubGrp ` G ) /\ T e. (SubGrp ` G ) /\ U e. (SubGrp ` G ) ) /\ a e. R ) /\ ( b e. T /\ c e. U ) ) -> U C_ ( Base ` G ) )
44		simprr 796	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R e. (SubGrp ` G ) /\ T e. (SubGrp ` G ) /\ U e. (SubGrp ` G ) ) /\ a e. R ) /\ ( b e. T /\ c e. U ) ) -> c e. U )
45	43, 44	sseldd 3604	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R e. (SubGrp ` G ) /\ T e. (SubGrp ` G ) /\ U e. (SubGrp ` G ) ) /\ a e. R ) /\ ( b e. T /\ c e. U ) ) -> c e. ( Base ` G ) )
46	1, 2	grpass 17431	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. Grp /\ ( a e. ( Base ` G ) /\ b e. ( Base ` G ) /\ c e. ( Base ` G ) ) ) -> ( ( a ( +g ` G ) b ) ( +g ` G ) c ) = ( a ( +g ` G ) ( b ( +g ` G ) c ) ) )
47	30, 35, 40, 45, 46	syl13anc 1328	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R e. (SubGrp ` G ) /\ T e. (SubGrp ` G ) /\ U e. (SubGrp ` G ) ) /\ a e. R ) /\ ( b e. T /\ c e. U ) ) -> ( ( a ( +g ` G ) b ) ( +g ` G ) c ) = ( a ( +g ` G ) ( b ( +g ` G ) c ) ) )
48	47	eqeq2d 2632	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( R e. (SubGrp ` G ) /\ T e. (SubGrp ` G ) /\ U e. (SubGrp ` G ) ) /\ a e. R ) /\ ( b e. T /\ c e. U ) ) -> ( x = ( ( a ( +g ` G ) b ) ( +g ` G ) c ) <-> x = ( a ( +g ` G ) ( b ( +g ` G ) c ) ) ) )
49	48	2rexbidva 3056	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. (SubGrp ` G ) /\ T e. (SubGrp ` G ) /\ U e. (SubGrp ` G ) ) /\ a e. R ) -> ( E. b e. T E. c e. U x = ( ( a ( +g ` G ) b ) ( +g ` G ) c ) <-> E. b e. T E. c e. U x = ( a ( +g ` G ) ( b ( +g ` G ) c ) ) ) )
50	27, 49	bitr4d 271	. . . . 5 |- ( ( ( R e. (SubGrp ` G ) /\ T e. (SubGrp ` G ) /\ U e. (SubGrp ` G ) ) /\ a e. R ) -> ( E. z e. ( T .(+) U ) x = ( a ( +g ` G ) z ) <-> E. b e. T E. c e. U x = ( ( a ( +g ` G ) b ) ( +g ` G ) c ) ) )
51	50	rexbidva 3049	. . . 4 |- ( ( R e. (SubGrp ` G ) /\ T e. (SubGrp ` G ) /\ U e. (SubGrp ` G ) ) -> ( E. a e. R E. z e. ( T .(+) U ) x = ( a ( +g ` G ) z ) <-> E. a e. R E. b e. T E. c e. U x = ( ( a ( +g ` G ) b ) ( +g ` G ) c ) ) )
52	15, 51	bitr4d 271	. . 3 |- ( ( R e. (SubGrp ` G ) /\ T e. (SubGrp ` G ) /\ U e. (SubGrp ` G ) ) -> ( E. y e. ( R .(+) T ) E. c e. U x = ( y ( +g ` G ) c ) <-> E. a e. R E. z e. ( T .(+) U ) x = ( a ( +g ` G ) z ) ) )
53		grpmnd 17429	. . . . . 6 |- ( G e. Grp -> G e. Mnd )
54	29, 53	syl 17	. . . . 5 |- ( ( R e. (SubGrp ` G ) /\ T e. (SubGrp ` G ) /\ U e. (SubGrp ` G ) ) -> G e. Mnd )
55	1, 3	lsmssv 18058	. . . . 5 |- ( ( G e. Mnd /\ R C_ ( Base ` G ) /\ T C_ ( Base ` G ) ) -> ( R .(+) T ) C_ ( Base ` G ) )
56	54, 32, 37, 55	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( R e. (SubGrp ` G ) /\ T e. (SubGrp ` G ) /\ U e. (SubGrp ` G ) ) -> ( R .(+) T ) C_ ( Base ` G ) )
57	1, 2, 3	lsmelvalx 18055	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ ( R .(+) T ) C_ ( Base ` G ) /\ U C_ ( Base ` G ) ) -> ( x e. ( ( R .(+) T ) .(+) U ) <-> E. y e. ( R .(+) T ) E. c e. U x = ( y ( +g ` G ) c ) ) )
58	29, 56, 42, 57	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ( R e. (SubGrp ` G ) /\ T e. (SubGrp ` G ) /\ U e. (SubGrp ` G ) ) -> ( x e. ( ( R .(+) T ) .(+) U ) <-> E. y e. ( R .(+) T ) E. c e. U x = ( y ( +g ` G ) c ) ) )
59	1, 3	lsmssv 18058	. . . . 5 |- ( ( G e. Mnd /\ T C_ ( Base ` G ) /\ U C_ ( Base ` G ) ) -> ( T .(+) U ) C_ ( Base ` G ) )
60	54, 37, 42, 59	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( R e. (SubGrp ` G ) /\ T e. (SubGrp ` G ) /\ U e. (SubGrp ` G ) ) -> ( T .(+) U ) C_ ( Base ` G ) )
61	1, 2, 3	lsmelvalx 18055	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ R C_ ( Base ` G ) /\ ( T .(+) U ) C_ ( Base ` G ) ) -> ( x e. ( R .(+) ( T .(+) U ) ) <-> E. a e. R E. z e. ( T .(+) U ) x = ( a ( +g ` G ) z ) ) )
62	29, 32, 60, 61	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ( R e. (SubGrp ` G ) /\ T e. (SubGrp ` G ) /\ U e. (SubGrp ` G ) ) -> ( x e. ( R .(+) ( T .(+) U ) ) <-> E. a e. R E. z e. ( T .(+) U ) x = ( a ( +g ` G ) z ) ) )
63	52, 58, 62	3bitr4d 300	. 2 |- ( ( R e. (SubGrp ` G ) /\ T e. (SubGrp ` G ) /\ U e. (SubGrp ` G ) ) -> ( x e. ( ( R .(+) T ) .(+) U ) <-> x e. ( R .(+) ( T .(+) U ) ) ) )
64	63	eqrdv 2620	1 |- ( ( R e. (SubGrp ` G ) /\ T e. (SubGrp ` G ) /\ U e. (SubGrp ` G ) ) -> ( ( R .(+) T ) .(+) U ) = ( R .(+) ( T .(+) U ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   ran crn 5115   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   Mndcmnd 17294   Grpcgrp 17422  SubGrpcsubg 17588   LSSumclsm 18049

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-subg 17591  df-lsm 18051

This theorem is referenced by:  lsm4  18263  pgpfac1lem3  18476  lsatcvat3  34339