Theorem rnopab 5370

Description: The range of a class of ordered pairs. (Contributed by NM, 14-Aug-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
rnopab	|- ran { <. x , y >. | ph } = { y | E. x ph }

Distinct variable group:   x, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)

Proof of Theorem rnopab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfopab1 4719	. . 3 |- F/_ x { <. x , y >. | ph }
2		nfopab2 4720	. . 3 |- F/_ y { <. x , y >. | ph }
3	1, 2	dfrnf 5364	. 2 |- ran { <. x , y >. | ph } = { y | E. x x { <. x , y >. | ph } y }
4		df-br 4654	. . . . 5 |- ( x { <. x , y >. | ph } y <-> <. x , y >. e. { <. x , y >. | ph } )
5		opabid 4982	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. { <. x , y >. | ph } <-> ph )
6	4, 5	bitri 264	. . . 4 |- ( x { <. x , y >. | ph } y <-> ph )
7	6	exbii 1774	. . 3 |- ( E. x x { <. x , y >. | ph } y <-> E. x ph )
8	7	abbii 2739	. 2 |- { y | E. x x { <. x , y >. | ph } y } = { y | E. x ph }
9	3, 8	eqtri 2644	1 |- ran { <. x , y >. | ph } = { y | E. x ph }

Syntax hints:   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   {cab 2608   <.cop 4183   class class class wbr 4653   {copab 4712   ran crn 5115

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-br 4654  df-opab 4713  df-cnv 5122  df-dm 5124  df-rn 5125

This theorem is referenced by:  rnmpt  5371  mptpreima  5628  rnoprab  6743  marypha2lem4  8344  hartogslem1  8447  axdc2lem  9270  abrexdomjm  29345  abrexexd  29347  rnmptsn  33182  abrexdom  33525  rncnvepres  34073