Theorem abrexdom 33525

Description: An indexed set is dominated by the indexing set. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Hypothesis

Ref	Expression
abrexdom.1	|- ( y e. A -> E* x ph )

Assertion

Ref	Expression
abrexdom	|- ( A e. V -> { x | E. y e. A ph } ~<_ A )

Distinct variable group:   x, A, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   V( x, y)

Proof of Theorem abrexdom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rex 2918	. . . 4 |- ( E. y e. A ph <-> E. y ( y e. A /\ ph ) )
2	1	abbii 2739	. . 3 |- { x | E. y e. A ph } = { x | E. y ( y e. A /\ ph ) }
3		rnopab 5370	. . 3 |- ran { <. y , x >. | ( y e. A /\ ph ) } = { x | E. y ( y e. A /\ ph ) }
4	2, 3	eqtr4i 2647	. 2 |- { x | E. y e. A ph } = ran { <. y , x >. | ( y e. A /\ ph ) }
5		dmopabss 5336	. . . . 5 |- dom { <. y , x >. | ( y e. A /\ ph ) } C_ A
6		ssexg 4804	. . . . 5 |- ( ( dom { <. y , x >. | ( y e. A /\ ph ) } C_ A /\ A e. V ) -> dom { <. y , x >. | ( y e. A /\ ph ) } e. _V )
7	5, 6	mpan 706	. . . 4 |- ( A e. V -> dom { <. y , x >. | ( y e. A /\ ph ) } e. _V )
8		funopab 5923	. . . . . . 7 |- ( Fun { <. y , x >. | ( y e. A /\ ph ) } <-> A. y E* x ( y e. A /\ ph ) )
9		abrexdom.1	. . . . . . . 8 |- ( y e. A -> E* x ph )
10		moanimv 2531	. . . . . . . 8 |- ( E* x ( y e. A /\ ph ) <-> ( y e. A -> E* x ph ) )
11	9, 10	mpbir 221	. . . . . . 7 |- E* x ( y e. A /\ ph )
12	8, 11	mpgbir 1726	. . . . . 6 |- Fun { <. y , x >. | ( y e. A /\ ph ) }
13	12	a1i 11	. . . . 5 |- ( A e. V -> Fun { <. y , x >. | ( y e. A /\ ph ) } )
14		funfn 5918	. . . . 5 |- ( Fun { <. y , x >. | ( y e. A /\ ph ) } <-> { <. y , x >. | ( y e. A /\ ph ) } Fn dom { <. y , x >. | ( y e. A /\ ph ) } )
15	13, 14	sylib 208	. . . 4 |- ( A e. V -> { <. y , x >. | ( y e. A /\ ph ) } Fn dom { <. y , x >. | ( y e. A /\ ph ) } )
16		fnrndomg 9358	. . . 4 |- ( dom { <. y , x >. | ( y e. A /\ ph ) } e. _V -> ( { <. y , x >. | ( y e. A /\ ph ) } Fn dom { <. y , x >. | ( y e. A /\ ph ) } -> ran { <. y , x >. | ( y e. A /\ ph ) } ~<_ dom { <. y , x >. | ( y e. A /\ ph ) } ) )
17	7, 15, 16	sylc 65	. . 3 |- ( A e. V -> ran { <. y , x >. | ( y e. A /\ ph ) } ~<_ dom { <. y , x >. | ( y e. A /\ ph ) } )
18		ssdomg 8001	. . . 4 |- ( A e. V -> ( dom { <. y , x >. | ( y e. A /\ ph ) } C_ A -> dom { <. y , x >. | ( y e. A /\ ph ) } ~<_ A ) )
19	5, 18	mpi 20	. . 3 |- ( A e. V -> dom { <. y , x >. | ( y e. A /\ ph ) } ~<_ A )
20		domtr 8009	. . 3 |- ( ( ran { <. y , x >. | ( y e. A /\ ph ) } ~<_ dom { <. y , x >. | ( y e. A /\ ph ) } /\ dom { <. y , x >. | ( y e. A /\ ph ) } ~<_ A ) -> ran { <. y , x >. | ( y e. A /\ ph ) } ~<_ A )
21	17, 19, 20	syl2anc 693	. 2 |- ( A e. V -> ran { <. y , x >. | ( y e. A /\ ph ) } ~<_ A )
22	4, 21	syl5eqbr 4688	1 |- ( A e. V -> { x | E. y e. A ph } ~<_ A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   E.wex 1704   e. wcel 1990   E*wmo 2471   {cab 2608   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   {copab 4712   dom cdm 5114   ran crn 5115   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   ~<_ cdom 7953

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-ac2 9285

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-card 8765  df-acn 8768  df-ac 8939

This theorem is referenced by:  abrexdom2  33526