Theorem axdc2lem 9270

Description: Lemma for axdc2 9271. We construct a relation R based on F such that x R y iff y e. ( F ` x ), and show that the "function" described by ax-dc 9268 can be restricted so that it is a real function (since the stated properties only show that it is the superset of a function). (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jan-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
axdc2lem.1	|- A e. _V
axdc2lem.2	|- R = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) }
axdc2lem.3	|- G = ( x e. om |-> ( h ` x ) )

Assertion

Ref	Expression
axdc2lem	|- ( ( A =/= (/) /\ F : A --> ( ~P A \ { (/) } ) ) -> E. g ( g : om --> A /\ A. k e. om ( g ` suc k ) e. ( F ` ( g ` k ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, g, h   x, A, y, h   g, F, h   x, F, y   g, G, k   x, G, y, k   R, h, k, x

Allowed substitution hints:   A( k)   R( y, g)   F( k)   G( h)

Proof of Theorem axdc2lem

Dummy variable r is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffvelrn 6357	. . . . . . . . 9 |- ( ( F : A --> ( ~P A \ { (/) } ) /\ x e. A ) -> ( F ` x ) e. ( ~P A \ { (/) } ) )
2		eldifsni 4320	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F ` x ) e. ( ~P A \ { (/) } ) -> ( F ` x ) =/= (/) )
3		n0 3931	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F ` x ) =/= (/) <-> E. y y e. ( F ` x ) )
4	2, 3	sylib 208	. . . . . . . . 9 |- ( ( F ` x ) e. ( ~P A \ { (/) } ) -> E. y y e. ( F ` x ) )
5	1, 4	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( F : A --> ( ~P A \ { (/) } ) /\ x e. A ) -> E. y y e. ( F ` x ) )
6	5	ralrimiva 2966	. . . . . . 7 |- ( F : A --> ( ~P A \ { (/) } ) -> A. x e. A E. y y e. ( F ` x ) )
7		rabid2 3118	. . . . . . 7 |- ( A = { x e. A | E. y y e. ( F ` x ) } <-> A. x e. A E. y y e. ( F ` x ) )
8	6, 7	sylibr 224	. . . . . 6 |- ( F : A --> ( ~P A \ { (/) } ) -> A = { x e. A | E. y y e. ( F ` x ) } )
9		axdc2lem.2	. . . . . . . 8 |- R = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) }
10	9	dmeqi 5325	. . . . . . 7 |- dom R = dom { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) }
11		19.42v 1918	. . . . . . . . 9 |- ( E. y ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) <-> ( x e. A /\ E. y y e. ( F ` x ) ) )
12	11	abbii 2739	. . . . . . . 8 |- { x | E. y ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) } = { x | ( x e. A /\ E. y y e. ( F ` x ) ) }
13		dmopab 5335	. . . . . . . 8 |- dom { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) } = { x | E. y ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) }
14		df-rab 2921	. . . . . . . 8 |- { x e. A | E. y y e. ( F ` x ) } = { x | ( x e. A /\ E. y y e. ( F ` x ) ) }
15	12, 13, 14	3eqtr4i 2654	. . . . . . 7 |- dom { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) } = { x e. A | E. y y e. ( F ` x ) }
16	10, 15	eqtri 2644	. . . . . 6 |- dom R = { x e. A | E. y y e. ( F ` x ) }
17	8, 16	syl6reqr 2675	. . . . 5 |- ( F : A --> ( ~P A \ { (/) } ) -> dom R = A )
18	17	neeq1d 2853	. . . 4 |- ( F : A --> ( ~P A \ { (/) } ) -> ( dom R =/= (/) <-> A =/= (/) ) )
19	18	biimparc 504	. . 3 |- ( ( A =/= (/) /\ F : A --> ( ~P A \ { (/) } ) ) -> dom R =/= (/) )
20		eldifi 3732	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F ` x ) e. ( ~P A \ { (/) } ) -> ( F ` x ) e. ~P A )
21		elelpwi 4171	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. ( F ` x ) /\ ( F ` x ) e. ~P A ) -> y e. A )
22	21	expcom 451	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F ` x ) e. ~P A -> ( y e. ( F ` x ) -> y e. A ) )
23	1, 20, 22	3syl 18	. . . . . . . . 9 |- ( ( F : A --> ( ~P A \ { (/) } ) /\ x e. A ) -> ( y e. ( F ` x ) -> y e. A ) )
24	23	expimpd 629	. . . . . . . 8 |- ( F : A --> ( ~P A \ { (/) } ) -> ( ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) -> y e. A ) )
25	24	exlimdv 1861	. . . . . . 7 |- ( F : A --> ( ~P A \ { (/) } ) -> ( E. x ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) -> y e. A ) )
26	25	alrimiv 1855	. . . . . 6 |- ( F : A --> ( ~P A \ { (/) } ) -> A. y ( E. x ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) -> y e. A ) )
27	9	rneqi 5352	. . . . . . . . 9 |- ran R = ran { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) }
28		rnopab 5370	. . . . . . . . 9 |- ran { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) } = { y | E. x ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) }
29	27, 28	eqtri 2644	. . . . . . . 8 |- ran R = { y | E. x ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) }
30	29	sseq1i 3629	. . . . . . 7 |- ( ran R C_ A <-> { y | E. x ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) } C_ A )
31		abss 3671	. . . . . . 7 |- ( { y | E. x ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) } C_ A <-> A. y ( E. x ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) -> y e. A ) )
32	30, 31	bitri 264	. . . . . 6 |- ( ran R C_ A <-> A. y ( E. x ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) -> y e. A ) )
33	26, 32	sylibr 224	. . . . 5 |- ( F : A --> ( ~P A \ { (/) } ) -> ran R C_ A )
34	33, 17	sseqtr4d 3642	. . . 4 |- ( F : A --> ( ~P A \ { (/) } ) -> ran R C_ dom R )
35	34	adantl 482	. . 3 |- ( ( A =/= (/) /\ F : A --> ( ~P A \ { (/) } ) ) -> ran R C_ dom R )
36		fvrn0 6216	. . . . . . . . . 10 |- ( F ` x ) e. ( ran F u. { (/) } )
37		elssuni 4467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F ` x ) e. ( ran F u. { (/) } ) -> ( F ` x ) C_ U. ( ran F u. { (/) } ) )
38	36, 37	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( F ` x ) C_ U. ( ran F u. { (/) } )
39	38	sseli 3599	. . . . . . . 8 |- ( y e. ( F ` x ) -> y e. U. ( ran F u. { (/) } ) )
40	39	anim2i 593	. . . . . . 7 |- ( ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) -> ( x e. A /\ y e. U. ( ran F u. { (/) } ) ) )
41	40	ssopab2i 5003	. . . . . 6 |- { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) } C_ { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. U. ( ran F u. { (/) } ) ) }
42		df-xp 5120	. . . . . 6 |- ( A X. U. ( ran F u. { (/) } ) ) = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. U. ( ran F u. { (/) } ) ) }
43	41, 9, 42	3sstr4i 3644	. . . . 5 |- R C_ ( A X. U. ( ran F u. { (/) } ) )
44		axdc2lem.1	. . . . . 6 |- A e. _V
45		frn 6053	. . . . . . . . . 10 |- ( F : A --> ( ~P A \ { (/) } ) -> ran F C_ ( ~P A \ { (/) } ) )
46	45	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( A =/= (/) /\ F : A --> ( ~P A \ { (/) } ) ) -> ran F C_ ( ~P A \ { (/) } ) )
47	44	pwex 4848	. . . . . . . . . . 11 |- ~P A e. _V
48		difexg 4808	. . . . . . . . . . 11 |- ( ~P A e. _V -> ( ~P A \ { (/) } ) e. _V )
49	47, 48	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( ~P A \ { (/) } ) e. _V
50	49	ssex 4802	. . . . . . . . 9 |- ( ran F C_ ( ~P A \ { (/) } ) -> ran F e. _V )
51	46, 50	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( A =/= (/) /\ F : A --> ( ~P A \ { (/) } ) ) -> ran F e. _V )
52		p0ex 4853	. . . . . . . 8 |- { (/) } e. _V
53		unexg 6959	. . . . . . . 8 |- ( ( ran F e. _V /\ { (/) } e. _V ) -> ( ran F u. { (/) } ) e. _V )
54	51, 52, 53	sylancl 694	. . . . . . 7 |- ( ( A =/= (/) /\ F : A --> ( ~P A \ { (/) } ) ) -> ( ran F u. { (/) } ) e. _V )
55		uniexg 6955	. . . . . . 7 |- ( ( ran F u. { (/) } ) e. _V -> U. ( ran F u. { (/) } ) e. _V )
56	54, 55	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( A =/= (/) /\ F : A --> ( ~P A \ { (/) } ) ) -> U. ( ran F u. { (/) } ) e. _V )
57		xpexg 6960	. . . . . 6 |- ( ( A e. _V /\ U. ( ran F u. { (/) } ) e. _V ) -> ( A X. U. ( ran F u. { (/) } ) ) e. _V )
58	44, 56, 57	sylancr 695	. . . . 5 |- ( ( A =/= (/) /\ F : A --> ( ~P A \ { (/) } ) ) -> ( A X. U. ( ran F u. { (/) } ) ) e. _V )
59		ssexg 4804	. . . . 5 |- ( ( R C_ ( A X. U. ( ran F u. { (/) } ) ) /\ ( A X. U. ( ran F u. { (/) } ) ) e. _V ) -> R e. _V )
60	43, 58, 59	sylancr 695	. . . 4 |- ( ( A =/= (/) /\ F : A --> ( ~P A \ { (/) } ) ) -> R e. _V )
61		n0 3931	. . . . . . . . 9 |- ( dom r =/= (/) <-> E. x x e. dom r )
62		vex 3203	. . . . . . . . . . 11 |- x e. _V
63	62	eldm 5321	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. dom r <-> E. y x r y )
64	63	exbii 1774	. . . . . . . . 9 |- ( E. x x e. dom r <-> E. x E. y x r y )
65	61, 64	bitr2i 265	. . . . . . . 8 |- ( E. x E. y x r y <-> dom r =/= (/) )
66		dmeq 5324	. . . . . . . . 9 |- ( r = R -> dom r = dom R )
67	66	neeq1d 2853	. . . . . . . 8 |- ( r = R -> ( dom r =/= (/) <-> dom R =/= (/) ) )
68	65, 67	syl5bb 272	. . . . . . 7 |- ( r = R -> ( E. x E. y x r y <-> dom R =/= (/) ) )
69		rneq 5351	. . . . . . . 8 |- ( r = R -> ran r = ran R )
70	69, 66	sseq12d 3634	. . . . . . 7 |- ( r = R -> ( ran r C_ dom r <-> ran R C_ dom R ) )
71	68, 70	anbi12d 747	. . . . . 6 |- ( r = R -> ( ( E. x E. y x r y /\ ran r C_ dom r ) <-> ( dom R =/= (/) /\ ran R C_ dom R ) ) )
72		breq 4655	. . . . . . . 8 |- ( r = R -> ( ( h ` k ) r ( h ` suc k ) <-> ( h ` k ) R ( h ` suc k ) ) )
73	72	ralbidv 2986	. . . . . . 7 |- ( r = R -> ( A. k e. om ( h ` k ) r ( h ` suc k ) <-> A. k e. om ( h ` k ) R ( h ` suc k ) ) )
74	73	exbidv 1850	. . . . . 6 |- ( r = R -> ( E. h A. k e. om ( h ` k ) r ( h ` suc k ) <-> E. h A. k e. om ( h ` k ) R ( h ` suc k ) ) )
75	71, 74	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( r = R -> ( ( ( E. x E. y x r y /\ ran r C_ dom r ) -> E. h A. k e. om ( h ` k ) r ( h ` suc k ) ) <-> ( ( dom R =/= (/) /\ ran R C_ dom R ) -> E. h A. k e. om ( h ` k ) R ( h ` suc k ) ) ) )
76		ax-dc 9268	. . . . 5 |- ( ( E. x E. y x r y /\ ran r C_ dom r ) -> E. h A. k e. om ( h ` k ) r ( h ` suc k ) )
77	75, 76	vtoclg 3266	. . . 4 |- ( R e. _V -> ( ( dom R =/= (/) /\ ran R C_ dom R ) -> E. h A. k e. om ( h ` k ) R ( h ` suc k ) ) )
78	60, 77	syl 17	. . 3 |- ( ( A =/= (/) /\ F : A --> ( ~P A \ { (/) } ) ) -> ( ( dom R =/= (/) /\ ran R C_ dom R ) -> E. h A. k e. om ( h ` k ) R ( h ` suc k ) ) )
79	19, 35, 78	mp2and 715	. 2 |- ( ( A =/= (/) /\ F : A --> ( ~P A \ { (/) } ) ) -> E. h A. k e. om ( h ` k ) R ( h ` suc k ) )
80		simpr 477	. 2 |- ( ( A =/= (/) /\ F : A --> ( ~P A \ { (/) } ) ) -> F : A --> ( ~P A \ { (/) } ) )
81		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = x -> ( h ` k ) = ( h ` x ) )
82		suceq 5790	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = x -> suc k = suc x )
83	82	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = x -> ( h ` suc k ) = ( h ` suc x ) )
84	81, 83	breq12d 4666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = x -> ( ( h ` k ) R ( h ` suc k ) <-> ( h ` x ) R ( h ` suc x ) ) )
85	84	rspccv 3306	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. k e. om ( h ` k ) R ( h ` suc k ) -> ( x e. om -> ( h ` x ) R ( h ` suc x ) ) )
86		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( h ` x ) e. _V
87		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( h ` suc x ) e. _V
88	86, 87	breldm 5329	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( h ` x ) R ( h ` suc x ) -> ( h ` x ) e. dom R )
89	85, 88	syl6 35	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. k e. om ( h ` k ) R ( h ` suc k ) -> ( x e. om -> ( h ` x ) e. dom R ) )
90	89	imp 445	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. k e. om ( h ` k ) R ( h ` suc k ) /\ x e. om ) -> ( h ` x ) e. dom R )
91	90	adantll 750	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( dom R = A /\ A. k e. om ( h ` k ) R ( h ` suc k ) ) /\ x e. om ) -> ( h ` x ) e. dom R )
92		eleq2 2690	. . . . . . . . . . 11 |- ( dom R = A -> ( ( h ` x ) e. dom R <-> ( h ` x ) e. A ) )
93	92	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( dom R = A /\ A. k e. om ( h ` k ) R ( h ` suc k ) ) /\ x e. om ) -> ( ( h ` x ) e. dom R <-> ( h ` x ) e. A ) )
94	91, 93	mpbid 222	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( dom R = A /\ A. k e. om ( h ` k ) R ( h ` suc k ) ) /\ x e. om ) -> ( h ` x ) e. A )
95		axdc2lem.3	. . . . . . . . 9 |- G = ( x e. om |-> ( h ` x ) )
96	94, 95	fmptd 6385	. . . . . . . 8 |- ( ( dom R = A /\ A. k e. om ( h ` k ) R ( h ` suc k ) ) -> G : om --> A )
97	96	ex 450	. . . . . . 7 |- ( dom R = A -> ( A. k e. om ( h ` k ) R ( h ` suc k ) -> G : om --> A ) )
98	17, 97	syl 17	. . . . . 6 |- ( F : A --> ( ~P A \ { (/) } ) -> ( A. k e. om ( h ` k ) R ( h ` suc k ) -> G : om --> A ) )
99	98	impcom 446	. . . . 5 |- ( ( A. k e. om ( h ` k ) R ( h ` suc k ) /\ F : A --> ( ~P A \ { (/) } ) ) -> G : om --> A )
100		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( x = k -> ( h ` x ) = ( h ` k ) )
101		fvex 6201	. . . . . . . . . 10 |- ( h ` k ) e. _V
102	100, 95, 101	fvmpt 6282	. . . . . . . . 9 |- ( k e. om -> ( G ` k ) = ( h ` k ) )
103		peano2 7086	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. om -> suc k e. om )
104		fvex 6201	. . . . . . . . . 10 |- ( h ` suc k ) e. _V
105		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = suc k -> ( h ` x ) = ( h ` suc k ) )
106	105, 95	fvmptg 6280	. . . . . . . . . 10 |- ( ( suc k e. om /\ ( h ` suc k ) e. _V ) -> ( G ` suc k ) = ( h ` suc k ) )
107	103, 104, 106	sylancl 694	. . . . . . . . 9 |- ( k e. om -> ( G ` suc k ) = ( h ` suc k ) )
108	102, 107	breq12d 4666	. . . . . . . 8 |- ( k e. om -> ( ( G ` k ) R ( G ` suc k ) <-> ( h ` k ) R ( h ` suc k ) ) )
109		fvex 6201	. . . . . . . . . 10 |- ( G ` k ) e. _V
110		fvex 6201	. . . . . . . . . 10 |- ( G ` suc k ) e. _V
111		eleq1 2689	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( G ` k ) -> ( x e. A <-> ( G ` k ) e. A ) )
112		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( G ` k ) -> ( F ` x ) = ( F ` ( G ` k ) ) )
113	112	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( G ` k ) -> ( y e. ( F ` x ) <-> y e. ( F ` ( G ` k ) ) ) )
114	111, 113	anbi12d 747	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( G ` k ) -> ( ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) <-> ( ( G ` k ) e. A /\ y e. ( F ` ( G ` k ) ) ) ) )
115		eleq1 2689	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( G ` suc k ) -> ( y e. ( F ` ( G ` k ) ) <-> ( G ` suc k ) e. ( F ` ( G ` k ) ) ) )
116	115	anbi2d 740	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( G ` suc k ) -> ( ( ( G ` k ) e. A /\ y e. ( F ` ( G ` k ) ) ) <-> ( ( G ` k ) e. A /\ ( G ` suc k ) e. ( F ` ( G ` k ) ) ) ) )
117	109, 110, 114, 116, 9	brab 4998	. . . . . . . . 9 |- ( ( G ` k ) R ( G ` suc k ) <-> ( ( G ` k ) e. A /\ ( G ` suc k ) e. ( F ` ( G ` k ) ) ) )
118	117	simprbi 480	. . . . . . . 8 |- ( ( G ` k ) R ( G ` suc k ) -> ( G ` suc k ) e. ( F ` ( G ` k ) ) )
119	108, 118	syl6bir 244	. . . . . . 7 |- ( k e. om -> ( ( h ` k ) R ( h ` suc k ) -> ( G ` suc k ) e. ( F ` ( G ` k ) ) ) )
120	119	ralimia 2950	. . . . . 6 |- ( A. k e. om ( h ` k ) R ( h ` suc k ) -> A. k e. om ( G ` suc k ) e. ( F ` ( G ` k ) ) )
121	120	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( A. k e. om ( h ` k ) R ( h ` suc k ) /\ F : A --> ( ~P A \ { (/) } ) ) -> A. k e. om ( G ` suc k ) e. ( F ` ( G ` k ) ) )
122		fvrn0 6216	. . . . . . . . . 10 |- ( h ` x ) e. ( ran h u. { (/) } )
123	122	rgenw 2924	. . . . . . . . 9 |- A. x e. om ( h ` x ) e. ( ran h u. { (/) } )
124		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. om |-> ( h ` x ) ) = ( x e. om |-> ( h ` x ) )
125	124	fmpt 6381	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. om ( h ` x ) e. ( ran h u. { (/) } ) <-> ( x e. om |-> ( h ` x ) ) : om --> ( ran h u. { (/) } ) )
126	123, 125	mpbi 220	. . . . . . . 8 |- ( x e. om |-> ( h ` x ) ) : om --> ( ran h u. { (/) } )
127		dcomex 9269	. . . . . . . 8 |- om e. _V
128		vex 3203	. . . . . . . . . 10 |- h e. _V
129	128	rnex 7100	. . . . . . . . 9 |- ran h e. _V
130	129, 52	unex 6956	. . . . . . . 8 |- ( ran h u. { (/) } ) e. _V
131		fex2 7121	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. om |-> ( h ` x ) ) : om --> ( ran h u. { (/) } ) /\ om e. _V /\ ( ran h u. { (/) } ) e. _V ) -> ( x e. om |-> ( h ` x ) ) e. _V )
132	126, 127, 130, 131	mp3an 1424	. . . . . . 7 |- ( x e. om |-> ( h ` x ) ) e. _V
133	95, 132	eqeltri 2697	. . . . . 6 |- G e. _V
134		feq1 6026	. . . . . . 7 |- ( g = G -> ( g : om --> A <-> G : om --> A ) )
135		fveq1 6190	. . . . . . . . 9 |- ( g = G -> ( g ` suc k ) = ( G ` suc k ) )
136		fveq1 6190	. . . . . . . . . 10 |- ( g = G -> ( g ` k ) = ( G ` k ) )
137	136	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( g = G -> ( F ` ( g ` k ) ) = ( F ` ( G ` k ) ) )
138	135, 137	eleq12d 2695	. . . . . . . 8 |- ( g = G -> ( ( g ` suc k ) e. ( F ` ( g ` k ) ) <-> ( G ` suc k ) e. ( F ` ( G ` k ) ) ) )
139	138	ralbidv 2986	. . . . . . 7 |- ( g = G -> ( A. k e. om ( g ` suc k ) e. ( F ` ( g ` k ) ) <-> A. k e. om ( G ` suc k ) e. ( F ` ( G ` k ) ) ) )
140	134, 139	anbi12d 747	. . . . . 6 |- ( g = G -> ( ( g : om --> A /\ A. k e. om ( g ` suc k ) e. ( F ` ( g ` k ) ) ) <-> ( G : om --> A /\ A. k e. om ( G ` suc k ) e. ( F ` ( G ` k ) ) ) ) )
141	133, 140	spcev 3300	. . . . 5 |- ( ( G : om --> A /\ A. k e. om ( G ` suc k ) e. ( F ` ( G ` k ) ) ) -> E. g ( g : om --> A /\ A. k e. om ( g ` suc k ) e. ( F ` ( g ` k ) ) ) )
142	99, 121, 141	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( A. k e. om ( h ` k ) R ( h ` suc k ) /\ F : A --> ( ~P A \ { (/) } ) ) -> E. g ( g : om --> A /\ A. k e. om ( g ` suc k ) e. ( F ` ( g ` k ) ) ) )
143	142	ex 450	. . 3 |- ( A. k e. om ( h ` k ) R ( h ` suc k ) -> ( F : A --> ( ~P A \ { (/) } ) -> E. g ( g : om --> A /\ A. k e. om ( g ` suc k ) e. ( F ` ( g ` k ) ) ) ) )
144	143	exlimiv 1858	. 2 |- ( E. h A. k e. om ( h ` k ) R ( h ` suc k ) -> ( F : A --> ( ~P A \ { (/) } ) -> E. g ( g : om --> A /\ A. k e. om ( g ` suc k ) e. ( F ` ( g ` k ) ) ) ) )
145	79, 80, 144	sylc 65	1 |- ( ( A =/= (/) /\ F : A --> ( ~P A \ { (/) } ) ) -> E. g ( g : om --> A /\ A. k e. om ( g ` suc k ) e. ( F ` ( g ` k ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   A.wal 1481   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   {cab 2608   =/= wne 2794   A.wral 2912   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   u. cun 3572   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   {csn 4177   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   {copab 4712   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   dom cdm 5114   ran crn 5115   suc csuc 5725   -->wf 5884   ` cfv 5888   omcom 7065

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-dc 9268

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-om 7066  df-1o 7560

This theorem is referenced by:  axdc2  9271