Theorem salgenn0 40549

Description: The set used in the definition of the generated sigma-algebra, is not empty. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Jan-2021.)

Assertion

Ref	Expression
salgenn0	|- ( X e. V -> { s e. SAlg | ( U. s = U. X /\ X C_ s ) } =/= (/) )

Distinct variable group:   X, s

Allowed substitution hint:   V( s)

Proof of Theorem salgenn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniexg 6955	. . . . 5 |- ( X e. V -> U. X e. _V )
2		pwsal 40535	. . . . 5 |- ( U. X e. _V -> ~P U. X e. SAlg )
3	1, 2	syl 17	. . . 4 |- ( X e. V -> ~P U. X e. SAlg )
4		unipw 4918	. . . . . 6 |- U. ~P U. X = U. X
5	4	a1i 11	. . . . 5 |- ( X e. V -> U. ~P U. X = U. X )
6		pwuni 4474	. . . . . 6 |- X C_ ~P U. X
7	6	a1i 11	. . . . 5 |- ( X e. V -> X C_ ~P U. X )
8	5, 7	jca 554	. . . 4 |- ( X e. V -> ( U. ~P U. X = U. X /\ X C_ ~P U. X ) )
9	3, 8	jca 554	. . 3 |- ( X e. V -> ( ~P U. X e. SAlg /\ ( U. ~P U. X = U. X /\ X C_ ~P U. X ) ) )
10		unieq 4444	. . . . . 6 |- ( s = ~P U. X -> U. s = U. ~P U. X )
11	10	eqeq1d 2624	. . . . 5 |- ( s = ~P U. X -> ( U. s = U. X <-> U. ~P U. X = U. X ) )
12		sseq2 3627	. . . . 5 |- ( s = ~P U. X -> ( X C_ s <-> X C_ ~P U. X ) )
13	11, 12	anbi12d 747	. . . 4 |- ( s = ~P U. X -> ( ( U. s = U. X /\ X C_ s ) <-> ( U. ~P U. X = U. X /\ X C_ ~P U. X ) ) )
14	13	elrab 3363	. . 3 |- ( ~P U. X e. { s e. SAlg | ( U. s = U. X /\ X C_ s ) } <-> ( ~P U. X e. SAlg /\ ( U. ~P U. X = U. X /\ X C_ ~P U. X ) ) )
15	9, 14	sylibr 224	. 2 |- ( X e. V -> ~P U. X e. { s e. SAlg | ( U. s = U. X /\ X C_ s ) } )
16		ne0i 3921	. 2 |- ( ~P U. X e. { s e. SAlg | ( U. s = U. X /\ X C_ s ) } -> { s e. SAlg | ( U. s = U. X /\ X C_ s ) } =/= (/) )
17	15, 16	syl 17	1 |- ( X e. V -> { s e. SAlg | ( U. s = U. X /\ X C_ s ) } =/= (/) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   {crab 2916   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436  SAlgcsalg 40528

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-uni 4437  df-salg 40529

This theorem is referenced by:  salgencl  40550  salgenuni  40555