Theorem shmodsi 28248

Description: The modular law holds for subspace sum. Similar to part of Theorem 16.9 of [MaedaMaeda] p. 70. (Contributed by NM, 23-Nov-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
shmod.1	|- A e. SH
shmod.2	|- B e. SH
shmod.3	|- C e. SH

Assertion

Ref	Expression
shmodsi	|- ( A C_ C -> ( ( A +H B ) i^i C ) C_ ( A +H ( B i^i C ) ) )

Proof of Theorem shmodsi

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3796	. . 3 |- ( z e. ( ( A +H B ) i^i C ) <-> ( z e. ( A +H B ) /\ z e. C ) )
2		shmod.1	. . . . . . 7 |- A e. SH
3		shmod.2	. . . . . . 7 |- B e. SH
4	2, 3	shseli 28175	. . . . . 6 |- ( z e. ( A +H B ) <-> E. x e. A E. y e. B z = ( x +h y ) )
5		shmod.3	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- C e. SH
6	5	sheli 28071	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. C -> z e. ~H )
7	2	sheli 28071	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. A -> x e. ~H )
8	3	sheli 28071	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. B -> y e. ~H )
9		hvsubadd 27934	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. ~H /\ x e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( ( z -h x ) = y <-> ( x +h y ) = z ) )
10	6, 7, 8, 9	syl3an 1368	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. C /\ x e. A /\ y e. B ) -> ( ( z -h x ) = y <-> ( x +h y ) = z ) )
11		eqcom 2629	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x +h y ) = z <-> z = ( x +h y ) )
12	10, 11	syl6bb 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. C /\ x e. A /\ y e. B ) -> ( ( z -h x ) = y <-> z = ( x +h y ) ) )
13	12	3expb 1266	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. C /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) -> ( ( z -h x ) = y <-> z = ( x +h y ) ) )
14	5, 2	shsvsi 28226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( z e. C /\ x e. A ) -> ( z -h x ) e. ( C +H A ) )
15	5, 2	shscomi 28222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( C +H A ) = ( A +H C )
16	14, 15	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( z e. C /\ x e. A ) -> ( z -h x ) e. ( A +H C ) )
17	2, 5	shlesb1i 28245	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( A C_ C <-> ( A +H C ) = C )
18	17	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( A C_ C -> ( A +H C ) = C )
19	18	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A C_ C -> ( ( z -h x ) e. ( A +H C ) <-> ( z -h x ) e. C ) )
20	16, 19	syl5ib 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A C_ C -> ( ( z e. C /\ x e. A ) -> ( z -h x ) e. C ) )
21		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( z -h x ) = y -> ( ( z -h x ) e. C <-> y e. C ) )
22	21	biimpd 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( z -h x ) = y -> ( ( z -h x ) e. C -> y e. C ) )
23	20, 22	sylan9 689	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A C_ C /\ ( z -h x ) = y ) -> ( ( z e. C /\ x e. A ) -> y e. C ) )
24	23	anim2d 589	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A C_ C /\ ( z -h x ) = y ) -> ( ( y e. B /\ ( z e. C /\ x e. A ) ) -> ( y e. B /\ y e. C ) ) )
25		elin 3796	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. ( B i^i C ) <-> ( y e. B /\ y e. C ) )
26	24, 25	syl6ibr 242	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A C_ C /\ ( z -h x ) = y ) -> ( ( y e. B /\ ( z e. C /\ x e. A ) ) -> y e. ( B i^i C ) ) )
27	26	ex 450	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A C_ C -> ( ( z -h x ) = y -> ( ( y e. B /\ ( z e. C /\ x e. A ) ) -> y e. ( B i^i C ) ) ) )
28	27	com13 88	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. B /\ ( z e. C /\ x e. A ) ) -> ( ( z -h x ) = y -> ( A C_ C -> y e. ( B i^i C ) ) ) )
29	28	ancoms 469	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( z e. C /\ x e. A ) /\ y e. B ) -> ( ( z -h x ) = y -> ( A C_ C -> y e. ( B i^i C ) ) ) )
30	29	anasss 679	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. C /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) -> ( ( z -h x ) = y -> ( A C_ C -> y e. ( B i^i C ) ) ) )
31	13, 30	sylbird 250	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. C /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) -> ( z = ( x +h y ) -> ( A C_ C -> y e. ( B i^i C ) ) ) )
32	31	imp 445	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( z e. C /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) /\ z = ( x +h y ) ) -> ( A C_ C -> y e. ( B i^i C ) ) )
33	3, 5	shincli 28221	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( B i^i C ) e. SH
34	2, 33	shsvai 28223	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. A /\ y e. ( B i^i C ) ) -> ( x +h y ) e. ( A +H ( B i^i C ) ) )
35		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = ( x +h y ) -> ( z e. ( A +H ( B i^i C ) ) <-> ( x +h y ) e. ( A +H ( B i^i C ) ) ) )
36	34, 35	syl5ibr 236	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = ( x +h y ) -> ( ( x e. A /\ y e. ( B i^i C ) ) -> z e. ( A +H ( B i^i C ) ) ) )
37	36	expd 452	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( x +h y ) -> ( x e. A -> ( y e. ( B i^i C ) -> z e. ( A +H ( B i^i C ) ) ) ) )
38	37	com12 32	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. A -> ( z = ( x +h y ) -> ( y e. ( B i^i C ) -> z e. ( A +H ( B i^i C ) ) ) ) )
39	38	ad2antrl 764	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. C /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) -> ( z = ( x +h y ) -> ( y e. ( B i^i C ) -> z e. ( A +H ( B i^i C ) ) ) ) )
40	39	imp 445	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( z e. C /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) /\ z = ( x +h y ) ) -> ( y e. ( B i^i C ) -> z e. ( A +H ( B i^i C ) ) ) )
41	32, 40	syld 47	. . . . . . . 8 |- ( ( ( z e. C /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) /\ z = ( x +h y ) ) -> ( A C_ C -> z e. ( A +H ( B i^i C ) ) ) )
42	41	exp31 630	. . . . . . 7 |- ( z e. C -> ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( z = ( x +h y ) -> ( A C_ C -> z e. ( A +H ( B i^i C ) ) ) ) ) )
43	42	rexlimdvv 3037	. . . . . 6 |- ( z e. C -> ( E. x e. A E. y e. B z = ( x +h y ) -> ( A C_ C -> z e. ( A +H ( B i^i C ) ) ) ) )
44	4, 43	syl5bi 232	. . . . 5 |- ( z e. C -> ( z e. ( A +H B ) -> ( A C_ C -> z e. ( A +H ( B i^i C ) ) ) ) )
45	44	com13 88	. . . 4 |- ( A C_ C -> ( z e. ( A +H B ) -> ( z e. C -> z e. ( A +H ( B i^i C ) ) ) ) )
46	45	impd 447	. . 3 |- ( A C_ C -> ( ( z e. ( A +H B ) /\ z e. C ) -> z e. ( A +H ( B i^i C ) ) ) )
47	1, 46	syl5bi 232	. 2 |- ( A C_ C -> ( z e. ( ( A +H B ) i^i C ) -> z e. ( A +H ( B i^i C ) ) ) )
48	47	ssrdv 3609	1 |- ( A C_ C -> ( ( A +H B ) i^i C ) C_ ( A +H ( B i^i C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   i^i cin 3573   C_ wss 3574  (class class class)co 6650   ~Hchil 27776   +h cva 27777   -h cmv 27782   SHcsh 27785   +H cph 27788

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-hilex 27856  ax-hfvadd 27857  ax-hvcom 27858  ax-hvass 27859  ax-hv0cl 27860  ax-hvaddid 27861  ax-hfvmul 27862  ax-hvmulid 27863  ax-hvdistr1 27865  ax-hvdistr2 27866  ax-hvmul0 27867

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-ltxr 10079  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-grpo 27347  df-ablo 27399  df-hvsub 27828  df-hlim 27829  df-sh 28064  df-ch 28078  df-shs 28167

This theorem is referenced by:  shmodi  28249