Theorem cdj3lem1 29293

Description: A property of " A and B are completely disjoint subspaces." Part of Lemma 5 of [Holland] p. 1520. (Contributed by NM, 23-May-2005.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdj1.1	|- A e. SH
cdj1.2	|- B e. SH

Assertion

Ref	Expression
cdj3lem1	|- ( E. x e. RR ( 0 < x /\ A. y e. A A. z e. B ( ( normh ` y ) + ( normh ` z ) ) <_ ( x x. ( normh ` ( y +h z ) ) ) ) -> ( A i^i B ) = 0H )

Distinct variable groups:   x, y, z, A   x, B, y, z

Proof of Theorem cdj3lem1

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3796	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w e. ( A i^i B ) <-> ( w e. A /\ w e. B ) )
2		cdj1.2	. . . . . . . . . . . . . 14 |- B e. SH
3		neg1cn 11124	. . . . . . . . . . . . . 14 |- -u 1 e. CC
4		shmulcl 28075	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B e. SH /\ -u 1 e. CC /\ w e. B ) -> ( -u 1 .h w ) e. B )
5	2, 3, 4	mp3an12 1414	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w e. B -> ( -u 1 .h w ) e. B )
6	5	anim2i 593	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( w e. A /\ w e. B ) -> ( w e. A /\ ( -u 1 .h w ) e. B ) )
7	1, 6	sylbi 207	. . . . . . . . . . 11 |- ( w e. ( A i^i B ) -> ( w e. A /\ ( -u 1 .h w ) e. B ) )
8		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = w -> ( normh ` y ) = ( normh ` w ) )
9	8	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = w -> ( ( normh ` y ) + ( normh ` z ) ) = ( ( normh ` w ) + ( normh ` z ) ) )
10		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = w -> ( y +h z ) = ( w +h z ) )
11	10	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = w -> ( normh ` ( y +h z ) ) = ( normh ` ( w +h z ) ) )
12	11	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = w -> ( x x. ( normh ` ( y +h z ) ) ) = ( x x. ( normh ` ( w +h z ) ) ) )
13	9, 12	breq12d 4666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = w -> ( ( ( normh ` y ) + ( normh ` z ) ) <_ ( x x. ( normh ` ( y +h z ) ) ) <-> ( ( normh ` w ) + ( normh ` z ) ) <_ ( x x. ( normh ` ( w +h z ) ) ) ) )
14		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = ( -u 1 .h w ) -> ( normh ` z ) = ( normh ` ( -u 1 .h w ) ) )
15	14	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = ( -u 1 .h w ) -> ( ( normh ` w ) + ( normh ` z ) ) = ( ( normh ` w ) + ( normh ` ( -u 1 .h w ) ) ) )
16		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( -u 1 .h w ) -> ( w +h z ) = ( w +h ( -u 1 .h w ) ) )
17	16	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = ( -u 1 .h w ) -> ( normh ` ( w +h z ) ) = ( normh ` ( w +h ( -u 1 .h w ) ) ) )
18	17	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = ( -u 1 .h w ) -> ( x x. ( normh ` ( w +h z ) ) ) = ( x x. ( normh ` ( w +h ( -u 1 .h w ) ) ) ) )
19	15, 18	breq12d 4666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( -u 1 .h w ) -> ( ( ( normh ` w ) + ( normh ` z ) ) <_ ( x x. ( normh ` ( w +h z ) ) ) <-> ( ( normh ` w ) + ( normh ` ( -u 1 .h w ) ) ) <_ ( x x. ( normh ` ( w +h ( -u 1 .h w ) ) ) ) ) )
20	13, 19	rspc2v 3322	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( w e. A /\ ( -u 1 .h w ) e. B ) -> ( A. y e. A A. z e. B ( ( normh ` y ) + ( normh ` z ) ) <_ ( x x. ( normh ` ( y +h z ) ) ) -> ( ( normh ` w ) + ( normh ` ( -u 1 .h w ) ) ) <_ ( x x. ( normh ` ( w +h ( -u 1 .h w ) ) ) ) ) )
21	7, 20	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. ( A i^i B ) -> ( A. y e. A A. z e. B ( ( normh ` y ) + ( normh ` z ) ) <_ ( x x. ( normh ` ( y +h z ) ) ) -> ( ( normh ` w ) + ( normh ` ( -u 1 .h w ) ) ) <_ ( x x. ( normh ` ( w +h ( -u 1 .h w ) ) ) ) ) )
22	21	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. RR /\ w e. ( A i^i B ) ) -> ( A. y e. A A. z e. B ( ( normh ` y ) + ( normh ` z ) ) <_ ( x x. ( normh ` ( y +h z ) ) ) -> ( ( normh ` w ) + ( normh ` ( -u 1 .h w ) ) ) <_ ( x x. ( normh ` ( w +h ( -u 1 .h w ) ) ) ) ) )
23		cdj1.1	. . . . . . . . . . . 12 |- A e. SH
24	23, 2	shincli 28221	. . . . . . . . . . 11 |- ( A i^i B ) e. SH
25	24	sheli 28071	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. ( A i^i B ) -> w e. ~H )
26		normneg 28001	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w e. ~H -> ( normh ` ( -u 1 .h w ) ) = ( normh ` w ) )
27	26	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w e. ~H -> ( ( normh ` w ) + ( normh ` ( -u 1 .h w ) ) ) = ( ( normh ` w ) + ( normh ` w ) ) )
28		normcl 27982	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w e. ~H -> ( normh ` w ) e. RR )
29	28	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w e. ~H -> ( normh ` w ) e. CC )
30	29	2timesd 11275	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w e. ~H -> ( 2 x. ( normh ` w ) ) = ( ( normh ` w ) + ( normh ` w ) ) )
31	27, 30	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w e. ~H -> ( ( normh ` w ) + ( normh ` ( -u 1 .h w ) ) ) = ( 2 x. ( normh ` w ) ) )
32	31	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. RR /\ w e. ~H ) -> ( ( normh ` w ) + ( normh ` ( -u 1 .h w ) ) ) = ( 2 x. ( normh ` w ) ) )
33		hvnegid 27884	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( w e. ~H -> ( w +h ( -u 1 .h w ) ) = 0h )
34	33	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w e. ~H -> ( normh ` ( w +h ( -u 1 .h w ) ) ) = ( normh ` 0h ) )
35		norm0 27985	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( normh ` 0h ) = 0
36	34, 35	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w e. ~H -> ( normh ` ( w +h ( -u 1 .h w ) ) ) = 0 )
37	36	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w e. ~H -> ( x x. ( normh ` ( w +h ( -u 1 .h w ) ) ) ) = ( x x. 0 ) )
38		recn 10026	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. RR -> x e. CC )
39	38	mul01d 10235	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. RR -> ( x x. 0 ) = 0 )
40	37, 39	sylan9eqr 2678	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. RR /\ w e. ~H ) -> ( x x. ( normh ` ( w +h ( -u 1 .h w ) ) ) ) = 0 )
41		2t0e0 11183	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 2 x. 0 ) = 0
42	40, 41	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. RR /\ w e. ~H ) -> ( x x. ( normh ` ( w +h ( -u 1 .h w ) ) ) ) = ( 2 x. 0 ) )
43	32, 42	breq12d 4666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. RR /\ w e. ~H ) -> ( ( ( normh ` w ) + ( normh ` ( -u 1 .h w ) ) ) <_ ( x x. ( normh ` ( w +h ( -u 1 .h w ) ) ) ) <-> ( 2 x. ( normh ` w ) ) <_ ( 2 x. 0 ) ) )
44		0re 10040	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 e. RR
45		letri3 10123	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( normh ` w ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( ( normh ` w ) = 0 <-> ( ( normh ` w ) <_ 0 /\ 0 <_ ( normh ` w ) ) ) )
46	28, 44, 45	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w e. ~H -> ( ( normh ` w ) = 0 <-> ( ( normh ` w ) <_ 0 /\ 0 <_ ( normh ` w ) ) ) )
47		normge0 27983	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w e. ~H -> 0 <_ ( normh ` w ) )
48	47	biantrud 528	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w e. ~H -> ( ( normh ` w ) <_ 0 <-> ( ( normh ` w ) <_ 0 /\ 0 <_ ( normh ` w ) ) ) )
49		2re 11090	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 2 e. RR
50		2pos 11112	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 0 < 2
51	49, 50	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 2 e. RR /\ 0 < 2 )
52		lemul2 10876	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( normh ` w ) e. RR /\ 0 e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( normh ` w ) <_ 0 <-> ( 2 x. ( normh ` w ) ) <_ ( 2 x. 0 ) ) )
53	44, 51, 52	mp3an23 1416	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( normh ` w ) e. RR -> ( ( normh ` w ) <_ 0 <-> ( 2 x. ( normh ` w ) ) <_ ( 2 x. 0 ) ) )
54	28, 53	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w e. ~H -> ( ( normh ` w ) <_ 0 <-> ( 2 x. ( normh ` w ) ) <_ ( 2 x. 0 ) ) )
55	46, 48, 54	3bitr2rd 297	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w e. ~H -> ( ( 2 x. ( normh ` w ) ) <_ ( 2 x. 0 ) <-> ( normh ` w ) = 0 ) )
56		norm-i 27986	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w e. ~H -> ( ( normh ` w ) = 0 <-> w = 0h ) )
57	55, 56	bitrd 268	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w e. ~H -> ( ( 2 x. ( normh ` w ) ) <_ ( 2 x. 0 ) <-> w = 0h ) )
58	57	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. RR /\ w e. ~H ) -> ( ( 2 x. ( normh ` w ) ) <_ ( 2 x. 0 ) <-> w = 0h ) )
59	43, 58	bitrd 268	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. RR /\ w e. ~H ) -> ( ( ( normh ` w ) + ( normh ` ( -u 1 .h w ) ) ) <_ ( x x. ( normh ` ( w +h ( -u 1 .h w ) ) ) ) <-> w = 0h ) )
60	25, 59	sylan2 491	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. RR /\ w e. ( A i^i B ) ) -> ( ( ( normh ` w ) + ( normh ` ( -u 1 .h w ) ) ) <_ ( x x. ( normh ` ( w +h ( -u 1 .h w ) ) ) ) <-> w = 0h ) )
61	22, 60	sylibd 229	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. RR /\ w e. ( A i^i B ) ) -> ( A. y e. A A. z e. B ( ( normh ` y ) + ( normh ` z ) ) <_ ( x x. ( normh ` ( y +h z ) ) ) -> w = 0h ) )
62	61	impancom 456	. . . . . . 7 |- ( ( x e. RR /\ A. y e. A A. z e. B ( ( normh ` y ) + ( normh ` z ) ) <_ ( x x. ( normh ` ( y +h z ) ) ) ) -> ( w e. ( A i^i B ) -> w = 0h ) )
63		elch0 28111	. . . . . . 7 |- ( w e. 0H <-> w = 0h )
64	62, 63	syl6ibr 242	. . . . . 6 |- ( ( x e. RR /\ A. y e. A A. z e. B ( ( normh ` y ) + ( normh ` z ) ) <_ ( x x. ( normh ` ( y +h z ) ) ) ) -> ( w e. ( A i^i B ) -> w e. 0H ) )
65	64	ssrdv 3609	. . . . 5 |- ( ( x e. RR /\ A. y e. A A. z e. B ( ( normh ` y ) + ( normh ` z ) ) <_ ( x x. ( normh ` ( y +h z ) ) ) ) -> ( A i^i B ) C_ 0H )
66	65	ex 450	. . . 4 |- ( x e. RR -> ( A. y e. A A. z e. B ( ( normh ` y ) + ( normh ` z ) ) <_ ( x x. ( normh ` ( y +h z ) ) ) -> ( A i^i B ) C_ 0H ) )
67		shle0 28301	. . . . 5 |- ( ( A i^i B ) e. SH -> ( ( A i^i B ) C_ 0H <-> ( A i^i B ) = 0H ) )
68	24, 67	ax-mp 5	. . . 4 |- ( ( A i^i B ) C_ 0H <-> ( A i^i B ) = 0H )
69	66, 68	syl6ib 241	. . 3 |- ( x e. RR -> ( A. y e. A A. z e. B ( ( normh ` y ) + ( normh ` z ) ) <_ ( x x. ( normh ` ( y +h z ) ) ) -> ( A i^i B ) = 0H ) )
70	69	adantld 483	. 2 |- ( x e. RR -> ( ( 0 < x /\ A. y e. A A. z e. B ( ( normh ` y ) + ( normh ` z ) ) <_ ( x x. ( normh ` ( y +h z ) ) ) ) -> ( A i^i B ) = 0H ) )
71	70	rexlimiv 3027	1 |- ( E. x e. RR ( 0 < x /\ A. y e. A A. z e. B ( ( normh ` y ) + ( normh ` z ) ) <_ ( x x. ( normh ` ( y +h z ) ) ) ) -> ( A i^i B ) = 0H )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   i^i cin 3573   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   -ucneg 10267   2c2 11070   ~Hchil 27776   +h cva 27777   .h csm 27778   normhcno 27780   0hc0v 27781   SHcsh 27785   0Hc0h 27792

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-hilex 27856  ax-hfvadd 27857  ax-hvcom 27858  ax-hv0cl 27860  ax-hvaddid 27861  ax-hfvmul 27862  ax-hvmulid 27863  ax-hvmulass 27864  ax-hvdistr1 27865  ax-hvdistr2 27866  ax-hvmul0 27867  ax-hfi 27936  ax-his1 27939  ax-his3 27941  ax-his4 27942

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-hnorm 27825  df-hvsub 27828  df-sh 28064  df-ch0 28110

This theorem is referenced by:  cdj3lem2b  29296  cdj3i  29300