Theorem ssltun2 31916

Description: Union law for surreal set less than. (Contributed by Scott Fenton, 9-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ssltun2	|- ( ( A < <s B /\ A < <s C ) -> A < <s ( B u. C ) )

Proof of Theorem ssltun2

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssltex1 31901	. . . 4 |- ( A < <s B -> A e. _V )
2	1	adantr 481	. . 3 |- ( ( A < <s B /\ A < <s C ) -> A e. _V )
3		ssltex2 31902	. . . 4 |- ( A < <s B -> B e. _V )
4		ssltex2 31902	. . . 4 |- ( A < <s C -> C e. _V )
5		unexg 6959	. . . 4 |- ( ( B e. _V /\ C e. _V ) -> ( B u. C ) e. _V )
6	3, 4, 5	syl2an 494	. . 3 |- ( ( A < <s B /\ A < <s C ) -> ( B u. C ) e. _V )
7	2, 6	jca 554	. 2 |- ( ( A < <s B /\ A < <s C ) -> ( A e. _V /\ ( B u. C ) e. _V ) )
8		ssltss1 31903	. . . 4 |- ( A < <s B -> A C_ No )
9	8	adantr 481	. . 3 |- ( ( A < <s B /\ A < <s C ) -> A C_ No )
10		ssltss2 31904	. . . . 5 |- ( A < <s B -> B C_ No )
11	10	adantr 481	. . . 4 |- ( ( A < <s B /\ A < <s C ) -> B C_ No )
12		ssltss2 31904	. . . . 5 |- ( A < <s C -> C C_ No )
13	12	adantl 482	. . . 4 |- ( ( A < <s B /\ A < <s C ) -> C C_ No )
14	11, 13	unssd 3789	. . 3 |- ( ( A < <s B /\ A < <s C ) -> ( B u. C ) C_ No )
15		ssltsep 31905	. . . . 5 |- ( A < <s B -> A. x e. A A. y e. B x <s y )
16	15	adantr 481	. . . 4 |- ( ( A < <s B /\ A < <s C ) -> A. x e. A A. y e. B x <s y )
17		ssltsep 31905	. . . . 5 |- ( A < <s C -> A. x e. A A. y e. C x <s y )
18	17	adantl 482	. . . 4 |- ( ( A < <s B /\ A < <s C ) -> A. x e. A A. y e. C x <s y )
19		ralunb 3794	. . . . . 6 |- ( A. y e. ( B u. C ) x <s y <-> ( A. y e. B x <s y /\ A. y e. C x <s y ) )
20	19	ralbii 2980	. . . . 5 |- ( A. x e. A A. y e. ( B u. C ) x <s y <-> A. x e. A ( A. y e. B x <s y /\ A. y e. C x <s y ) )
21		r19.26 3064	. . . . 5 |- ( A. x e. A ( A. y e. B x <s y /\ A. y e. C x <s y ) <-> ( A. x e. A A. y e. B x <s y /\ A. x e. A A. y e. C x <s y ) )
22	20, 21	bitri 264	. . . 4 |- ( A. x e. A A. y e. ( B u. C ) x <s y <-> ( A. x e. A A. y e. B x <s y /\ A. x e. A A. y e. C x <s y ) )
23	16, 18, 22	sylanbrc 698	. . 3 |- ( ( A < <s B /\ A < <s C ) -> A. x e. A A. y e. ( B u. C ) x <s y )
24	9, 14, 23	3jca 1242	. 2 |- ( ( A < <s B /\ A < <s C ) -> ( A C_ No /\ ( B u. C ) C_ No /\ A. x e. A A. y e. ( B u. C ) x <s y ) )
25		brsslt 31900	. 2 |- ( A < <s ( B u. C ) <-> ( ( A e. _V /\ ( B u. C ) e. _V ) /\ ( A C_ No /\ ( B u. C ) C_ No /\ A. x e. A A. y e. ( B u. C ) x <s y ) ) )
26	7, 24, 25	sylanbrc 698	1 |- ( ( A < <s B /\ A < <s C ) -> A < <s ( B u. C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   u. cun 3572   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   Nocsur 31793   <scslt 31794   < <scsslt 31896

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-xp 5120  df-sslt 31897

This theorem is referenced by:  scutun12  31917