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Theorem scutun12 31917
Description: Union law for surreal cuts. (Contributed by Scott Fenton, 9-Dec-2021.)
Assertion
Ref Expression
scutun12 |- ( ( A < <s B /\ C < <s { ( A |s B ) } /\ { ( A |s B ) } < <s D ) -> ( ( A u. C ) |s ( B u. D ) ) = ( A |s B ) )
Proof of Theorem scutun12
Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1061 . . . . . . 7 |- ( ( A < <s B /\ C < <s { ( A |s B ) } /\ { ( A |s B ) } < <s D ) -> A < <s B )
2 scutcut 31912 . . . . . . 7 |- ( A < <s B -> ( ( A |s B ) e. No /\ A < <s { ( A |s B ) } /\ { ( A |s B ) } < <s B ) )
31, 2syl 17 . . . . . 6 |- ( ( A < <s B /\ C < <s { ( A |s B ) } /\ { ( A |s B ) } < <s D ) -> ( ( A |s B ) e. No /\ A < <s { ( A |s B ) } /\ { ( A |s B ) } < <s B ) )
43simp2d 1074 . . . . 5 |- ( ( A < <s B /\ C < <s { ( A |s B ) } /\ { ( A |s B ) } < <s D ) -> A < <s { ( A |s B ) } )
5 simp2 1062 . . . . 5 |- ( ( A < <s B /\ C < <s { ( A |s B ) } /\ { ( A |s B ) } < <s D ) -> C < <s { ( A |s B ) } )
6 ssltun1 31915 . . . . 5 |- ( ( A < <s { ( A |s B ) } /\ C < <s { ( A |s B ) } ) -> ( A u. C ) < <s { ( A |s B ) } )
74, 5, 6syl2anc 693 . . . 4 |- ( ( A < <s B /\ C < <s { ( A |s B ) } /\ { ( A |s B ) } < <s D ) -> ( A u. C ) < <s { ( A |s B ) } )
83simp3d 1075 . . . . 5 |- ( ( A < <s B /\ C < <s { ( A |s B ) } /\ { ( A |s B ) } < <s D ) -> { ( A |s B ) } < <s B )
9 simp3 1063 . . . . 5 |- ( ( A < <s B /\ C < <s { ( A |s B ) } /\ { ( A |s B ) } < <s D ) -> { ( A |s B ) } < <s D )
10 ssltun2 31916 . . . . 5 |- ( ( { ( A |s B ) } < <s B /\ { ( A |s B ) } < <s D ) -> { ( A |s B ) } < <s ( B u. D ) )
118, 9, 10syl2anc 693 . . . 4 |- ( ( A < <s B /\ C < <s { ( A |s B ) } /\ { ( A |s B ) } < <s D ) -> { ( A |s B ) } < <s ( B u. D ) )
12 ovex 6678 . . . . . 6 |- ( A |s B ) e. _V
1312snnz 4309 . . . . 5 |- { ( A |s B ) } =/= (/)
14 sslttr 31914 . . . . 5 |- ( ( ( A u. C ) < <s { ( A |s B ) } /\ { ( A |s B ) } < <s ( B u. D ) /\ { ( A |s B ) } =/= (/) ) -> ( A u. C ) < <s ( B u. D ) )
1513, 14mp3an3 1413 . . . 4 |- ( ( ( A u. C ) < <s { ( A |s B ) } /\ { ( A |s B ) } < <s ( B u. D ) ) -> ( A u. C ) < <s ( B u. D ) )
167, 11, 15syl2anc 693 . . 3 |- ( ( A < <s B /\ C < <s { ( A |s B ) } /\ { ( A |s B ) } < <s D ) -> ( A u. C ) < <s ( B u. D ) )
17 scutval 31911 . . 3 |- ( ( A u. C ) < <s ( B u. D ) -> ( ( A u. C ) |s ( B u. D ) ) = ( iota_ x e. { y e. No | ( ( A u. C ) < <s { y } /\ { y } < <s ( B u. D ) ) } ( bday ` x ) = |^| ( bday " { y e. No | ( ( A u. C ) < <s { y } /\ { y } < <s ( B u. D ) ) } ) ) )
1816, 17syl 17 . 2 |- ( ( A < <s B /\ C < <s { ( A |s B ) } /\ { ( A |s B ) } < <s D ) -> ( ( A u. C ) |s ( B u. D ) ) = ( iota_ x e. { y e. No | ( ( A u. C ) < <s { y } /\ { y } < <s ( B u. D ) ) } ( bday ` x ) = |^| ( bday " { y e. No | ( ( A u. C ) < <s { y } /\ { y } < <s ( B u. D ) ) } ) ) )
19 vex 3203 . . . . . . . . . 10 |- x e. _V
2019elima 5471 . . . . . . . . 9 |- ( x e. ( bday " { y e. No | ( ( A u. C ) < <s { y } /\ { y } < <s ( B u. D ) ) } ) <-> E. z e. { y e. No | ( ( A u. C ) < <s { y } /\ { y } < <s ( B u. D ) ) } z bday x )
21 sneq 4187 . . . . . . . . . . . 12 |- ( y = z -> { y } = { z } )
2221breq2d 4665 . . . . . . . . . . 11 |- ( y = z -> ( ( A u. C ) < <s { y } <-> ( A u. C ) < <s { z } ) )
2321breq1d 4663 . . . . . . . . . . 11 |- ( y = z -> ( { y } < <s ( B u. D ) <-> { z } < <s ( B u. D ) ) )
2422, 23anbi12d 747 . . . . . . . . . 10 |- ( y = z -> ( ( ( A u. C ) < <s { y } /\ { y } < <s ( B u. D ) ) <-> ( ( A u. C ) < <s { z } /\ { z } < <s ( B u. D ) ) ) )
2524rexrab 3370 . . . . . . . . 9 |- ( E. z e. { y e. No | ( ( A u. C ) < <s { y } /\ { y } < <s ( B u. D ) ) } z bday x <-> E. z e. No ( ( ( A u. C ) < <s { z } /\ { z } < <s ( B u. D ) ) /\ z bday x ) )
2620, 25bitri 264 . . . . . . . 8 |- ( x e. ( bday " { y e. No | ( ( A u. C ) < <s { y } /\ { y } < <s ( B u. D ) ) } ) <-> E. z e. No ( ( ( A u. C ) < <s { z } /\ { z } < <s ( B u. D ) ) /\ z bday x ) )
27 simplr 792 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A < <s B /\ C < <s { ( A |s B ) } /\ { ( A |s B ) } < <s D ) /\ z e. No ) /\ ( ( A u. C ) < <s { z } /\ { z } < <s ( B u. D ) ) ) -> z e. No )
28 bdayfn 31889 . . . . . . . . . . . . . 14 |- bday Fn No
29 fnbrfvb 6236 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( bday Fn No /\ z e. No ) -> ( ( bday ` z ) = x <-> z bday x ) )
3028, 29mpan 706 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. No -> ( ( bday ` z ) = x <-> z bday x ) )
3127, 30syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A < <s B /\ C < <s { ( A |s B ) } /\ { ( A |s B ) } < <s D ) /\ z e. No ) /\ ( ( A u. C ) < <s { z } /\ { z } < <s ( B u. D ) ) ) -> ( ( bday ` z ) = x <-> z bday x ) )
32 simpll1 1100 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A < <s B /\ C < <s { ( A |s B ) } /\ { ( A |s B ) } < <s D ) /\ z e. No ) /\ ( ( A u. C ) < <s { z } /\ { z } < <s ( B u. D ) ) ) -> A < <s B )
33 scutbday 31913 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A < <s B -> ( bday ` ( A |s B ) ) = |^| ( bday " { y e. No | ( A < <s { y } /\ { y } < <s B ) } ) )
3432, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A < <s B /\ C < <s { ( A |s B ) } /\ { ( A |s B ) } < <s D ) /\ z e. No ) /\ ( ( A u. C ) < <s { z } /\ { z } < <s ( B u. D ) ) ) -> ( bday ` ( A |s B ) ) = |^| ( bday " { y e. No | ( A < <s { y } /\ { y } < <s B ) } ) )
35 simprl 794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( A < <s B /\ C < <s { ( A |s B ) } /\ { ( A |s B ) } < <s D ) /\ z e. No ) /\ ( ( A u. C ) < <s { z } /\ { z } < <s ( B u. D ) ) ) -> ( A u. C ) < <s { z } )
36 ssun1 3776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- A C_ ( A u. C )
37 sssslt1 31906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( A u. C ) < <s { z } /\ A C_ ( A u. C ) ) -> A < <s { z } )
3836, 37mpan2 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A u. C ) < <s { z } -> A < <s { z } )
3935, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( A < <s B /\ C < <s { ( A |s B ) } /\ { ( A |s B ) } < <s D ) /\ z e. No ) /\ ( ( A u. C ) < <s { z } /\ { z } < <s ( B u. D ) ) ) -> A < <s { z } )
40 simprr 796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( A < <s B /\ C < <s { ( A |s B ) } /\ { ( A |s B ) } < <s D ) /\ z e. No ) /\ ( ( A u. C ) < <s { z } /\ { z } < <s ( B u. D ) ) ) -> { z } < <s ( B u. D ) )
41 ssun1 3776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- B C_ ( B u. D )
42 sssslt2 31907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( { z } < <s ( B u. D ) /\ B C_ ( B u. D ) ) -> { z } < <s B )
4341, 42mpan2 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( { z } < <s ( B u. D ) -> { z } < <s B )
4440, 43syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( A < <s B /\ C < <s { ( A |s B ) } /\ { ( A |s B ) } < <s D ) /\ z e. No ) /\ ( ( A u. C ) < <s { z } /\ { z } < <s ( B u. D ) ) ) -> { z } < <s B )
4539, 44jca 554 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A < <s B /\ C < <s { ( A |s B ) } /\ { ( A |s B ) } < <s D ) /\ z e. No ) /\ ( ( A u. C ) < <s { z } /\ { z } < <s ( B u. D ) ) ) -> ( A < <s { z } /\ { z } < <s B ) )
4621breq2d 4665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = z -> ( A < <s { y } <-> A < <s { z } ) )
4721breq1d 4663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = z -> ( { y } < <s B <-> { z } < <s B ) )
4846, 47anbi12d 747 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = z -> ( ( A < <s { y } /\ { y } < <s B ) <-> ( A < <s { z } /\ { z } < <s B ) ) )
4948elrab 3363 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z e. { y e. No | ( A < <s { y } /\ { y } < <s B ) } <-> ( z e. No /\ ( A < <s { z } /\ { z } < <s B ) ) )
5027, 45, 49sylanbrc 698 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A < <s B /\ C < <s { ( A |s B ) } /\ { ( A |s B ) } < <s D ) /\ z e. No ) /\ ( ( A u. C ) < <s { z } /\ { z } < <s ( B u. D ) ) ) -> z e. { y e. No | ( A < <s { y } /\ { y } < <s B ) } )
51 ssrab2 3687 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- { y e. No | ( A < <s { y } /\ { y } < <s B ) } C_ No
52 fnfvima 6496 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( bday Fn No /\ { y e. No | ( A < <s { y } /\ { y } < <s B ) } C_ No /\ z e. { y e. No | ( A < <s { y } /\ { y } < <s B ) } ) -> ( bday ` z ) e. ( bday " { y e. No | ( A < <s { y } /\ { y } < <s B ) } ) )
5328, 51, 52mp3an12 1414 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z e. { y e. No | ( A < <s { y } /\ { y } < <s B ) } -> ( bday ` z ) e. ( bday " { y e. No | ( A < <s { y } /\ { y } < <s B ) } ) )
5450, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A < <s B /\ C < <s { ( A |s B ) } /\ { ( A |s B ) } < <s D ) /\ z e. No ) /\ ( ( A u. C ) < <s { z } /\ { z } < <s ( B u. D ) ) ) -> ( bday ` z ) e. ( bday " { y e. No | ( A < <s { y } /\ { y } < <s B ) } ) )
55 intss1 4492 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( bday ` z ) e. ( bday " { y e. No | ( A < <s { y } /\ { y } < <s B ) } ) -> |^| ( bday " { y e. No | ( A < <s { y } /\ { y } < <s B ) } ) C_ ( bday ` z ) )
5654, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A < <s B /\ C < <s { ( A |s B ) } /\ { ( A |s B ) } < <s D ) /\ z e. No ) /\ ( ( A u. C ) < <s { z } /\ { z } < <s ( B u. D ) ) ) -> |^| ( bday " { y e. No | ( A < <s { y } /\ { y } < <s B ) } ) C_ ( bday ` z ) )
5734, 56eqsstrd 3639 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A < <s B /\ C < <s { ( A |s B ) } /\ { ( A |s B ) } < <s D ) /\ z e. No ) /\ ( ( A u. C ) < <s { z } /\ { z } < <s ( B u. D ) ) ) -> ( bday ` ( A |s B ) ) C_ ( bday ` z ) )
58 sseq2 3627 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( bday ` z ) = x -> ( ( bday ` ( A |s B ) ) C_ ( bday ` z ) <-> ( bday ` ( A |s B ) ) C_ x ) )
5958biimpd 219 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( bday ` z ) = x -> ( ( bday ` ( A |s B ) ) C_ ( bday ` z ) -> ( bday ` ( A |s B ) ) C_ x ) )
6059com12 32 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( bday ` ( A |s B ) ) C_ ( bday ` z ) -> ( ( bday ` z ) = x -> ( bday ` ( A |s B ) ) C_ x ) )
6157, 60syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A < <s B /\ C < <s { ( A |s B ) } /\ { ( A |s B ) } < <s D ) /\ z e. No ) /\ ( ( A u. C ) < <s { z } /\ { z } < <s ( B u. D ) ) ) -> ( ( bday ` z ) = x -> ( bday ` ( A |s B ) ) C_ x ) )
6231, 61sylbird 250 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A < <s B /\ C < <s { ( A |s B ) } /\ { ( A |s B ) } < <s D ) /\ z e. No ) /\ ( ( A u. C ) < <s { z } /\ { z } < <s ( B u. D ) ) ) -> ( z bday x -> ( bday ` ( A |s B ) ) C_ x ) )
6362ex 450 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A < <s B /\ C < <s { ( A |s B ) } /\ { ( A |s B ) } < <s D ) /\ z e. No ) -> ( ( ( A u. C ) < <s { z } /\ { z } < <s ( B u. D ) ) -> ( z bday x -> ( bday ` ( A |s B ) ) C_ x ) ) )
6463impd 447 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A < <s B /\ C < <s { ( A |s B ) } /\ { ( A |s B ) } < <s D ) /\ z e. No ) -> ( ( ( ( A u. C ) < <s { z } /\ { z } < <s ( B u. D ) ) /\ z bday x ) -> ( bday ` ( A |s B ) ) C_ x ) )
6564rexlimdva 3031 . . . . . . . 8 |- ( ( A < <s B /\ C < <s { ( A |s B ) } /\ { ( A |s B ) } < <s D ) -> ( E. z e. No ( ( ( A u. C ) < <s { z } /\ { z } < <s ( B u. D ) ) /\ z bday x ) -> ( bday ` ( A |s B ) ) C_ x ) )
6626, 65syl5bi 232 . . . . . . 7 |- ( ( A < <s B /\ C < <s { ( A |s B ) } /\ { ( A |s B ) } < <s D ) -> ( x e. ( bday " { y e. No | ( ( A u. C ) < <s { y } /\ { y } < <s ( B u. D ) ) } ) -> ( bday ` ( A |s B ) ) C_ x ) )
6766ralrimiv 2965 . . . . . 6 |- ( ( A < <s B /\ C < <s { ( A |s B ) } /\ { ( A |s B ) } < <s D ) -> A. x e. ( bday " { y e. No | ( ( A u. C ) < <s { y } /\ { y } < <s ( B u. D ) ) } ) ( bday ` ( A |s B ) ) C_ x )
68 ssint 4493 . . . . . 6 |- ( ( bday ` ( A |s B ) ) C_ |^| ( bday " { y e. No | ( ( A u. C ) < <s { y } /\ { y } < <s ( B u. D ) ) } ) <-> A. x e. ( bday " { y e. No | ( ( A u. C ) < <s { y } /\ { y } < <s ( B u. D ) ) } ) ( bday ` ( A |s B ) ) C_ x )
6967, 68sylibr 224 . . . . 5 |- ( ( A < <s B /\ C < <s { ( A |s B ) } /\ { ( A |s B ) } < <s D ) -> ( bday ` ( A |s B ) ) C_ |^| ( bday " { y e. No | ( ( A u. C ) < <s { y } /\ { y } < <s ( B u. D ) ) } ) )
703simp1d 1073 . . . . . . . 8 |- ( ( A < <s B /\ C < <s { ( A |s B ) } /\ { ( A |s B ) } < <s D ) -> ( A |s B ) e. No )
717, 11jca 554 . . . . . . . 8 |- ( ( A < <s B /\ C < <s { ( A |s B ) } /\ { ( A |s B ) } < <s D ) -> ( ( A u. C ) < <s { ( A |s B ) } /\ { ( A |s B ) } < <s ( B u. D ) ) )
72 sneq 4187 . . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( A |s B ) -> { y } = { ( A |s B ) } )
7372breq2d 4665 . . . . . . . . . 10 |- ( y = ( A |s B ) -> ( ( A u. C ) < <s { y } <-> ( A u. C ) < <s { ( A |s B ) } ) )
7472breq1d 4663 . . . . . . . . . 10 |- ( y = ( A |s B ) -> ( { y } < <s ( B u. D ) <-> { ( A |s B ) } < <s ( B u. D ) ) )
7573, 74anbi12d 747 . . . . . . . . 9 |- ( y = ( A |s B ) -> ( ( ( A u. C ) < <s { y } /\ { y } < <s ( B u. D ) ) <-> ( ( A u. C ) < <s { ( A |s B ) } /\ { ( A |s B ) } < <s ( B u. D ) ) ) )
7675elrab 3363 . . . . . . . 8 |- ( ( A |s B ) e. { y e. No | ( ( A u. C ) < <s { y } /\ { y } < <s ( B u. D ) ) } <-> ( ( A |s B ) e. No /\ ( ( A u. C ) < <s { ( A |s B ) } /\ { ( A |s B ) } < <s ( B u. D ) ) ) )
7770, 71, 76sylanbrc 698 . . . . . . 7 |- ( ( A < <s B /\ C < <s { ( A |s B ) } /\ { ( A |s B ) } < <s D ) -> ( A |s B ) e. { y e. No | ( ( A u. C ) < <s { y } /\ { y } < <s ( B u. D ) ) } )
78 ssrab2 3687 . . . . . . . 8 |- { y e. No | ( ( A u. C ) < <s { y } /\ { y } < <s ( B u. D ) ) } C_ No
79 fnfvima 6496 . . . . . . . 8 |- ( ( bday Fn No /\ { y e. No | ( ( A u. C ) < <s { y } /\ { y } < <s ( B u. D ) ) } C_ No /\ ( A |s B ) e. { y e. No | ( ( A u. C ) < <s { y } /\ { y } < <s ( B u. D ) ) } ) -> ( bday ` ( A |s B ) ) e. ( bday " { y e. No | ( ( A u. C ) < <s { y } /\ { y } < <s ( B u. D ) ) } ) )
8028, 78, 79mp3an12 1414 . . . . . . 7 |- ( ( A |s B ) e. { y e. No | ( ( A u. C ) < <s { y } /\ { y } < <s ( B u. D ) ) } -> ( bday ` ( A |s B ) ) e. ( bday " { y e. No | ( ( A u. C ) < <s { y } /\ { y } < <s ( B u. D ) ) } ) )
8177, 80syl 17 . . . . . 6 |- ( ( A < <s B /\ C < <s { ( A |s B ) } /\ { ( A |s B ) } < <s D ) -> ( bday ` ( A |s B ) ) e. ( bday " { y e. No | ( ( A u. C ) < <s { y } /\ { y } < <s ( B u. D ) ) } ) )
82 intss1 4492 . . . . . 6 |- ( ( bday ` ( A |s B ) ) e. ( bday " { y e. No | ( ( A u. C ) < <s { y } /\ { y } < <s ( B u. D ) ) } ) -> |^| ( bday " { y e. No | ( ( A u. C ) < <s { y } /\ { y } < <s ( B u. D ) ) } ) C_ ( bday ` ( A |s B ) ) )
8381, 82syl 17 . . . . 5 |- ( ( A < <s B /\ C < <s { ( A |s B ) } /\ { ( A |s B ) } < <s D ) -> |^| ( bday " { y e. No | ( ( A u. C ) < <s { y } /\ { y } < <s ( B u. D ) ) } ) C_ ( bday ` ( A |s B ) ) )
8469, 83eqssd 3620 . . . 4 |- ( ( A < <s B /\ C < <s { ( A |s B ) } /\ { ( A |s B ) } < <s D ) -> ( bday ` ( A |s B ) ) = |^| ( bday " { y e. No | ( ( A u. C ) < <s { y } /\ { y } < <s ( B u. D ) ) } ) )
85 conway 31910 . . . . . 6 |- ( ( A u. C ) < <s ( B u. D ) -> E! x e. { y e. No | ( ( A u. C ) < <s { y } /\ { y } < <s ( B u. D ) ) } ( bday ` x ) = |^| ( bday " { y e. No | ( ( A u. C ) < <s { y } /\ { y } < <s ( B u. D ) ) } ) )
8616, 85syl 17 . . . . 5 |- ( ( A < <s B /\ C < <s { ( A |s B ) } /\ { ( A |s B ) } < <s D ) -> E! x e. { y e. No | ( ( A u. C ) < <s { y } /\ { y } < <s ( B u. D ) ) } ( bday ` x ) = |^| ( bday " { y e. No | ( ( A u. C ) < <s { y } /\ { y } < <s ( B u. D ) ) } ) )
87 fveq2 6191 . . . . . . 7 |- ( x = ( A |s B ) -> ( bday ` x ) = ( bday ` ( A |s B ) ) )
8887eqeq1d 2624 . . . . . 6 |- ( x = ( A |s B ) -> ( ( bday ` x ) = |^| ( bday " { y e. No | ( ( A u. C ) < <s { y } /\ { y } < <s ( B u. D ) ) } ) <-> ( bday ` ( A |s B ) ) = |^| ( bday " { y e. No | ( ( A u. C ) < <s { y } /\ { y } < <s ( B u. D ) ) } ) ) )
8988riota2 6633 . . . . 5 |- ( ( ( A |s B ) e. { y e. No | ( ( A u. C ) < <s { y } /\ { y } < <s ( B u. D ) ) } /\ E! x e. { y e. No | ( ( A u. C ) < <s { y } /\ { y } < <s ( B u. D ) ) } ( bday ` x ) = |^| ( bday " { y e. No | ( ( A u. C ) < <s { y } /\ { y } < <s ( B u. D ) ) } ) ) -> ( ( bday ` ( A |s B ) ) = |^| ( bday " { y e. No | ( ( A u. C ) < <s { y } /\ { y } < <s ( B u. D ) ) } ) <-> ( iota_ x e. { y e. No | ( ( A u. C ) < <s { y } /\ { y } < <s ( B u. D ) ) } ( bday ` x ) = |^| ( bday " { y e. No | ( ( A u. C ) < <s { y } /\ { y } < <s ( B u. D ) ) } ) ) = ( A |s B ) ) )
9077, 86, 89syl2anc 693 . . . 4 |- ( ( A < <s B /\ C < <s { ( A |s B ) } /\ { ( A |s B ) } < <s D ) -> ( ( bday ` ( A |s B ) ) = |^| ( bday " { y e. No | ( ( A u. C ) < <s { y } /\ { y } < <s ( B u. D ) ) } ) <-> ( iota_ x e. { y e. No | ( ( A u. C ) < <s { y } /\ { y } < <s ( B u. D ) ) } ( bday ` x ) = |^| ( bday " { y e. No | ( ( A u. C ) < <s { y } /\ { y } < <s ( B u. D ) ) } ) ) = ( A |s B ) ) )
9184, 90mpbid 222 . . 3 |- ( ( A < <s B /\ C < <s { ( A |s B ) } /\ { ( A |s B ) } < <s D ) -> ( iota_ x e. { y e. No | ( ( A u. C ) < <s { y } /\ { y } < <s ( B u. D ) ) } ( bday ` x ) = |^| ( bday " { y e. No | ( ( A u. C ) < <s { y } /\ { y } < <s ( B u. D ) ) } ) ) = ( A |s B ) )
9291eqcomd 2628 . 2 |- ( ( A < <s B /\ C < <s { ( A |s B ) } /\ { ( A |s B ) } < <s D ) -> ( A |s B ) = ( iota_ x e. { y e. No | ( ( A u. C ) < <s { y } /\ { y } < <s ( B u. D ) ) } ( bday ` x ) = |^| ( bday " { y e. No | ( ( A u. C ) < <s { y } /\ { y } < <s ( B u. D ) ) } ) ) )
9318, 92eqtr4d 2659 1 |- ( ( A < <s B /\ C < <s { ( A |s B ) } /\ { ( A |s B ) } < <s D ) -> ( ( A u. C ) |s ( B u. D ) ) = ( A |s B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   E!wreu 2914   {crab 2916   u. cun 3572   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   |^|cint 4475   class class class wbr 4653   "cima 5117   Fn wfn 5883   ` cfv 5888   iota_crio 6610  (class class class)co 6650   Nocsur 31793   bdaycbday 31795   < <scsslt 31896   |scscut 31898
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1o 7560  df-2o 7561  df-no 31796  df-slt 31797  df-bday 31798  df-sslt 31897  df-scut 31899
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