Theorem sucneqond 33213

Description: Inequality of an ordinal set with its successor. Does not use the axiom of regularity. (Contributed by ML, 18-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sucneqond.1	|- ( ph -> X = suc Y )
sucneqond.2	|- ( ph -> Y e. On )

Assertion

Ref	Expression
sucneqond	|- ( ph -> X =/= Y )

Proof of Theorem sucneqond

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sucneqond.2	. . . . 5 |- ( ph -> Y e. On )
2		sucidg 5803	. . . . 5 |- ( Y e. On -> Y e. suc Y )
3	1, 2	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> Y e. suc Y )
4		sucneqond.1	. . . 4 |- ( ph -> X = suc Y )
5	3, 4	eleqtrrd 2704	. . 3 |- ( ph -> Y e. X )
6		suceloni 7013	. . . . . . . 8 |- ( Y e. On -> suc Y e. On )
7	1, 6	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> suc Y e. On )
8	4, 7	eqeltrd 2701	. . . . . 6 |- ( ph -> X e. On )
9		eloni 5733	. . . . . 6 |- ( X e. On -> Ord X )
10	8, 9	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> Ord X )
11		ordirr 5741	. . . . 5 |- ( Ord X -> -. X e. X )
12	10, 11	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> -. X e. X )
13		eleq1 2689	. . . . . 6 |- ( X = Y -> ( X e. X <-> Y e. X ) )
14	13	biimprd 238	. . . . 5 |- ( X = Y -> ( Y e. X -> X e. X ) )
15	14	con3d 148	. . . 4 |- ( X = Y -> ( -. X e. X -> -. Y e. X ) )
16	12, 15	syl5com 31	. . 3 |- ( ph -> ( X = Y -> -. Y e. X ) )
17	5, 16	mt2d 131	. 2 |- ( ph -> -. X = Y )
18	17	neqned 2801	1 |- ( ph -> X =/= Y )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   Ord word 5722   Oncon0 5723   suc csuc 5725

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-tr 4753  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-ord 5726  df-on 5727  df-suc 5729

This theorem is referenced by:  sucneqoni  33214