Theorem suppssov1 7327

Description: Formula building theorem for support restrictions: operator with left annihilator. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.) (Revised by AV, 28-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
suppssov1.s	|- ( ph -> ( ( x e. D |-> A ) supp Y ) C_ L )
suppssov1.o	|- ( ( ph /\ v e. R ) -> ( Y O v ) = Z )
suppssov1.a	|- ( ( ph /\ x e. D ) -> A e. V )
suppssov1.b	|- ( ( ph /\ x e. D ) -> B e. R )
suppssov1.y	|- ( ph -> Y e. W )

Assertion

Ref	Expression
suppssov1	|- ( ph -> ( ( x e. D |-> ( A O B ) ) supp Z ) C_ L )

Distinct variable groups:   ph, v   ph, x   v, B   x, D   v, O   v, R   v, Y   x, Y   v, Z   x, Z

Allowed substitution hints:   A( x, v)   B( x)   D( v)   R( x)   L( x, v)   O( x)   V( x, v)   W( x, v)

Proof of Theorem suppssov1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suppssov1.a	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> A e. V )
2		elex 3212	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. V -> A e. _V )
3	1, 2	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> A e. _V )
4	3	adantll 750	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( D e. _V /\ Z e. _V ) /\ ph ) /\ x e. D ) -> A e. _V )
5	4	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( D e. _V /\ Z e. _V ) /\ ph ) /\ x e. D ) /\ ( A O B ) e. ( _V \ { Z } ) ) -> A e. _V )
6		eldifsni 4320	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A O B ) e. ( _V \ { Z } ) -> ( A O B ) =/= Z )
7		suppssov1.b	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> B e. R )
8	7	adantll 750	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( D e. _V /\ Z e. _V ) /\ ph ) /\ x e. D ) -> B e. R )
9		suppssov1.o	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ v e. R ) -> ( Y O v ) = Z )
10	9	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A. v e. R ( Y O v ) = Z )
11	10	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( D e. _V /\ Z e. _V ) /\ ph ) -> A. v e. R ( Y O v ) = Z )
12	11	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( D e. _V /\ Z e. _V ) /\ ph ) /\ x e. D ) -> A. v e. R ( Y O v ) = Z )
13		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( v = B -> ( Y O v ) = ( Y O B ) )
14	13	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( v = B -> ( ( Y O v ) = Z <-> ( Y O B ) = Z ) )
15	14	rspcva 3307	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B e. R /\ A. v e. R ( Y O v ) = Z ) -> ( Y O B ) = Z )
16	8, 12, 15	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( D e. _V /\ Z e. _V ) /\ ph ) /\ x e. D ) -> ( Y O B ) = Z )
17		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A = Y -> ( A O B ) = ( Y O B ) )
18	17	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A = Y -> ( ( A O B ) = Z <-> ( Y O B ) = Z ) )
19	16, 18	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( D e. _V /\ Z e. _V ) /\ ph ) /\ x e. D ) -> ( A = Y -> ( A O B ) = Z ) )
20	19	necon3d 2815	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( D e. _V /\ Z e. _V ) /\ ph ) /\ x e. D ) -> ( ( A O B ) =/= Z -> A =/= Y ) )
21	6, 20	syl5 34	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( D e. _V /\ Z e. _V ) /\ ph ) /\ x e. D ) -> ( ( A O B ) e. ( _V \ { Z } ) -> A =/= Y ) )
22	21	imp 445	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( D e. _V /\ Z e. _V ) /\ ph ) /\ x e. D ) /\ ( A O B ) e. ( _V \ { Z } ) ) -> A =/= Y )
23		eldifsn 4317	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( _V \ { Y } ) <-> ( A e. _V /\ A =/= Y ) )
24	5, 22, 23	sylanbrc 698	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( D e. _V /\ Z e. _V ) /\ ph ) /\ x e. D ) /\ ( A O B ) e. ( _V \ { Z } ) ) -> A e. ( _V \ { Y } ) )
25	24	ex 450	. . . . . 6 |- ( ( ( ( D e. _V /\ Z e. _V ) /\ ph ) /\ x e. D ) -> ( ( A O B ) e. ( _V \ { Z } ) -> A e. ( _V \ { Y } ) ) )
26	25	ss2rabdv 3683	. . . . 5 |- ( ( ( D e. _V /\ Z e. _V ) /\ ph ) -> { x e. D | ( A O B ) e. ( _V \ { Z } ) } C_ { x e. D | A e. ( _V \ { Y } ) } )
27		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( x e. D |-> ( A O B ) ) = ( x e. D |-> ( A O B ) )
28		simpll 790	. . . . . 6 |- ( ( ( D e. _V /\ Z e. _V ) /\ ph ) -> D e. _V )
29		simplr 792	. . . . . 6 |- ( ( ( D e. _V /\ Z e. _V ) /\ ph ) -> Z e. _V )
30	27, 28, 29	mptsuppdifd 7317	. . . . 5 |- ( ( ( D e. _V /\ Z e. _V ) /\ ph ) -> ( ( x e. D |-> ( A O B ) ) supp Z ) = { x e. D | ( A O B ) e. ( _V \ { Z } ) } )
31		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( x e. D |-> A ) = ( x e. D |-> A )
32		suppssov1.y	. . . . . . 7 |- ( ph -> Y e. W )
33	32	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ( D e. _V /\ Z e. _V ) /\ ph ) -> Y e. W )
34	31, 28, 33	mptsuppdifd 7317	. . . . 5 |- ( ( ( D e. _V /\ Z e. _V ) /\ ph ) -> ( ( x e. D |-> A ) supp Y ) = { x e. D | A e. ( _V \ { Y } ) } )
35	26, 30, 34	3sstr4d 3648	. . . 4 |- ( ( ( D e. _V /\ Z e. _V ) /\ ph ) -> ( ( x e. D |-> ( A O B ) ) supp Z ) C_ ( ( x e. D |-> A ) supp Y ) )
36		suppssov1.s	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( x e. D |-> A ) supp Y ) C_ L )
37	36	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ( D e. _V /\ Z e. _V ) /\ ph ) -> ( ( x e. D |-> A ) supp Y ) C_ L )
38	35, 37	sstrd 3613	. . 3 |- ( ( ( D e. _V /\ Z e. _V ) /\ ph ) -> ( ( x e. D |-> ( A O B ) ) supp Z ) C_ L )
39	38	ex 450	. 2 |- ( ( D e. _V /\ Z e. _V ) -> ( ph -> ( ( x e. D |-> ( A O B ) ) supp Z ) C_ L ) )
40		mptexg 6484	. . . . . . 7 |- ( D e. _V -> ( x e. D |-> ( A O B ) ) e. _V )
41		ovex 6678	. . . . . . . . . 10 |- ( A O B ) e. _V
42	41	rgenw 2924	. . . . . . . . 9 |- A. x e. D ( A O B ) e. _V
43		dmmptg 5632	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. D ( A O B ) e. _V -> dom ( x e. D |-> ( A O B ) ) = D )
44	42, 43	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- dom ( x e. D |-> ( A O B ) ) = D
45		dmexg 7097	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. D |-> ( A O B ) ) e. _V -> dom ( x e. D |-> ( A O B ) ) e. _V )
46	44, 45	syl5eqelr 2706	. . . . . . 7 |- ( ( x e. D |-> ( A O B ) ) e. _V -> D e. _V )
47	40, 46	impbii 199	. . . . . 6 |- ( D e. _V <-> ( x e. D |-> ( A O B ) ) e. _V )
48	47	anbi1i 731	. . . . 5 |- ( ( D e. _V /\ Z e. _V ) <-> ( ( x e. D |-> ( A O B ) ) e. _V /\ Z e. _V ) )
49		supp0prc 7298	. . . . 5 |- ( -. ( ( x e. D |-> ( A O B ) ) e. _V /\ Z e. _V ) -> ( ( x e. D |-> ( A O B ) ) supp Z ) = (/) )
50	48, 49	sylnbi 320	. . . 4 |- ( -. ( D e. _V /\ Z e. _V ) -> ( ( x e. D |-> ( A O B ) ) supp Z ) = (/) )
51		0ss 3972	. . . 4 |- (/) C_ L
52	50, 51	syl6eqss 3655	. . 3 |- ( -. ( D e. _V /\ Z e. _V ) -> ( ( x e. D |-> ( A O B ) ) supp Z ) C_ L )
53	52	a1d 25	. 2 |- ( -. ( D e. _V /\ Z e. _V ) -> ( ph -> ( ( x e. D |-> ( A O B ) ) supp Z ) C_ L ) )
54	39, 53	pm2.61i 176	1 |- ( ph -> ( ( x e. D |-> ( A O B ) ) supp Z ) C_ L )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114  (class class class)co 6650   supp csupp 7295

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-supp 7296

This theorem is referenced by:  suppssof1  7328  evlslem6  19513  plypf1  23968