Theorem tmdcn2 21893

Description: Write out the definition of continuity of +g explicitly. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tmdcn2.1	|- B = ( Base ` G )
tmdcn2.2	|- J = ( TopOpen ` G )
tmdcn2.3	|- .+ = ( +g ` G )

Assertion

Ref	Expression
tmdcn2	|- ( ( ( G e. TopMnd /\ U e. J ) /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( X .+ Y ) e. U ) ) -> E. u e. J E. v e. J ( X e. u /\ Y e. v /\ A. x e. u A. y e. v ( x .+ y ) e. U ) )

Distinct variable groups:   v, u, x, y, G   u, J, v   u, U, v, x, y   u, X, v   u, Y, v

Allowed substitution hints:   B( x, y, v, u)   .+ ( x, y, v, u)   J( x, y)   X( x, y)   Y( x, y)

Proof of Theorem tmdcn2

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tmdcn2.2	. . . . 5 |- J = ( TopOpen ` G )
2		tmdcn2.1	. . . . 5 |- B = ( Base ` G )
3	1, 2	tmdtopon 21885	. . . 4 |- ( G e. TopMnd -> J e. (TopOn ` B ) )
4	3	ad2antrr 762	. . 3 |- ( ( ( G e. TopMnd /\ U e. J ) /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( X .+ Y ) e. U ) ) -> J e. (TopOn ` B ) )
5		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( +f ` G ) = ( +f ` G )
6	1, 5	tmdcn 21887	. . . . 5 |- ( G e. TopMnd -> ( +f ` G ) e. ( ( J tX J ) Cn J ) )
7	6	ad2antrr 762	. . . 4 |- ( ( ( G e. TopMnd /\ U e. J ) /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( X .+ Y ) e. U ) ) -> ( +f ` G ) e. ( ( J tX J ) Cn J ) )
8		simpr1 1067	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. TopMnd /\ U e. J ) /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( X .+ Y ) e. U ) ) -> X e. B )
9		simpr2 1068	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. TopMnd /\ U e. J ) /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( X .+ Y ) e. U ) ) -> Y e. B )
10		opelxpi 5148	. . . . . 6 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> <. X , Y >. e. ( B X. B ) )
11	8, 9, 10	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ( G e. TopMnd /\ U e. J ) /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( X .+ Y ) e. U ) ) -> <. X , Y >. e. ( B X. B ) )
12		txtopon 21394	. . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` B ) /\ J e. (TopOn ` B ) ) -> ( J tX J ) e. (TopOn ` ( B X. B ) ) )
13	4, 4, 12	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. TopMnd /\ U e. J ) /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( X .+ Y ) e. U ) ) -> ( J tX J ) e. (TopOn ` ( B X. B ) ) )
14		toponuni 20719	. . . . . 6 |- ( ( J tX J ) e. (TopOn ` ( B X. B ) ) -> ( B X. B ) = U. ( J tX J ) )
15	13, 14	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( G e. TopMnd /\ U e. J ) /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( X .+ Y ) e. U ) ) -> ( B X. B ) = U. ( J tX J ) )
16	11, 15	eleqtrd 2703	. . . 4 |- ( ( ( G e. TopMnd /\ U e. J ) /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( X .+ Y ) e. U ) ) -> <. X , Y >. e. U. ( J tX J ) )
17		eqid 2622	. . . . 5 |- U. ( J tX J ) = U. ( J tX J )
18	17	cncnpi 21082	. . . 4 |- ( ( ( +f ` G ) e. ( ( J tX J ) Cn J ) /\ <. X , Y >. e. U. ( J tX J ) ) -> ( +f ` G ) e. ( ( ( J tX J ) CnP J ) ` <. X , Y >. ) )
19	7, 16, 18	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( ( G e. TopMnd /\ U e. J ) /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( X .+ Y ) e. U ) ) -> ( +f ` G ) e. ( ( ( J tX J ) CnP J ) ` <. X , Y >. ) )
20		simplr 792	. . 3 |- ( ( ( G e. TopMnd /\ U e. J ) /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( X .+ Y ) e. U ) ) -> U e. J )
21		tmdcn2.3	. . . . . 6 |- .+ = ( +g ` G )
22	2, 21, 5	plusfval 17248	. . . . 5 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( X ( +f ` G ) Y ) = ( X .+ Y ) )
23	8, 9, 22	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ( G e. TopMnd /\ U e. J ) /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( X .+ Y ) e. U ) ) -> ( X ( +f ` G ) Y ) = ( X .+ Y ) )
24		simpr3 1069	. . . 4 |- ( ( ( G e. TopMnd /\ U e. J ) /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( X .+ Y ) e. U ) ) -> ( X .+ Y ) e. U )
25	23, 24	eqeltrd 2701	. . 3 |- ( ( ( G e. TopMnd /\ U e. J ) /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( X .+ Y ) e. U ) ) -> ( X ( +f ` G ) Y ) e. U )
26	4, 4, 19, 20, 8, 9, 25	txcnpi 21411	. 2 |- ( ( ( G e. TopMnd /\ U e. J ) /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( X .+ Y ) e. U ) ) -> E. u e. J E. v e. J ( X e. u /\ Y e. v /\ ( u X. v ) C_ ( `' ( +f ` G ) " U ) ) )
27		dfss3 3592	. . . . . . 7 |- ( ( u X. v ) C_ ( `' ( +f ` G ) " U ) <-> A. z e. ( u X. v ) z e. ( `' ( +f ` G ) " U ) )
28		eleq1 2689	. . . . . . . . 9 |- ( z = <. x , y >. -> ( z e. ( `' ( +f ` G ) " U ) <-> <. x , y >. e. ( `' ( +f ` G ) " U ) ) )
29	2, 5	plusffn 17250	. . . . . . . . . 10 |- ( +f ` G ) Fn ( B X. B )
30		elpreima 6337	. . . . . . . . . 10 |- ( ( +f ` G ) Fn ( B X. B ) -> ( <. x , y >. e. ( `' ( +f ` G ) " U ) <-> ( <. x , y >. e. ( B X. B ) /\ ( ( +f ` G ) ` <. x , y >. ) e. U ) ) )
31	29, 30	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( <. x , y >. e. ( `' ( +f ` G ) " U ) <-> ( <. x , y >. e. ( B X. B ) /\ ( ( +f ` G ) ` <. x , y >. ) e. U ) )
32	28, 31	syl6bb 276	. . . . . . . 8 |- ( z = <. x , y >. -> ( z e. ( `' ( +f ` G ) " U ) <-> ( <. x , y >. e. ( B X. B ) /\ ( ( +f ` G ) ` <. x , y >. ) e. U ) ) )
33	32	ralxp 5263	. . . . . . 7 |- ( A. z e. ( u X. v ) z e. ( `' ( +f ` G ) " U ) <-> A. x e. u A. y e. v ( <. x , y >. e. ( B X. B ) /\ ( ( +f ` G ) ` <. x , y >. ) e. U ) )
34	27, 33	bitri 264	. . . . . 6 |- ( ( u X. v ) C_ ( `' ( +f ` G ) " U ) <-> A. x e. u A. y e. v ( <. x , y >. e. ( B X. B ) /\ ( ( +f ` G ) ` <. x , y >. ) e. U ) )
35		opelxp 5146	. . . . . . . . . 10 |- ( <. x , y >. e. ( B X. B ) <-> ( x e. B /\ y e. B ) )
36		df-ov 6653	. . . . . . . . . . 11 |- ( x ( +f ` G ) y ) = ( ( +f ` G ) ` <. x , y >. )
37	2, 21, 5	plusfval 17248	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. B /\ y e. B ) -> ( x ( +f ` G ) y ) = ( x .+ y ) )
38	36, 37	syl5eqr 2670	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. B /\ y e. B ) -> ( ( +f ` G ) ` <. x , y >. ) = ( x .+ y ) )
39	35, 38	sylbi 207	. . . . . . . . 9 |- ( <. x , y >. e. ( B X. B ) -> ( ( +f ` G ) ` <. x , y >. ) = ( x .+ y ) )
40	39	eleq1d 2686	. . . . . . . 8 |- ( <. x , y >. e. ( B X. B ) -> ( ( ( +f ` G ) ` <. x , y >. ) e. U <-> ( x .+ y ) e. U ) )
41	40	biimpa 501	. . . . . . 7 |- ( ( <. x , y >. e. ( B X. B ) /\ ( ( +f ` G ) ` <. x , y >. ) e. U ) -> ( x .+ y ) e. U )
42	41	2ralimi 2953	. . . . . 6 |- ( A. x e. u A. y e. v ( <. x , y >. e. ( B X. B ) /\ ( ( +f ` G ) ` <. x , y >. ) e. U ) -> A. x e. u A. y e. v ( x .+ y ) e. U )
43	34, 42	sylbi 207	. . . . 5 |- ( ( u X. v ) C_ ( `' ( +f ` G ) " U ) -> A. x e. u A. y e. v ( x .+ y ) e. U )
44	43	3anim3i 1250	. . . 4 |- ( ( X e. u /\ Y e. v /\ ( u X. v ) C_ ( `' ( +f ` G ) " U ) ) -> ( X e. u /\ Y e. v /\ A. x e. u A. y e. v ( x .+ y ) e. U ) )
45	44	reximi 3011	. . 3 |- ( E. v e. J ( X e. u /\ Y e. v /\ ( u X. v ) C_ ( `' ( +f ` G ) " U ) ) -> E. v e. J ( X e. u /\ Y e. v /\ A. x e. u A. y e. v ( x .+ y ) e. U ) )
46	45	reximi 3011	. 2 |- ( E. u e. J E. v e. J ( X e. u /\ Y e. v /\ ( u X. v ) C_ ( `' ( +f ` G ) " U ) ) -> E. u e. J E. v e. J ( X e. u /\ Y e. v /\ A. x e. u A. y e. v ( x .+ y ) e. U ) )
47	26, 46	syl 17	1 |- ( ( ( G e. TopMnd /\ U e. J ) /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( X .+ Y ) e. U ) ) -> E. u e. J E. v e. J ( X e. u /\ Y e. v /\ A. x e. u A. y e. v ( x .+ y ) e. U ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   <.cop 4183   U.cuni 4436   X. cxp 5112   `'ccnv 5113   "cima 5117   Fn wfn 5883   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   TopOpenctopn 16082   +fcplusf 17239  TopOnctopon 20715   Cn ccn 21028   CnP ccnp 21029   tX ctx 21363  TopMndctmd 21874

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-map 7859  df-topgen 16104  df-plusf 17241  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-tx 21365  df-tmd 21876

This theorem is referenced by:  tsmsxp  21958