Theorem txcnpi 21411

Description: Continuity of a two-argument function at a point. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
txcnpi.1	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
txcnpi.2	|- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )
txcnpi.3	|- ( ph -> F e. ( ( ( J tX K ) CnP L ) ` <. A , B >. ) )
txcnpi.4	|- ( ph -> U e. L )
txcnpi.5	|- ( ph -> A e. X )
txcnpi.6	|- ( ph -> B e. Y )
txcnpi.7	|- ( ph -> ( A F B ) e. U )

Assertion

Ref	Expression
txcnpi	|- ( ph -> E. u e. J E. v e. K ( A e. u /\ B e. v /\ ( u X. v ) C_ ( `' F " U ) ) )

Distinct variable groups:   v, u, A   u, B, v   u, F, v   u, J, v   u, K, v   u, U, v

Allowed substitution hints:   ph( v, u)   L( v, u)   X( v, u)   Y( v, u)

Proof of Theorem txcnpi

Dummy variables w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		txcnpi.3	. . 3 |- ( ph -> F e. ( ( ( J tX K ) CnP L ) ` <. A , B >. ) )
2		txcnpi.4	. . 3 |- ( ph -> U e. L )
3		df-ov 6653	. . . 4 |- ( A F B ) = ( F ` <. A , B >. )
4		txcnpi.7	. . . 4 |- ( ph -> ( A F B ) e. U )
5	3, 4	syl5eqelr 2706	. . 3 |- ( ph -> ( F ` <. A , B >. ) e. U )
6		cnpimaex 21060	. . 3 |- ( ( F e. ( ( ( J tX K ) CnP L ) ` <. A , B >. ) /\ U e. L /\ ( F ` <. A , B >. ) e. U ) -> E. w e. ( J tX K ) ( <. A , B >. e. w /\ ( F " w ) C_ U ) )
7	1, 2, 5, 6	syl3anc 1326	. 2 |- ( ph -> E. w e. ( J tX K ) ( <. A , B >. e. w /\ ( F " w ) C_ U ) )
8		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- U. ( J tX K ) = U. ( J tX K )
9		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- U. L = U. L
10	8, 9	cnpf 21051	. . . . . . . . 9 |- ( F e. ( ( ( J tX K ) CnP L ) ` <. A , B >. ) -> F : U. ( J tX K ) --> U. L )
11	1, 10	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F : U. ( J tX K ) --> U. L )
12	11	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ w e. ( J tX K ) ) -> F : U. ( J tX K ) --> U. L )
13		ffun 6048	. . . . . . 7 |- ( F : U. ( J tX K ) --> U. L -> Fun F )
14	12, 13	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ w e. ( J tX K ) ) -> Fun F )
15		elssuni 4467	. . . . . . 7 |- ( w e. ( J tX K ) -> w C_ U. ( J tX K ) )
16		fdm 6051	. . . . . . . . . 10 |- ( F : U. ( J tX K ) --> U. L -> dom F = U. ( J tX K ) )
17	11, 16	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> dom F = U. ( J tX K ) )
18	17	sseq2d 3633	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( w C_ dom F <-> w C_ U. ( J tX K ) ) )
19	18	biimpar 502	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ w C_ U. ( J tX K ) ) -> w C_ dom F )
20	15, 19	sylan2 491	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ w e. ( J tX K ) ) -> w C_ dom F )
21		funimass3 6333	. . . . . 6 |- ( ( Fun F /\ w C_ dom F ) -> ( ( F " w ) C_ U <-> w C_ ( `' F " U ) ) )
22	14, 20, 21	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ph /\ w e. ( J tX K ) ) -> ( ( F " w ) C_ U <-> w C_ ( `' F " U ) ) )
23	22	anbi2d 740	. . . 4 |- ( ( ph /\ w e. ( J tX K ) ) -> ( ( <. A , B >. e. w /\ ( F " w ) C_ U ) <-> ( <. A , B >. e. w /\ w C_ ( `' F " U ) ) ) )
24		txcnpi.1	. . . . . . 7 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
25		txcnpi.2	. . . . . . 7 |- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )
26		eltx 21371	. . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( w e. ( J tX K ) <-> A. z e. w E. u e. J E. v e. K ( z e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ w ) ) )
27	24, 25, 26	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ph -> ( w e. ( J tX K ) <-> A. z e. w E. u e. J E. v e. K ( z e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ w ) ) )
28	27	biimpa 501	. . . . 5 |- ( ( ph /\ w e. ( J tX K ) ) -> A. z e. w E. u e. J E. v e. K ( z e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ w ) )
29		eleq1 2689	. . . . . . . . . 10 |- ( z = <. A , B >. -> ( z e. ( u X. v ) <-> <. A , B >. e. ( u X. v ) ) )
30	29	anbi1d 741	. . . . . . . . 9 |- ( z = <. A , B >. -> ( ( z e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ w ) <-> ( <. A , B >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ w ) ) )
31	30	2rexbidv 3057	. . . . . . . 8 |- ( z = <. A , B >. -> ( E. u e. J E. v e. K ( z e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ w ) <-> E. u e. J E. v e. K ( <. A , B >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ w ) ) )
32	31	rspccv 3306	. . . . . . 7 |- ( A. z e. w E. u e. J E. v e. K ( z e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ w ) -> ( <. A , B >. e. w -> E. u e. J E. v e. K ( <. A , B >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ w ) ) )
33		sstr2 3610	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( u X. v ) C_ w -> ( w C_ ( `' F " U ) -> ( u X. v ) C_ ( `' F " U ) ) )
34	33	com12 32	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w C_ ( `' F " U ) -> ( ( u X. v ) C_ w -> ( u X. v ) C_ ( `' F " U ) ) )
35	34	anim2d 589	. . . . . . . . . . 11 |- ( w C_ ( `' F " U ) -> ( ( ( A e. u /\ B e. v ) /\ ( u X. v ) C_ w ) -> ( ( A e. u /\ B e. v ) /\ ( u X. v ) C_ ( `' F " U ) ) ) )
36		opelxp 5146	. . . . . . . . . . . 12 |- ( <. A , B >. e. ( u X. v ) <-> ( A e. u /\ B e. v ) )
37	36	anbi1i 731	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( <. A , B >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ w ) <-> ( ( A e. u /\ B e. v ) /\ ( u X. v ) C_ w ) )
38		df-3an 1039	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. u /\ B e. v /\ ( u X. v ) C_ ( `' F " U ) ) <-> ( ( A e. u /\ B e. v ) /\ ( u X. v ) C_ ( `' F " U ) ) )
39	35, 37, 38	3imtr4g 285	. . . . . . . . . 10 |- ( w C_ ( `' F " U ) -> ( ( <. A , B >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ w ) -> ( A e. u /\ B e. v /\ ( u X. v ) C_ ( `' F " U ) ) ) )
40	39	reximdv 3016	. . . . . . . . 9 |- ( w C_ ( `' F " U ) -> ( E. v e. K ( <. A , B >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ w ) -> E. v e. K ( A e. u /\ B e. v /\ ( u X. v ) C_ ( `' F " U ) ) ) )
41	40	reximdv 3016	. . . . . . . 8 |- ( w C_ ( `' F " U ) -> ( E. u e. J E. v e. K ( <. A , B >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ w ) -> E. u e. J E. v e. K ( A e. u /\ B e. v /\ ( u X. v ) C_ ( `' F " U ) ) ) )
42	41	com12 32	. . . . . . 7 |- ( E. u e. J E. v e. K ( <. A , B >. e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ w ) -> ( w C_ ( `' F " U ) -> E. u e. J E. v e. K ( A e. u /\ B e. v /\ ( u X. v ) C_ ( `' F " U ) ) ) )
43	32, 42	syl6 35	. . . . . 6 |- ( A. z e. w E. u e. J E. v e. K ( z e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ w ) -> ( <. A , B >. e. w -> ( w C_ ( `' F " U ) -> E. u e. J E. v e. K ( A e. u /\ B e. v /\ ( u X. v ) C_ ( `' F " U ) ) ) ) )
44	43	impd 447	. . . . 5 |- ( A. z e. w E. u e. J E. v e. K ( z e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ w ) -> ( ( <. A , B >. e. w /\ w C_ ( `' F " U ) ) -> E. u e. J E. v e. K ( A e. u /\ B e. v /\ ( u X. v ) C_ ( `' F " U ) ) ) )
45	28, 44	syl 17	. . . 4 |- ( ( ph /\ w e. ( J tX K ) ) -> ( ( <. A , B >. e. w /\ w C_ ( `' F " U ) ) -> E. u e. J E. v e. K ( A e. u /\ B e. v /\ ( u X. v ) C_ ( `' F " U ) ) ) )
46	23, 45	sylbid 230	. . 3 |- ( ( ph /\ w e. ( J tX K ) ) -> ( ( <. A , B >. e. w /\ ( F " w ) C_ U ) -> E. u e. J E. v e. K ( A e. u /\ B e. v /\ ( u X. v ) C_ ( `' F " U ) ) ) )
47	46	rexlimdva 3031	. 2 |- ( ph -> ( E. w e. ( J tX K ) ( <. A , B >. e. w /\ ( F " w ) C_ U ) -> E. u e. J E. v e. K ( A e. u /\ B e. v /\ ( u X. v ) C_ ( `' F " U ) ) ) )
48	7, 47	mpd 15	1 |- ( ph -> E. u e. J E. v e. K ( A e. u /\ B e. v /\ ( u X. v ) C_ ( `' F " U ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   <.cop 4183   U.cuni 4436   X. cxp 5112   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   "cima 5117   Fun wfun 5882   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650  TopOnctopon 20715   CnP ccnp 21029   tX ctx 21363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-map 7859  df-topgen 16104  df-top 20699  df-topon 20716  df-cnp 21032  df-tx 21365

This theorem is referenced by:  tmdcn2  21893