Theorem cnvexg 7112

Description: The converse of a set is a set. Corollary 6.8(1) of [TakeutiZaring] p. 26. (Contributed by NM, 17-Mar-1998.)

Assertion

Ref	Expression
cnvexg	|- ( A e. V -> `' A e. _V )

Proof of Theorem cnvexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcnv 5503	. . 3 |- Rel `' A
2		relssdmrn 5656	. . 3 |- ( Rel `' A -> `' A C_ ( dom `' A X. ran `' A ) )
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 |- `' A C_ ( dom `' A X. ran `' A )
4		df-rn 5125	. . . 4 |- ran A = dom `' A
5		rnexg 7098	. . . 4 |- ( A e. V -> ran A e. _V )
6	4, 5	syl5eqelr 2706	. . 3 |- ( A e. V -> dom `' A e. _V )
7		dfdm4 5316	. . . 4 |- dom A = ran `' A
8		dmexg 7097	. . . 4 |- ( A e. V -> dom A e. _V )
9	7, 8	syl5eqelr 2706	. . 3 |- ( A e. V -> ran `' A e. _V )
10		xpexg 6960	. . 3 |- ( ( dom `' A e. _V /\ ran `' A e. _V ) -> ( dom `' A X. ran `' A ) e. _V )
11	6, 9, 10	syl2anc 693	. 2 |- ( A e. V -> ( dom `' A X. ran `' A ) e. _V )
12		ssexg 4804	. 2 |- ( ( `' A C_ ( dom `' A X. ran `' A ) /\ ( dom `' A X. ran `' A ) e. _V ) -> `' A e. _V )
13	3, 11, 12	sylancr 695	1 |- ( A e. V -> `' A e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   X. cxp 5112   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   ran crn 5115   Rel wrel 5119

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-dm 5124  df-rn 5125

This theorem is referenced by:  cnvex  7113  relcnvexb  7114  cofunex2g  7131  tposexg  7366  cnven  8032  cnvct  8033  fopwdom  8068  domssex2  8120  domssex  8121  cnvfi  8248  mapfienlem2  8311  wemapwe  8594  hasheqf1oi  13140  hasheqf1oiOLD  13141  brtrclfvcnv  13745  brcnvtrclfvcnv  13746  relexpcnv  13775  relexpnnrn  13785  relexpaddg  13793  imasle  16183  cnvps  17212  gsumvalx  17270  symginv  17822  tposmap  20263  metustel  22355  metustss  22356  metustfbas  22362  metuel2  22370  psmetutop  22372  restmetu  22375  itg2gt0  23527  nlfnval  28740  ffsrn  29504  eulerpartlemgs2  30442  orvcval  30519  coinfliprv  30544  lkrval  34375  pw2f1o2val  37606  lmhmlnmsplit  37657  cnvcnvintabd  37906  clrellem  37929  relexpaddss  38010  cnvtrclfv  38016  rntrclfvRP  38023  xpexb  38658  sge0f1o  40599  smfco  41009