Theorem trfbas 21648

Description: Conditions for the trace of a filter base F to be a filter base. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
trfbas	|- ( ( F e. ( fBas ` Y ) /\ A C_ Y ) -> ( ( F ↾t A ) e. ( fBas ` A ) <-> A. v e. F ( v i^i A ) =/= (/) ) )

Distinct variable groups:   v, A   v, F

Allowed substitution hint:   Y( v)

Proof of Theorem trfbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trfbas2 21647	. 2 |- ( ( F e. ( fBas ` Y ) /\ A C_ Y ) -> ( ( F ↾t A ) e. ( fBas ` A ) <-> -. (/) e. ( F ↾t A ) ) )
2		elfvdm 6220	. . . . . 6 |- ( F e. ( fBas ` Y ) -> Y e. dom fBas )
3		ssexg 4804	. . . . . . 7 |- ( ( A C_ Y /\ Y e. dom fBas ) -> A e. _V )
4	3	ancoms 469	. . . . . 6 |- ( ( Y e. dom fBas /\ A C_ Y ) -> A e. _V )
5	2, 4	sylan 488	. . . . 5 |- ( ( F e. ( fBas ` Y ) /\ A C_ Y ) -> A e. _V )
6		elrest 16088	. . . . 5 |- ( ( F e. ( fBas ` Y ) /\ A e. _V ) -> ( (/) e. ( F ↾t A ) <-> E. v e. F (/) = ( v i^i A ) ) )
7	5, 6	syldan 487	. . . 4 |- ( ( F e. ( fBas ` Y ) /\ A C_ Y ) -> ( (/) e. ( F ↾t A ) <-> E. v e. F (/) = ( v i^i A ) ) )
8	7	notbid 308	. . 3 |- ( ( F e. ( fBas ` Y ) /\ A C_ Y ) -> ( -. (/) e. ( F ↾t A ) <-> -. E. v e. F (/) = ( v i^i A ) ) )
9		nesym 2850	. . . . 5 |- ( ( v i^i A ) =/= (/) <-> -. (/) = ( v i^i A ) )
10	9	ralbii 2980	. . . 4 |- ( A. v e. F ( v i^i A ) =/= (/) <-> A. v e. F -. (/) = ( v i^i A ) )
11		ralnex 2992	. . . 4 |- ( A. v e. F -. (/) = ( v i^i A ) <-> -. E. v e. F (/) = ( v i^i A ) )
12	10, 11	bitri 264	. . 3 |- ( A. v e. F ( v i^i A ) =/= (/) <-> -. E. v e. F (/) = ( v i^i A ) )
13	8, 12	syl6bbr 278	. 2 |- ( ( F e. ( fBas ` Y ) /\ A C_ Y ) -> ( -. (/) e. ( F ↾t A ) <-> A. v e. F ( v i^i A ) =/= (/) ) )
14	1, 13	bitrd 268	1 |- ( ( F e. ( fBas ` Y ) /\ A C_ Y ) -> ( ( F ↾t A ) e. ( fBas ` A ) <-> A. v e. F ( v i^i A ) =/= (/) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   dom cdm 5114   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ↾_t crest 16081   fBascfbas 19734

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-rest 16083  df-fbas 19743

This theorem is referenced by: (None)