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Theorem trfbas2 21647
Description: Conditions for the trace of a filter base F to be a filter base. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
trfbas2 |- ( ( F e. ( fBas ` Y ) /\ A C_ Y ) -> ( ( F ↾t A ) e. ( fBas ` A ) <-> -. (/) e. ( F ↾t A ) ) )
Proof of Theorem trfbas2
Dummy variables w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvdm 6220 . . . 4 |- ( F e. ( fBas ` Y ) -> Y e. dom fBas )
2 ssexg 4804 . . . . 5 |- ( ( A C_ Y /\ Y e. dom fBas ) -> A e. _V )
32ancoms 469 . . . 4 |- ( ( Y e. dom fBas /\ A C_ Y ) -> A e. _V )
41, 3sylan 488 . . 3 |- ( ( F e. ( fBas ` Y ) /\ A C_ Y ) -> A e. _V )
5 restsspw 16092 . . . 4 |- ( F ↾t A ) C_ ~P A
65a1i 11 . . 3 |- ( ( F e. ( fBas ` Y ) /\ A C_ Y ) -> ( F ↾t A ) C_ ~P A )
7 fbasne0 21634 . . . . . 6 |- ( F e. ( fBas ` Y ) -> F =/= (/) )
87adantr 481 . . . . 5 |- ( ( F e. ( fBas ` Y ) /\ A C_ Y ) -> F =/= (/) )
9 n0 3931 . . . . 5 |- ( F =/= (/) <-> E. x x e. F )
108, 9sylib 208 . . . 4 |- ( ( F e. ( fBas ` Y ) /\ A C_ Y ) -> E. x x e. F )
11 elrestr 16089 . . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( fBas ` Y ) /\ A e. _V /\ x e. F ) -> ( x i^i A ) e. ( F ↾t A ) )
12113expia 1267 . . . . . . 7 |- ( ( F e. ( fBas ` Y ) /\ A e. _V ) -> ( x e. F -> ( x i^i A ) e. ( F ↾t A ) ) )
134, 12syldan 487 . . . . . 6 |- ( ( F e. ( fBas ` Y ) /\ A C_ Y ) -> ( x e. F -> ( x i^i A ) e. ( F ↾t A ) ) )
14 ne0i 3921 . . . . . 6 |- ( ( x i^i A ) e. ( F ↾t A ) -> ( F ↾t A ) =/= (/) )
1513, 14syl6 35 . . . . 5 |- ( ( F e. ( fBas ` Y ) /\ A C_ Y ) -> ( x e. F -> ( F ↾t A ) =/= (/) ) )
1615exlimdv 1861 . . . 4 |- ( ( F e. ( fBas ` Y ) /\ A C_ Y ) -> ( E. x x e. F -> ( F ↾t A ) =/= (/) ) )
1710, 16mpd 15 . . 3 |- ( ( F e. ( fBas ` Y ) /\ A C_ Y ) -> ( F ↾t A ) =/= (/) )
18 fbasssin 21640 . . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( fBas ` Y ) /\ z e. F /\ w e. F ) -> E. x e. F x C_ ( z i^i w ) )
19183expb 1266 . . . . . . 7 |- ( ( F e. ( fBas ` Y ) /\ ( z e. F /\ w e. F ) ) -> E. x e. F x C_ ( z i^i w ) )
2019adantlr 751 . . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( fBas ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ ( z e. F /\ w e. F ) ) -> E. x e. F x C_ ( z i^i w ) )
21 simplll 798 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( F e. ( fBas ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ ( z e. F /\ w e. F ) ) /\ ( x e. F /\ x C_ ( z i^i w ) ) ) -> F e. ( fBas ` Y ) )
224ad2antrr 762 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( F e. ( fBas ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ ( z e. F /\ w e. F ) ) /\ ( x e. F /\ x C_ ( z i^i w ) ) ) -> A e. _V )
23 simprl 794 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( F e. ( fBas ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ ( z e. F /\ w e. F ) ) /\ ( x e. F /\ x C_ ( z i^i w ) ) ) -> x e. F )
2421, 22, 23, 11syl3anc 1326 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( F e. ( fBas ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ ( z e. F /\ w e. F ) ) /\ ( x e. F /\ x C_ ( z i^i w ) ) ) -> ( x i^i A ) e. ( F ↾t A ) )
25 ssrin 3838 . . . . . . . . 9 |- ( x C_ ( z i^i w ) -> ( x i^i A ) C_ ( ( z i^i w ) i^i A ) )
2625ad2antll 765 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( F e. ( fBas ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ ( z e. F /\ w e. F ) ) /\ ( x e. F /\ x C_ ( z i^i w ) ) ) -> ( x i^i A ) C_ ( ( z i^i w ) i^i A ) )
27 vex 3203 . . . . . . . . . 10 |- x e. _V
2827inex1 4799 . . . . . . . . 9 |- ( x i^i A ) e. _V
2928elpw 4164 . . . . . . . 8 |- ( ( x i^i A ) e. ~P ( ( z i^i w ) i^i A ) <-> ( x i^i A ) C_ ( ( z i^i w ) i^i A ) )
3026, 29sylibr 224 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( F e. ( fBas ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ ( z e. F /\ w e. F ) ) /\ ( x e. F /\ x C_ ( z i^i w ) ) ) -> ( x i^i A ) e. ~P ( ( z i^i w ) i^i A ) )
31 inelcm 4032 . . . . . . 7 |- ( ( ( x i^i A ) e. ( F ↾t A ) /\ ( x i^i A ) e. ~P ( ( z i^i w ) i^i A ) ) -> ( ( F ↾t A ) i^i ~P ( ( z i^i w ) i^i A ) ) =/= (/) )
3224, 30, 31syl2anc 693 . . . . . 6 |- ( ( ( ( F e. ( fBas ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ ( z e. F /\ w e. F ) ) /\ ( x e. F /\ x C_ ( z i^i w ) ) ) -> ( ( F ↾t A ) i^i ~P ( ( z i^i w ) i^i A ) ) =/= (/) )
3320, 32rexlimddv 3035 . . . . 5 |- ( ( ( F e. ( fBas ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ ( z e. F /\ w e. F ) ) -> ( ( F ↾t A ) i^i ~P ( ( z i^i w ) i^i A ) ) =/= (/) )
3433ralrimivva 2971 . . . 4 |- ( ( F e. ( fBas ` Y ) /\ A C_ Y ) -> A. z e. F A. w e. F ( ( F ↾t A ) i^i ~P ( ( z i^i w ) i^i A ) ) =/= (/) )
35 vex 3203 . . . . . . 7 |- z e. _V
3635inex1 4799 . . . . . 6 |- ( z i^i A ) e. _V
3736a1i 11 . . . . 5 |- ( ( ( F e. ( fBas ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ z e. F ) -> ( z i^i A ) e. _V )
38 elrest 16088 . . . . . 6 |- ( ( F e. ( fBas ` Y ) /\ A e. _V ) -> ( x e. ( F ↾t A ) <-> E. z e. F x = ( z i^i A ) ) )
394, 38syldan 487 . . . . 5 |- ( ( F e. ( fBas ` Y ) /\ A C_ Y ) -> ( x e. ( F ↾t A ) <-> E. z e. F x = ( z i^i A ) ) )
40 vex 3203 . . . . . . . 8 |- w e. _V
4140inex1 4799 . . . . . . 7 |- ( w i^i A ) e. _V
4241a1i 11 . . . . . 6 |- ( ( ( ( F e. ( fBas ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x = ( z i^i A ) ) /\ w e. F ) -> ( w i^i A ) e. _V )
43 elrest 16088 . . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( fBas ` Y ) /\ A e. _V ) -> ( y e. ( F ↾t A ) <-> E. w e. F y = ( w i^i A ) ) )
444, 43syldan 487 . . . . . . 7 |- ( ( F e. ( fBas ` Y ) /\ A C_ Y ) -> ( y e. ( F ↾t A ) <-> E. w e. F y = ( w i^i A ) ) )
4544adantr 481 . . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( fBas ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x = ( z i^i A ) ) -> ( y e. ( F ↾t A ) <-> E. w e. F y = ( w i^i A ) ) )
46 ineq12 3809 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = ( z i^i A ) /\ y = ( w i^i A ) ) -> ( x i^i y ) = ( ( z i^i A ) i^i ( w i^i A ) ) )
47 inindir 3831 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( z i^i w ) i^i A ) = ( ( z i^i A ) i^i ( w i^i A ) )
4846, 47syl6eqr 2674 . . . . . . . . . 10 |- ( ( x = ( z i^i A ) /\ y = ( w i^i A ) ) -> ( x i^i y ) = ( ( z i^i w ) i^i A ) )
4948pweqd 4163 . . . . . . . . 9 |- ( ( x = ( z i^i A ) /\ y = ( w i^i A ) ) -> ~P ( x i^i y ) = ~P ( ( z i^i w ) i^i A ) )
5049ineq2d 3814 . . . . . . . 8 |- ( ( x = ( z i^i A ) /\ y = ( w i^i A ) ) -> ( ( F ↾t A ) i^i ~P ( x i^i y ) ) = ( ( F ↾t A ) i^i ~P ( ( z i^i w ) i^i A ) ) )
5150neeq1d 2853 . . . . . . 7 |- ( ( x = ( z i^i A ) /\ y = ( w i^i A ) ) -> ( ( ( F ↾t A ) i^i ~P ( x i^i y ) ) =/= (/) <-> ( ( F ↾t A ) i^i ~P ( ( z i^i w ) i^i A ) ) =/= (/) ) )
5251adantll 750 . . . . . 6 |- ( ( ( ( F e. ( fBas ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x = ( z i^i A ) ) /\ y = ( w i^i A ) ) -> ( ( ( F ↾t A ) i^i ~P ( x i^i y ) ) =/= (/) <-> ( ( F ↾t A ) i^i ~P ( ( z i^i w ) i^i A ) ) =/= (/) ) )
5342, 45, 52ralxfr2d 4882 . . . . 5 |- ( ( ( F e. ( fBas ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x = ( z i^i A ) ) -> ( A. y e. ( F ↾t A ) ( ( F ↾t A ) i^i ~P ( x i^i y ) ) =/= (/) <-> A. w e. F ( ( F ↾t A ) i^i ~P ( ( z i^i w ) i^i A ) ) =/= (/) ) )
5437, 39, 53ralxfr2d 4882 . . . 4 |- ( ( F e. ( fBas ` Y ) /\ A C_ Y ) -> ( A. x e. ( F ↾t A ) A. y e. ( F ↾t A ) ( ( F ↾t A ) i^i ~P ( x i^i y ) ) =/= (/) <-> A. z e. F A. w e. F ( ( F ↾t A ) i^i ~P ( ( z i^i w ) i^i A ) ) =/= (/) ) )
5534, 54mpbird 247 . . 3 |- ( ( F e. ( fBas ` Y ) /\ A C_ Y ) -> A. x e. ( F ↾t A ) A. y e. ( F ↾t A ) ( ( F ↾t A ) i^i ~P ( x i^i y ) ) =/= (/) )
56 isfbas 21633 . . . . . 6 |- ( A e. _V -> ( ( F ↾t A ) e. ( fBas ` A ) <-> ( ( F ↾t A ) C_ ~P A /\ ( ( F ↾t A ) =/= (/) /\ (/) e/ ( F ↾t A ) /\ A. x e. ( F ↾t A ) A. y e. ( F ↾t A ) ( ( F ↾t A ) i^i ~P ( x i^i y ) ) =/= (/) ) ) ) )
5756baibd 948 . . . . 5 |- ( ( A e. _V /\ ( F ↾t A ) C_ ~P A ) -> ( ( F ↾t A ) e. ( fBas ` A ) <-> ( ( F ↾t A ) =/= (/) /\ (/) e/ ( F ↾t A ) /\ A. x e. ( F ↾t A ) A. y e. ( F ↾t A ) ( ( F ↾t A ) i^i ~P ( x i^i y ) ) =/= (/) ) ) )
58 3anan32 1050 . . . . 5 |- ( ( ( F ↾t A ) =/= (/) /\ (/) e/ ( F ↾t A ) /\ A. x e. ( F ↾t A ) A. y e. ( F ↾t A ) ( ( F ↾t A ) i^i ~P ( x i^i y ) ) =/= (/) ) <-> ( ( ( F ↾t A ) =/= (/) /\ A. x e. ( F ↾t A ) A. y e. ( F ↾t A ) ( ( F ↾t A ) i^i ~P ( x i^i y ) ) =/= (/) ) /\ (/) e/ ( F ↾t A ) ) )
5957, 58syl6bb 276 . . . 4 |- ( ( A e. _V /\ ( F ↾t A ) C_ ~P A ) -> ( ( F ↾t A ) e. ( fBas ` A ) <-> ( ( ( F ↾t A ) =/= (/) /\ A. x e. ( F ↾t A ) A. y e. ( F ↾t A ) ( ( F ↾t A ) i^i ~P ( x i^i y ) ) =/= (/) ) /\ (/) e/ ( F ↾t A ) ) ) )
6059baibd 948 . . 3 |- ( ( ( A e. _V /\ ( F ↾t A ) C_ ~P A ) /\ ( ( F ↾t A ) =/= (/) /\ A. x e. ( F ↾t A ) A. y e. ( F ↾t A ) ( ( F ↾t A ) i^i ~P ( x i^i y ) ) =/= (/) ) ) -> ( ( F ↾t A ) e. ( fBas ` A ) <-> (/) e/ ( F ↾t A ) ) )
614, 6, 17, 55, 60syl22anc 1327 . 2 |- ( ( F e. ( fBas ` Y ) /\ A C_ Y ) -> ( ( F ↾t A ) e. ( fBas ` A ) <-> (/) e/ ( F ↾t A ) ) )
62 df-nel 2898 . 2 |- ( (/) e/ ( F ↾t A ) <-> -. (/) e. ( F ↾t A ) )
6361, 62syl6bb 276 1 |- ( ( F e. ( fBas ` Y ) /\ A C_ Y ) -> ( ( F ↾t A ) e. ( fBas ` A ) <-> -. (/) e. ( F ↾t A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   e/ wnel 2897   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   dom cdm 5114   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ↾t crest 16081   fBascfbas 19734
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-rest 16083  df-fbas 19743
This theorem is referenced by:  trfbas  21648  uzfbas  21702  trcfilu  22098
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