Theorem xkoccn 21422

Description: The "constant function" function which maps x e. Y to the constant function z e. X |-> x is a continuous function from X into the space of continuous functions from Y to X. This can also be understood as the currying of the first projection function. (The currying of the second projection function is x e. Y |-> ( z e. X |-> z ), which we already know is continuous because it is a constant function.) (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xkoccn	|- ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) -> ( x e. Y |-> ( X X. { x } ) ) e. ( S Cn ( S ^ko R ) ) )

Distinct variable groups:   x, R   x, S   x, X   x, Y

Proof of Theorem xkoccn

Dummy variables f k v y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnconst2 21087	. . . 4 |- ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) /\ x e. Y ) -> ( X X. { x } ) e. ( R Cn S ) )
2	1	3expa 1265	. . 3 |- ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ x e. Y ) -> ( X X. { x } ) e. ( R Cn S ) )
3		eqid 2622	. . 3 |- ( x e. Y |-> ( X X. { x } ) ) = ( x e. Y |-> ( X X. { x } ) )
4	2, 3	fmptd 6385	. 2 |- ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) -> ( x e. Y |-> ( X X. { x } ) ) : Y --> ( R Cn S ) )
5		eqid 2622	. . . . . 6 |- U. R = U. R
6		eqid 2622	. . . . . 6 |- { z e. ~P U. R | ( R ↾t z ) e. Comp } = { z e. ~P U. R | ( R ↾t z ) e. Comp }
7		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( k e. { z e. ~P U. R | ( R ↾t z ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) = ( k e. { z e. ~P U. R | ( R ↾t z ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } )
8	5, 6, 7	xkobval 21389	. . . . 5 |- ran ( k e. { z e. ~P U. R | ( R ↾t z ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) = { y | E. k e. ~P U. R E. v e. S ( ( R ↾t k ) e. Comp /\ y = { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) }
9	8	abeq2i 2735	. . . 4 |- ( y e. ran ( k e. { z e. ~P U. R | ( R ↾t z ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) <-> E. k e. ~P U. R E. v e. S ( ( R ↾t k ) e. Comp /\ y = { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) )
10	2	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ x e. Y ) -> ( X X. { x } ) e. ( R Cn S ) )
11	10	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ x e. Y ) -> ( X X. { x } ) e. ( R Cn S ) )
12	11	adantlr 751	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k = (/) ) /\ x e. Y ) -> ( X X. { x } ) e. ( R Cn S ) )
13		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k = (/) ) /\ x e. Y ) -> k = (/) )
14	13	imaeq2d 5466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k = (/) ) /\ x e. Y ) -> ( ( X X. { x } ) " k ) = ( ( X X. { x } ) " (/) ) )
15		ima0 5481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( X X. { x } ) " (/) ) = (/)
16		0ss 3972	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (/) C_ v
17	15, 16	eqsstri 3635	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( X X. { x } ) " (/) ) C_ v
18	14, 17	syl6eqss 3655	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k = (/) ) /\ x e. Y ) -> ( ( X X. { x } ) " k ) C_ v )
19		imaeq1 5461	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = ( X X. { x } ) -> ( f " k ) = ( ( X X. { x } ) " k ) )
20	19	sseq1d 3632	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = ( X X. { x } ) -> ( ( f " k ) C_ v <-> ( ( X X. { x } ) " k ) C_ v ) )
21	20	elrab 3363	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( X X. { x } ) e. { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } <-> ( ( X X. { x } ) e. ( R Cn S ) /\ ( ( X X. { x } ) " k ) C_ v ) )
22	12, 18, 21	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k = (/) ) /\ x e. Y ) -> ( X X. { x } ) e. { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } )
23	22	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k = (/) ) -> A. x e. Y ( X X. { x } ) e. { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } )
24		rabid2 3118	. . . . . . . . . 10 |- ( Y = { x e. Y | ( X X. { x } ) e. { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } } <-> A. x e. Y ( X X. { x } ) e. { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } )
25	23, 24	sylibr 224	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k = (/) ) -> Y = { x e. Y | ( X X. { x } ) e. { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } } )
26		simpllr 799	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) -> S e. (TopOn ` Y ) )
27		toponmax 20730	. . . . . . . . . . 11 |- ( S e. (TopOn ` Y ) -> Y e. S )
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) -> Y e. S )
29	28	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k = (/) ) -> Y e. S )
30	25, 29	eqeltrrd 2702	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k = (/) ) -> { x e. Y | ( X X. { x } ) e. { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } } e. S )
31		ifnefalse 4098	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k =/= (/) -> if ( k = (/) , Y , v ) = v )
32	31	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k =/= (/) ) /\ x e. Y ) -> if ( k = (/) , Y , v ) = v )
33	32	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k =/= (/) ) /\ x e. Y ) -> ( x e. if ( k = (/) , Y , v ) <-> x e. v ) )
34		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- x e. _V
35	34	snss 4316	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. v <-> { x } C_ v )
36	33, 35	syl6bb 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k =/= (/) ) /\ x e. Y ) -> ( x e. if ( k = (/) , Y , v ) <-> { x } C_ v ) )
37		df-ima 5127	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( X X. { x } ) " k ) = ran ( ( X X. { x } ) |` k )
38		simplrl 800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) -> k e. ~P U. R )
39	38	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k =/= (/) ) /\ x e. Y ) -> k e. ~P U. R )
40	39	elpwid 4170	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k =/= (/) ) /\ x e. Y ) -> k C_ U. R )
41		toponuni 20719	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( R e. (TopOn ` X ) -> X = U. R )
42	41	ad5antr 770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k =/= (/) ) /\ x e. Y ) -> X = U. R )
43	40, 42	sseqtr4d 3642	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k =/= (/) ) /\ x e. Y ) -> k C_ X )
44		xpssres 5434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k C_ X -> ( ( X X. { x } ) |` k ) = ( k X. { x } ) )
45	43, 44	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k =/= (/) ) /\ x e. Y ) -> ( ( X X. { x } ) |` k ) = ( k X. { x } ) )
46	45	rneqd 5353	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k =/= (/) ) /\ x e. Y ) -> ran ( ( X X. { x } ) |` k ) = ran ( k X. { x } ) )
47	37, 46	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k =/= (/) ) /\ x e. Y ) -> ( ( X X. { x } ) " k ) = ran ( k X. { x } ) )
48		rnxp 5564	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k =/= (/) -> ran ( k X. { x } ) = { x } )
49	48	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k =/= (/) ) /\ x e. Y ) -> ran ( k X. { x } ) = { x } )
50	47, 49	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k =/= (/) ) /\ x e. Y ) -> ( ( X X. { x } ) " k ) = { x } )
51	50	sseq1d 3632	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k =/= (/) ) /\ x e. Y ) -> ( ( ( X X. { x } ) " k ) C_ v <-> { x } C_ v ) )
52	11	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k =/= (/) ) /\ x e. Y ) -> ( X X. { x } ) e. ( R Cn S ) )
53	52	biantrurd 529	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k =/= (/) ) /\ x e. Y ) -> ( ( ( X X. { x } ) " k ) C_ v <-> ( ( X X. { x } ) e. ( R Cn S ) /\ ( ( X X. { x } ) " k ) C_ v ) ) )
54	36, 51, 53	3bitr2d 296	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k =/= (/) ) /\ x e. Y ) -> ( x e. if ( k = (/) , Y , v ) <-> ( ( X X. { x } ) e. ( R Cn S ) /\ ( ( X X. { x } ) " k ) C_ v ) ) )
55	33, 54	bitr3d 270	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k =/= (/) ) /\ x e. Y ) -> ( x e. v <-> ( ( X X. { x } ) e. ( R Cn S ) /\ ( ( X X. { x } ) " k ) C_ v ) ) )
56	55, 21	syl6bbr 278	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k =/= (/) ) /\ x e. Y ) -> ( x e. v <-> ( X X. { x } ) e. { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) )
57	56	rabbi2dva 3821	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k =/= (/) ) -> ( Y i^i v ) = { x e. Y | ( X X. { x } ) e. { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } } )
58		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) -> v e. S )
59		toponss 20731	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S e. (TopOn ` Y ) /\ v e. S ) -> v C_ Y )
60	26, 58, 59	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) -> v C_ Y )
61	60	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k =/= (/) ) -> v C_ Y )
62		sseqin2 3817	. . . . . . . . . . 11 |- ( v C_ Y <-> ( Y i^i v ) = v )
63	61, 62	sylib 208	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k =/= (/) ) -> ( Y i^i v ) = v )
64	57, 63	eqtr3d 2658	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k =/= (/) ) -> { x e. Y | ( X X. { x } ) e. { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } } = v )
65	58	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k =/= (/) ) -> v e. S )
66	64, 65	eqeltrd 2701	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k =/= (/) ) -> { x e. Y | ( X X. { x } ) e. { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } } e. S )
67	30, 66	pm2.61dane 2881	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) -> { x e. Y | ( X X. { x } ) e. { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } } e. S )
68		imaeq2 5462	. . . . . . . . 9 |- ( y = { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } -> ( `' ( x e. Y |-> ( X X. { x } ) ) " y ) = ( `' ( x e. Y |-> ( X X. { x } ) ) " { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) )
69	3	mptpreima 5628	. . . . . . . . 9 |- ( `' ( x e. Y |-> ( X X. { x } ) ) " { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) = { x e. Y | ( X X. { x } ) e. { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } }
70	68, 69	syl6eq 2672	. . . . . . . 8 |- ( y = { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } -> ( `' ( x e. Y |-> ( X X. { x } ) ) " y ) = { x e. Y | ( X X. { x } ) e. { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } } )
71	70	eleq1d 2686	. . . . . . 7 |- ( y = { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } -> ( ( `' ( x e. Y |-> ( X X. { x } ) ) " y ) e. S <-> { x e. Y | ( X X. { x } ) e. { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } } e. S ) )
72	67, 71	syl5ibrcom 237	. . . . . 6 |- ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) -> ( y = { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } -> ( `' ( x e. Y |-> ( X X. { x } ) ) " y ) e. S ) )
73	72	expimpd 629	. . . . 5 |- ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) -> ( ( ( R ↾t k ) e. Comp /\ y = { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) -> ( `' ( x e. Y |-> ( X X. { x } ) ) " y ) e. S ) )
74	73	rexlimdvva 3038	. . . 4 |- ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) -> ( E. k e. ~P U. R E. v e. S ( ( R ↾t k ) e. Comp /\ y = { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) -> ( `' ( x e. Y |-> ( X X. { x } ) ) " y ) e. S ) )
75	9, 74	syl5bi 232	. . 3 |- ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) -> ( y e. ran ( k e. { z e. ~P U. R | ( R ↾t z ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) -> ( `' ( x e. Y |-> ( X X. { x } ) ) " y ) e. S ) )
76	75	ralrimiv 2965	. 2 |- ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) -> A. y e. ran ( k e. { z e. ~P U. R | ( R ↾t z ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) ( `' ( x e. Y |-> ( X X. { x } ) ) " y ) e. S )
77		simpr 477	. . 3 |- ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) -> S e. (TopOn ` Y ) )
78		ovex 6678	. . . . . 6 |- ( R Cn S ) e. _V
79	78	pwex 4848	. . . . 5 |- ~P ( R Cn S ) e. _V
80	5, 6, 7	xkotf 21388	. . . . . 6 |- ( k e. { z e. ~P U. R | ( R ↾t z ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) : ( { z e. ~P U. R | ( R ↾t z ) e. Comp } X. S ) --> ~P ( R Cn S )
81		frn 6053	. . . . . 6 |- ( ( k e. { z e. ~P U. R | ( R ↾t z ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) : ( { z e. ~P U. R | ( R ↾t z ) e. Comp } X. S ) --> ~P ( R Cn S ) -> ran ( k e. { z e. ~P U. R | ( R ↾t z ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) C_ ~P ( R Cn S ) )
82	80, 81	ax-mp 5	. . . . 5 |- ran ( k e. { z e. ~P U. R | ( R ↾t z ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) C_ ~P ( R Cn S )
83	79, 82	ssexi 4803	. . . 4 |- ran ( k e. { z e. ~P U. R | ( R ↾t z ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) e. _V
84	83	a1i 11	. . 3 |- ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) -> ran ( k e. { z e. ~P U. R | ( R ↾t z ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) e. _V )
85		topontop 20718	. . . 4 |- ( R e. (TopOn ` X ) -> R e. Top )
86		topontop 20718	. . . 4 |- ( S e. (TopOn ` Y ) -> S e. Top )
87	5, 6, 7	xkoval 21390	. . . 4 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( S ^ko R ) = ( topGen ` ( fi ` ran ( k e. { z e. ~P U. R | ( R ↾t z ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) ) ) )
88	85, 86, 87	syl2an 494	. . 3 |- ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) -> ( S ^ko R ) = ( topGen ` ( fi ` ran ( k e. { z e. ~P U. R | ( R ↾t z ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) ) ) )
89		eqid 2622	. . . . 5 |- ( S ^ko R ) = ( S ^ko R )
90	89	xkotopon 21403	. . . 4 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( S ^ko R ) e. (TopOn ` ( R Cn S ) ) )
91	85, 86, 90	syl2an 494	. . 3 |- ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) -> ( S ^ko R ) e. (TopOn ` ( R Cn S ) ) )
92	77, 84, 88, 91	subbascn 21058	. 2 |- ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) -> ( ( x e. Y |-> ( X X. { x } ) ) e. ( S Cn ( S ^ko R ) ) <-> ( ( x e. Y |-> ( X X. { x } ) ) : Y --> ( R Cn S ) /\ A. y e. ran ( k e. { z e. ~P U. R | ( R ↾t z ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) ( `' ( x e. Y |-> ( X X. { x } ) ) " y ) e. S ) ) )
93	4, 76, 92	mpbir2and 957	1 |- ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) -> ( x e. Y |-> ( X X. { x } ) ) e. ( S Cn ( S ^ko R ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ifcif 4086   ~Pcpw 4158   {csn 4177   U.cuni 4436   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   `'ccnv 5113   ran crn 5115   |` cres 5116   "cima 5117   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   ficfi 8316   ↾_t crest 16081   topGenctg 16098   Topctop 20698  TopOnctopon 20715   Cn ccn 21028   Compccmp 21189   ^ko cxko 21364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-fin 7959  df-fi 8317  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-cmp 21190  df-xko 21366

This theorem is referenced by:  cnmptkc  21482  xkofvcn  21487