Theorem neitx 21410

Description: The Cartesian product of two neighborhoods is a neighborhood in the product topology. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Jan-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
neitx.x	|- X = U. J
neitx.y	|- Y = U. K

Assertion

Ref	Expression
neitx	|- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A e. ( ( nei ` J ) ` C ) /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) ) -> ( A X. B ) e. ( ( nei ` ( J tX K ) ) ` ( C X. D ) ) )

Proof of Theorem neitx

Dummy variables a b c are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neitx.x	. . . . . 6 |- X = U. J
2	1	neii1 20910	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ A e. ( ( nei ` J ) ` C ) ) -> A C_ X )
3	2	ad2ant2r 783	. . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A e. ( ( nei ` J ) ` C ) /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) ) -> A C_ X )
4		neitx.y	. . . . . 6 |- Y = U. K
5	4	neii1 20910	. . . . 5 |- ( ( K e. Top /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) -> B C_ Y )
6	5	ad2ant2l 782	. . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A e. ( ( nei ` J ) ` C ) /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) ) -> B C_ Y )
7		xpss12 5225	. . . 4 |- ( ( A C_ X /\ B C_ Y ) -> ( A X. B ) C_ ( X X. Y ) )
8	3, 6, 7	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A e. ( ( nei ` J ) ` C ) /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) ) -> ( A X. B ) C_ ( X X. Y ) )
9	1, 4	txuni 21395	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top ) -> ( X X. Y ) = U. ( J tX K ) )
10	9	adantr 481	. . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A e. ( ( nei ` J ) ` C ) /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) ) -> ( X X. Y ) = U. ( J tX K ) )
11	8, 10	sseqtrd 3641	. 2 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A e. ( ( nei ` J ) ` C ) /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) ) -> ( A X. B ) C_ U. ( J tX K ) )
12		simp-5l 808	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A e. ( ( nei ` J ) ` C ) /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) ) /\ a e. J ) /\ ( C C_ a /\ a C_ A ) ) /\ b e. K ) /\ ( D C_ b /\ b C_ B ) ) -> ( J e. Top /\ K e. Top ) )
13		simp-4r 807	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A e. ( ( nei ` J ) ` C ) /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) ) /\ a e. J ) /\ ( C C_ a /\ a C_ A ) ) /\ b e. K ) /\ ( D C_ b /\ b C_ B ) ) -> a e. J )
14		simplr 792	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A e. ( ( nei ` J ) ` C ) /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) ) /\ a e. J ) /\ ( C C_ a /\ a C_ A ) ) /\ b e. K ) /\ ( D C_ b /\ b C_ B ) ) -> b e. K )
15		txopn 21405	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( a e. J /\ b e. K ) ) -> ( a X. b ) e. ( J tX K ) )
16	12, 13, 14, 15	syl12anc 1324	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A e. ( ( nei ` J ) ` C ) /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) ) /\ a e. J ) /\ ( C C_ a /\ a C_ A ) ) /\ b e. K ) /\ ( D C_ b /\ b C_ B ) ) -> ( a X. b ) e. ( J tX K ) )
17		simpr1l 1118	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A e. ( ( nei ` J ) ` C ) /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) ) /\ a e. J ) /\ ( ( C C_ a /\ a C_ A ) /\ b e. K /\ ( D C_ b /\ b C_ B ) ) ) -> C C_ a )
18	17	3anassrs 1290	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A e. ( ( nei ` J ) ` C ) /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) ) /\ a e. J ) /\ ( C C_ a /\ a C_ A ) ) /\ b e. K ) /\ ( D C_ b /\ b C_ B ) ) -> C C_ a )
19		simprl 794	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A e. ( ( nei ` J ) ` C ) /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) ) /\ a e. J ) /\ ( C C_ a /\ a C_ A ) ) /\ b e. K ) /\ ( D C_ b /\ b C_ B ) ) -> D C_ b )
20		xpss12 5225	. . . . . 6 |- ( ( C C_ a /\ D C_ b ) -> ( C X. D ) C_ ( a X. b ) )
21	18, 19, 20	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A e. ( ( nei ` J ) ` C ) /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) ) /\ a e. J ) /\ ( C C_ a /\ a C_ A ) ) /\ b e. K ) /\ ( D C_ b /\ b C_ B ) ) -> ( C X. D ) C_ ( a X. b ) )
22		simpr1r 1119	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A e. ( ( nei ` J ) ` C ) /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) ) /\ a e. J ) /\ ( ( C C_ a /\ a C_ A ) /\ b e. K /\ ( D C_ b /\ b C_ B ) ) ) -> a C_ A )
23	22	3anassrs 1290	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A e. ( ( nei ` J ) ` C ) /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) ) /\ a e. J ) /\ ( C C_ a /\ a C_ A ) ) /\ b e. K ) /\ ( D C_ b /\ b C_ B ) ) -> a C_ A )
24		simprr 796	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A e. ( ( nei ` J ) ` C ) /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) ) /\ a e. J ) /\ ( C C_ a /\ a C_ A ) ) /\ b e. K ) /\ ( D C_ b /\ b C_ B ) ) -> b C_ B )
25		xpss12 5225	. . . . . 6 |- ( ( a C_ A /\ b C_ B ) -> ( a X. b ) C_ ( A X. B ) )
26	23, 24, 25	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A e. ( ( nei ` J ) ` C ) /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) ) /\ a e. J ) /\ ( C C_ a /\ a C_ A ) ) /\ b e. K ) /\ ( D C_ b /\ b C_ B ) ) -> ( a X. b ) C_ ( A X. B ) )
27		sseq2 3627	. . . . . . 7 |- ( c = ( a X. b ) -> ( ( C X. D ) C_ c <-> ( C X. D ) C_ ( a X. b ) ) )
28		sseq1 3626	. . . . . . 7 |- ( c = ( a X. b ) -> ( c C_ ( A X. B ) <-> ( a X. b ) C_ ( A X. B ) ) )
29	27, 28	anbi12d 747	. . . . . 6 |- ( c = ( a X. b ) -> ( ( ( C X. D ) C_ c /\ c C_ ( A X. B ) ) <-> ( ( C X. D ) C_ ( a X. b ) /\ ( a X. b ) C_ ( A X. B ) ) ) )
30	29	rspcev 3309	. . . . 5 |- ( ( ( a X. b ) e. ( J tX K ) /\ ( ( C X. D ) C_ ( a X. b ) /\ ( a X. b ) C_ ( A X. B ) ) ) -> E. c e. ( J tX K ) ( ( C X. D ) C_ c /\ c C_ ( A X. B ) ) )
31	16, 21, 26, 30	syl12anc 1324	. . . 4 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A e. ( ( nei ` J ) ` C ) /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) ) /\ a e. J ) /\ ( C C_ a /\ a C_ A ) ) /\ b e. K ) /\ ( D C_ b /\ b C_ B ) ) -> E. c e. ( J tX K ) ( ( C X. D ) C_ c /\ c C_ ( A X. B ) ) )
32		neii2 20912	. . . . . 6 |- ( ( K e. Top /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) -> E. b e. K ( D C_ b /\ b C_ B ) )
33	32	ad2ant2l 782	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A e. ( ( nei ` J ) ` C ) /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) ) -> E. b e. K ( D C_ b /\ b C_ B ) )
34	33	ad2antrr 762	. . . 4 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A e. ( ( nei ` J ) ` C ) /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) ) /\ a e. J ) /\ ( C C_ a /\ a C_ A ) ) -> E. b e. K ( D C_ b /\ b C_ B ) )
35	31, 34	r19.29a 3078	. . 3 |- ( ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A e. ( ( nei ` J ) ` C ) /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) ) /\ a e. J ) /\ ( C C_ a /\ a C_ A ) ) -> E. c e. ( J tX K ) ( ( C X. D ) C_ c /\ c C_ ( A X. B ) ) )
36		neii2 20912	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ A e. ( ( nei ` J ) ` C ) ) -> E. a e. J ( C C_ a /\ a C_ A ) )
37	36	ad2ant2r 783	. . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A e. ( ( nei ` J ) ` C ) /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) ) -> E. a e. J ( C C_ a /\ a C_ A ) )
38	35, 37	r19.29a 3078	. 2 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A e. ( ( nei ` J ) ` C ) /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) ) -> E. c e. ( J tX K ) ( ( C X. D ) C_ c /\ c C_ ( A X. B ) ) )
39		txtop 21372	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top ) -> ( J tX K ) e. Top )
40	39	adantr 481	. . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A e. ( ( nei ` J ) ` C ) /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) ) -> ( J tX K ) e. Top )
41	1	neiss2 20905	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ A e. ( ( nei ` J ) ` C ) ) -> C C_ X )
42	41	ad2ant2r 783	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A e. ( ( nei ` J ) ` C ) /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) ) -> C C_ X )
43	4	neiss2 20905	. . . . . 6 |- ( ( K e. Top /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) -> D C_ Y )
44	43	ad2ant2l 782	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A e. ( ( nei ` J ) ` C ) /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) ) -> D C_ Y )
45		xpss12 5225	. . . . 5 |- ( ( C C_ X /\ D C_ Y ) -> ( C X. D ) C_ ( X X. Y ) )
46	42, 44, 45	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A e. ( ( nei ` J ) ` C ) /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) ) -> ( C X. D ) C_ ( X X. Y ) )
47	46, 10	sseqtrd 3641	. . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A e. ( ( nei ` J ) ` C ) /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) ) -> ( C X. D ) C_ U. ( J tX K ) )
48		eqid 2622	. . . 4 |- U. ( J tX K ) = U. ( J tX K )
49	48	isnei 20907	. . 3 |- ( ( ( J tX K ) e. Top /\ ( C X. D ) C_ U. ( J tX K ) ) -> ( ( A X. B ) e. ( ( nei ` ( J tX K ) ) ` ( C X. D ) ) <-> ( ( A X. B ) C_ U. ( J tX K ) /\ E. c e. ( J tX K ) ( ( C X. D ) C_ c /\ c C_ ( A X. B ) ) ) ) )
50	40, 47, 49	syl2anc 693	. 2 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A e. ( ( nei ` J ) ` C ) /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) ) -> ( ( A X. B ) e. ( ( nei ` ( J tX K ) ) ` ( C X. D ) ) <-> ( ( A X. B ) C_ U. ( J tX K ) /\ E. c e. ( J tX K ) ( ( C X. D ) C_ c /\ c C_ ( A X. B ) ) ) ) )
51	11, 38, 50	mpbir2and 957	1 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( A e. ( ( nei ` J ) ` C ) /\ B e. ( ( nei ` K ) ` D ) ) ) -> ( A X. B ) e. ( ( nei ` ( J tX K ) ) ` ( C X. D ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   C_ wss 3574   U.cuni 4436   X. cxp 5112   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Topctop 20698   neicnei 20901   tX ctx 21363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-topgen 16104  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-nei 20902  df-tx 21365

This theorem is referenced by:  utop2nei  22054  utop3cls  22055