Theorem txdis1cn 21438

Description: A function is jointly continuous on a discrete left topology iff it is continuous as a function of its right argument, for each fixed left value. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
txdis1cn.x	|- ( ph -> X e. V )
txdis1cn.j	|- ( ph -> J e. (TopOn ` Y ) )
txdis1cn.k	|- ( ph -> K e. Top )
txdis1cn.f	|- ( ph -> F Fn ( X X. Y ) )
txdis1cn.1	|- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( y e. Y |-> ( x F y ) ) e. ( J Cn K ) )

Assertion

Ref	Expression
txdis1cn	|- ( ph -> F e. ( ( ~P X tX J ) Cn K ) )

Distinct variable groups:   x, y, F   x, J   x, X, y   x, K, y   ph, x   x, Y, y

Allowed substitution hints:   ph( y)   J( y)   V( x, y)

Proof of Theorem txdis1cn

Dummy variables a b m n u v z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		txdis1cn.f	. . 3 |- ( ph -> F Fn ( X X. Y ) )
2		txdis1cn.j	. . . . . . 7 |- ( ph -> J e. (TopOn ` Y ) )
3	2	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> J e. (TopOn ` Y ) )
4		txdis1cn.k	. . . . . . . 8 |- ( ph -> K e. Top )
5		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- U. K = U. K
6	5	toptopon 20722	. . . . . . . 8 |- ( K e. Top <-> K e. (TopOn ` U. K ) )
7	4, 6	sylib 208	. . . . . . 7 |- ( ph -> K e. (TopOn ` U. K ) )
8	7	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> K e. (TopOn ` U. K ) )
9		txdis1cn.1	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( y e. Y |-> ( x F y ) ) e. ( J Cn K ) )
10		cnf2 21053	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` Y ) /\ K e. (TopOn ` U. K ) /\ ( y e. Y |-> ( x F y ) ) e. ( J Cn K ) ) -> ( y e. Y |-> ( x F y ) ) : Y --> U. K )
11	3, 8, 9, 10	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( y e. Y |-> ( x F y ) ) : Y --> U. K )
12		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( y e. Y |-> ( x F y ) ) = ( y e. Y |-> ( x F y ) )
13	12	fmpt 6381	. . . . 5 |- ( A. y e. Y ( x F y ) e. U. K <-> ( y e. Y |-> ( x F y ) ) : Y --> U. K )
14	11, 13	sylibr 224	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> A. y e. Y ( x F y ) e. U. K )
15	14	ralrimiva 2966	. . 3 |- ( ph -> A. x e. X A. y e. Y ( x F y ) e. U. K )
16		ffnov 6764	. . 3 |- ( F : ( X X. Y ) --> U. K <-> ( F Fn ( X X. Y ) /\ A. x e. X A. y e. Y ( x F y ) e. U. K ) )
17	1, 15, 16	sylanbrc 698	. 2 |- ( ph -> F : ( X X. Y ) --> U. K )
18		cnvimass 5485	. . . . . . . 8 |- ( `' F " u ) C_ dom F
19	1	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ u e. K ) -> F Fn ( X X. Y ) )
20		fndm 5990	. . . . . . . . 9 |- ( F Fn ( X X. Y ) -> dom F = ( X X. Y ) )
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ u e. K ) -> dom F = ( X X. Y ) )
22	18, 21	syl5sseq 3653	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ u e. K ) -> ( `' F " u ) C_ ( X X. Y ) )
23		relxp 5227	. . . . . . 7 |- Rel ( X X. Y )
24		relss 5206	. . . . . . 7 |- ( ( `' F " u ) C_ ( X X. Y ) -> ( Rel ( X X. Y ) -> Rel ( `' F " u ) ) )
25	22, 23, 24	mpisyl 21	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ u e. K ) -> Rel ( `' F " u ) )
26		elpreima 6337	. . . . . . . 8 |- ( F Fn ( X X. Y ) -> ( <. x , z >. e. ( `' F " u ) <-> ( <. x , z >. e. ( X X. Y ) /\ ( F ` <. x , z >. ) e. u ) ) )
27	19, 26	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ u e. K ) -> ( <. x , z >. e. ( `' F " u ) <-> ( <. x , z >. e. ( X X. Y ) /\ ( F ` <. x , z >. ) e. u ) ) )
28		opelxp 5146	. . . . . . . . 9 |- ( <. x , z >. e. ( X X. Y ) <-> ( x e. X /\ z e. Y ) )
29		df-ov 6653	. . . . . . . . . . 11 |- ( x F z ) = ( F ` <. x , z >. )
30	29	eqcomi 2631	. . . . . . . . . 10 |- ( F ` <. x , z >. ) = ( x F z )
31	30	eleq1i 2692	. . . . . . . . 9 |- ( ( F ` <. x , z >. ) e. u <-> ( x F z ) e. u )
32	28, 31	anbi12i 733	. . . . . . . 8 |- ( ( <. x , z >. e. ( X X. Y ) /\ ( F ` <. x , z >. ) e. u ) <-> ( ( x e. X /\ z e. Y ) /\ ( x F z ) e. u ) )
33		simprll 802	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ u e. K ) /\ ( ( x e. X /\ z e. Y ) /\ ( x F z ) e. u ) ) -> x e. X )
34		snelpwi 4912	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. X -> { x } e. ~P X )
35	33, 34	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ u e. K ) /\ ( ( x e. X /\ z e. Y ) /\ ( x F z ) e. u ) ) -> { x } e. ~P X )
36	12	mptpreima 5628	. . . . . . . . . . . 12 |- ( `' ( y e. Y |-> ( x F y ) ) " u ) = { y e. Y | ( x F y ) e. u }
37	9	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ z e. Y ) ) -> ( y e. Y |-> ( x F y ) ) e. ( J Cn K ) )
38	37	ad2ant2r 783	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ u e. K ) /\ ( ( x e. X /\ z e. Y ) /\ ( x F z ) e. u ) ) -> ( y e. Y |-> ( x F y ) ) e. ( J Cn K ) )
39		simplr 792	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ u e. K ) /\ ( ( x e. X /\ z e. Y ) /\ ( x F z ) e. u ) ) -> u e. K )
40		cnima 21069	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( y e. Y |-> ( x F y ) ) e. ( J Cn K ) /\ u e. K ) -> ( `' ( y e. Y |-> ( x F y ) ) " u ) e. J )
41	38, 39, 40	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ u e. K ) /\ ( ( x e. X /\ z e. Y ) /\ ( x F z ) e. u ) ) -> ( `' ( y e. Y |-> ( x F y ) ) " u ) e. J )
42	36, 41	syl5eqelr 2706	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ u e. K ) /\ ( ( x e. X /\ z e. Y ) /\ ( x F z ) e. u ) ) -> { y e. Y | ( x F y ) e. u } e. J )
43		simprlr 803	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ u e. K ) /\ ( ( x e. X /\ z e. Y ) /\ ( x F z ) e. u ) ) -> z e. Y )
44		simprr 796	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ u e. K ) /\ ( ( x e. X /\ z e. Y ) /\ ( x F z ) e. u ) ) -> ( x F z ) e. u )
45		vsnid 4209	. . . . . . . . . . . . . 14 |- x e. { x }
46		opelxp 5146	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( <. x , z >. e. ( { x } X. { y e. Y | ( x F y ) e. u } ) <-> ( x e. { x } /\ z e. { y e. Y | ( x F y ) e. u } ) )
47	45, 46	mpbiran 953	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( <. x , z >. e. ( { x } X. { y e. Y | ( x F y ) e. u } ) <-> z e. { y e. Y | ( x F y ) e. u } )
48		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = z -> ( x F y ) = ( x F z ) )
49	48	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = z -> ( ( x F y ) e. u <-> ( x F z ) e. u ) )
50	49	elrab 3363	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. { y e. Y | ( x F y ) e. u } <-> ( z e. Y /\ ( x F z ) e. u ) )
51	47, 50	bitri 264	. . . . . . . . . . . 12 |- ( <. x , z >. e. ( { x } X. { y e. Y | ( x F y ) e. u } ) <-> ( z e. Y /\ ( x F z ) e. u ) )
52	43, 44, 51	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ u e. K ) /\ ( ( x e. X /\ z e. Y ) /\ ( x F z ) e. u ) ) -> <. x , z >. e. ( { x } X. { y e. Y | ( x F y ) e. u } ) )
53		relxp 5227	. . . . . . . . . . . . 13 |- Rel ( { x } X. { y e. Y | ( x F y ) e. u } )
54	53	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ u e. K ) /\ ( ( x e. X /\ z e. Y ) /\ ( x F z ) e. u ) ) -> Rel ( { x } X. { y e. Y | ( x F y ) e. u } ) )
55		opelxp 5146	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( <. n , m >. e. ( { x } X. { y e. Y | ( x F y ) e. u } ) <-> ( n e. { x } /\ m e. { y e. Y | ( x F y ) e. u } ) )
56	33	snssd 4340	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ u e. K ) /\ ( ( x e. X /\ z e. Y ) /\ ( x F z ) e. u ) ) -> { x } C_ X )
57	56	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ u e. K ) /\ ( ( x e. X /\ z e. Y ) /\ ( x F z ) e. u ) ) /\ n e. { x } ) -> n e. X )
58	57	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ u e. K ) /\ ( ( x e. X /\ z e. Y ) /\ ( x F z ) e. u ) ) /\ ( n e. { x } /\ m e. { y e. Y | ( x F y ) e. u } ) ) -> n e. X )
59		elrabi 3359	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( m e. { y e. Y | ( x F y ) e. u } -> m e. Y )
60	59	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ u e. K ) /\ ( ( x e. X /\ z e. Y ) /\ ( x F z ) e. u ) ) /\ ( n e. { x } /\ m e. { y e. Y | ( x F y ) e. u } ) ) -> m e. Y )
61		opelxp 5146	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( <. n , m >. e. ( X X. Y ) <-> ( n e. X /\ m e. Y ) )
62	58, 60, 61	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ u e. K ) /\ ( ( x e. X /\ z e. Y ) /\ ( x F z ) e. u ) ) /\ ( n e. { x } /\ m e. { y e. Y | ( x F y ) e. u } ) ) -> <. n , m >. e. ( X X. Y ) )
63		df-ov 6653	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n F m ) = ( F ` <. n , m >. )
64		elsni 4194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n e. { x } -> n = x )
65	64	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ u e. K ) /\ ( ( x e. X /\ z e. Y ) /\ ( x F z ) e. u ) ) /\ ( n e. { x } /\ m e. { y e. Y | ( x F y ) e. u } ) ) -> n = x )
66	65	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ u e. K ) /\ ( ( x e. X /\ z e. Y ) /\ ( x F z ) e. u ) ) /\ ( n e. { x } /\ m e. { y e. Y | ( x F y ) e. u } ) ) -> ( n F m ) = ( x F m ) )
67	63, 66	syl5eqr 2670	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ u e. K ) /\ ( ( x e. X /\ z e. Y ) /\ ( x F z ) e. u ) ) /\ ( n e. { x } /\ m e. { y e. Y | ( x F y ) e. u } ) ) -> ( F ` <. n , m >. ) = ( x F m ) )
68		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = m -> ( x F y ) = ( x F m ) )
69	68	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = m -> ( ( x F y ) e. u <-> ( x F m ) e. u ) )
70	69	elrab 3363	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( m e. { y e. Y | ( x F y ) e. u } <-> ( m e. Y /\ ( x F m ) e. u ) )
71	70	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( m e. { y e. Y | ( x F y ) e. u } -> ( x F m ) e. u )
72	71	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ u e. K ) /\ ( ( x e. X /\ z e. Y ) /\ ( x F z ) e. u ) ) /\ ( n e. { x } /\ m e. { y e. Y | ( x F y ) e. u } ) ) -> ( x F m ) e. u )
73	67, 72	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ u e. K ) /\ ( ( x e. X /\ z e. Y ) /\ ( x F z ) e. u ) ) /\ ( n e. { x } /\ m e. { y e. Y | ( x F y ) e. u } ) ) -> ( F ` <. n , m >. ) e. u )
74		elpreima 6337	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( F Fn ( X X. Y ) -> ( <. n , m >. e. ( `' F " u ) <-> ( <. n , m >. e. ( X X. Y ) /\ ( F ` <. n , m >. ) e. u ) ) )
75	1, 74	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( <. n , m >. e. ( `' F " u ) <-> ( <. n , m >. e. ( X X. Y ) /\ ( F ` <. n , m >. ) e. u ) ) )
76	75	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ u e. K ) /\ ( ( x e. X /\ z e. Y ) /\ ( x F z ) e. u ) ) /\ ( n e. { x } /\ m e. { y e. Y | ( x F y ) e. u } ) ) -> ( <. n , m >. e. ( `' F " u ) <-> ( <. n , m >. e. ( X X. Y ) /\ ( F ` <. n , m >. ) e. u ) ) )
77	62, 73, 76	mpbir2and 957	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ u e. K ) /\ ( ( x e. X /\ z e. Y ) /\ ( x F z ) e. u ) ) /\ ( n e. { x } /\ m e. { y e. Y | ( x F y ) e. u } ) ) -> <. n , m >. e. ( `' F " u ) )
78	77	ex 450	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ u e. K ) /\ ( ( x e. X /\ z e. Y ) /\ ( x F z ) e. u ) ) -> ( ( n e. { x } /\ m e. { y e. Y | ( x F y ) e. u } ) -> <. n , m >. e. ( `' F " u ) ) )
79	55, 78	syl5bi 232	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ u e. K ) /\ ( ( x e. X /\ z e. Y ) /\ ( x F z ) e. u ) ) -> ( <. n , m >. e. ( { x } X. { y e. Y | ( x F y ) e. u } ) -> <. n , m >. e. ( `' F " u ) ) )
80	54, 79	relssdv 5212	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ u e. K ) /\ ( ( x e. X /\ z e. Y ) /\ ( x F z ) e. u ) ) -> ( { x } X. { y e. Y | ( x F y ) e. u } ) C_ ( `' F " u ) )
81		xpeq1 5128	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a = { x } -> ( a X. b ) = ( { x } X. b ) )
82	81	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = { x } -> ( <. x , z >. e. ( a X. b ) <-> <. x , z >. e. ( { x } X. b ) ) )
83	81	sseq1d 3632	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = { x } -> ( ( a X. b ) C_ ( `' F " u ) <-> ( { x } X. b ) C_ ( `' F " u ) ) )
84	82, 83	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = { x } -> ( ( <. x , z >. e. ( a X. b ) /\ ( a X. b ) C_ ( `' F " u ) ) <-> ( <. x , z >. e. ( { x } X. b ) /\ ( { x } X. b ) C_ ( `' F " u ) ) ) )
85		xpeq2 5129	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b = { y e. Y | ( x F y ) e. u } -> ( { x } X. b ) = ( { x } X. { y e. Y | ( x F y ) e. u } ) )
86	85	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b = { y e. Y | ( x F y ) e. u } -> ( <. x , z >. e. ( { x } X. b ) <-> <. x , z >. e. ( { x } X. { y e. Y | ( x F y ) e. u } ) ) )
87	85	sseq1d 3632	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b = { y e. Y | ( x F y ) e. u } -> ( ( { x } X. b ) C_ ( `' F " u ) <-> ( { x } X. { y e. Y | ( x F y ) e. u } ) C_ ( `' F " u ) ) )
88	86, 87	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b = { y e. Y | ( x F y ) e. u } -> ( ( <. x , z >. e. ( { x } X. b ) /\ ( { x } X. b ) C_ ( `' F " u ) ) <-> ( <. x , z >. e. ( { x } X. { y e. Y | ( x F y ) e. u } ) /\ ( { x } X. { y e. Y | ( x F y ) e. u } ) C_ ( `' F " u ) ) ) )
89	84, 88	rspc2ev 3324	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( { x } e. ~P X /\ { y e. Y | ( x F y ) e. u } e. J /\ ( <. x , z >. e. ( { x } X. { y e. Y | ( x F y ) e. u } ) /\ ( { x } X. { y e. Y | ( x F y ) e. u } ) C_ ( `' F " u ) ) ) -> E. a e. ~P X E. b e. J ( <. x , z >. e. ( a X. b ) /\ ( a X. b ) C_ ( `' F " u ) ) )
90	35, 42, 52, 80, 89	syl112anc 1330	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ u e. K ) /\ ( ( x e. X /\ z e. Y ) /\ ( x F z ) e. u ) ) -> E. a e. ~P X E. b e. J ( <. x , z >. e. ( a X. b ) /\ ( a X. b ) C_ ( `' F " u ) ) )
91		opex 4932	. . . . . . . . . . 11 |- <. x , z >. e. _V
92		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( v = <. x , z >. -> ( v e. ( a X. b ) <-> <. x , z >. e. ( a X. b ) ) )
93	92	anbi1d 741	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v = <. x , z >. -> ( ( v e. ( a X. b ) /\ ( a X. b ) C_ ( `' F " u ) ) <-> ( <. x , z >. e. ( a X. b ) /\ ( a X. b ) C_ ( `' F " u ) ) ) )
94	93	2rexbidv 3057	. . . . . . . . . . 11 |- ( v = <. x , z >. -> ( E. a e. ~P X E. b e. J ( v e. ( a X. b ) /\ ( a X. b ) C_ ( `' F " u ) ) <-> E. a e. ~P X E. b e. J ( <. x , z >. e. ( a X. b ) /\ ( a X. b ) C_ ( `' F " u ) ) ) )
95	91, 94	elab 3350	. . . . . . . . . 10 |- ( <. x , z >. e. { v | E. a e. ~P X E. b e. J ( v e. ( a X. b ) /\ ( a X. b ) C_ ( `' F " u ) ) } <-> E. a e. ~P X E. b e. J ( <. x , z >. e. ( a X. b ) /\ ( a X. b ) C_ ( `' F " u ) ) )
96	90, 95	sylibr 224	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ u e. K ) /\ ( ( x e. X /\ z e. Y ) /\ ( x F z ) e. u ) ) -> <. x , z >. e. { v | E. a e. ~P X E. b e. J ( v e. ( a X. b ) /\ ( a X. b ) C_ ( `' F " u ) ) } )
97	96	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ u e. K ) -> ( ( ( x e. X /\ z e. Y ) /\ ( x F z ) e. u ) -> <. x , z >. e. { v | E. a e. ~P X E. b e. J ( v e. ( a X. b ) /\ ( a X. b ) C_ ( `' F " u ) ) } ) )
98	32, 97	syl5bi 232	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ u e. K ) -> ( ( <. x , z >. e. ( X X. Y ) /\ ( F ` <. x , z >. ) e. u ) -> <. x , z >. e. { v | E. a e. ~P X E. b e. J ( v e. ( a X. b ) /\ ( a X. b ) C_ ( `' F " u ) ) } ) )
99	27, 98	sylbid 230	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ u e. K ) -> ( <. x , z >. e. ( `' F " u ) -> <. x , z >. e. { v | E. a e. ~P X E. b e. J ( v e. ( a X. b ) /\ ( a X. b ) C_ ( `' F " u ) ) } ) )
100	25, 99	relssdv 5212	. . . . 5 |- ( ( ph /\ u e. K ) -> ( `' F " u ) C_ { v | E. a e. ~P X E. b e. J ( v e. ( a X. b ) /\ ( a X. b ) C_ ( `' F " u ) ) } )
101		ssabral 3673	. . . . 5 |- ( ( `' F " u ) C_ { v | E. a e. ~P X E. b e. J ( v e. ( a X. b ) /\ ( a X. b ) C_ ( `' F " u ) ) } <-> A. v e. ( `' F " u ) E. a e. ~P X E. b e. J ( v e. ( a X. b ) /\ ( a X. b ) C_ ( `' F " u ) ) )
102	100, 101	sylib 208	. . . 4 |- ( ( ph /\ u e. K ) -> A. v e. ( `' F " u ) E. a e. ~P X E. b e. J ( v e. ( a X. b ) /\ ( a X. b ) C_ ( `' F " u ) ) )
103		txdis1cn.x	. . . . . . 7 |- ( ph -> X e. V )
104		distopon 20801	. . . . . . 7 |- ( X e. V -> ~P X e. (TopOn ` X ) )
105	103, 104	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ~P X e. (TopOn ` X ) )
106	105	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ u e. K ) -> ~P X e. (TopOn ` X ) )
107	2	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ u e. K ) -> J e. (TopOn ` Y ) )
108		eltx 21371	. . . . 5 |- ( ( ~P X e. (TopOn ` X ) /\ J e. (TopOn ` Y ) ) -> ( ( `' F " u ) e. ( ~P X tX J ) <-> A. v e. ( `' F " u ) E. a e. ~P X E. b e. J ( v e. ( a X. b ) /\ ( a X. b ) C_ ( `' F " u ) ) ) )
109	106, 107, 108	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ph /\ u e. K ) -> ( ( `' F " u ) e. ( ~P X tX J ) <-> A. v e. ( `' F " u ) E. a e. ~P X E. b e. J ( v e. ( a X. b ) /\ ( a X. b ) C_ ( `' F " u ) ) ) )
110	102, 109	mpbird 247	. . 3 |- ( ( ph /\ u e. K ) -> ( `' F " u ) e. ( ~P X tX J ) )
111	110	ralrimiva 2966	. 2 |- ( ph -> A. u e. K ( `' F " u ) e. ( ~P X tX J ) )
112		txtopon 21394	. . . 4 |- ( ( ~P X e. (TopOn ` X ) /\ J e. (TopOn ` Y ) ) -> ( ~P X tX J ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) )
113	105, 2, 112	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> ( ~P X tX J ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) )
114		iscn 21039	. . 3 |- ( ( ( ~P X tX J ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) /\ K e. (TopOn ` U. K ) ) -> ( F e. ( ( ~P X tX J ) Cn K ) <-> ( F : ( X X. Y ) --> U. K /\ A. u e. K ( `' F " u ) e. ( ~P X tX J ) ) ) )
115	113, 7, 114	syl2anc 693	. 2 |- ( ph -> ( F e. ( ( ~P X tX J ) Cn K ) <-> ( F : ( X X. Y ) --> U. K /\ A. u e. K ( `' F " u ) e. ( ~P X tX J ) ) ) )
116	17, 111, 115	mpbir2and 957	1 |- ( ph -> F e. ( ( ~P X tX J ) Cn K ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   {csn 4177   <.cop 4183   U.cuni 4436   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   "cima 5117   Rel wrel 5119   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Topctop 20698  TopOnctopon 20715   Cn ccn 21028   tX ctx 21363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-map 7859  df-topgen 16104  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cn 21031  df-tx 21365

This theorem is referenced by:  tgpmulg2  21898