Theorem cnima 21069

Description: An open subset of the codomain of a continuous function has an open preimage. (Contributed by FL, 15-Dec-2006.)

Assertion

Ref	Expression
cnima	|- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ A e. K ) -> ( `' F " A ) e. J )

Proof of Theorem cnima

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . . . 5 |- U. J = U. J
2		eqid 2622	. . . . 5 |- U. K = U. K
3	1, 2	iscn2 21042	. . . 4 |- ( F e. ( J Cn K ) <-> ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : U. J --> U. K /\ A. x e. K ( `' F " x ) e. J ) ) )
4	3	simprbi 480	. . 3 |- ( F e. ( J Cn K ) -> ( F : U. J --> U. K /\ A. x e. K ( `' F " x ) e. J ) )
5	4	simprd 479	. 2 |- ( F e. ( J Cn K ) -> A. x e. K ( `' F " x ) e. J )
6		imaeq2 5462	. . . 4 |- ( x = A -> ( `' F " x ) = ( `' F " A ) )
7	6	eleq1d 2686	. . 3 |- ( x = A -> ( ( `' F " x ) e. J <-> ( `' F " A ) e. J ) )
8	7	rspccva 3308	. 2 |- ( ( A. x e. K ( `' F " x ) e. J /\ A e. K ) -> ( `' F " A ) e. J )
9	5, 8	sylan 488	1 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ A e. K ) -> ( `' F " A ) e. J )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   U.cuni 4436   `'ccnv 5113   "cima 5117   -->wf 5884  (class class class)co 6650   Topctop 20698   Cn ccn 21028

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-map 7859  df-top 20699  df-topon 20716  df-cn 21031

This theorem is referenced by:  cnco  21070  cnclima  21072  cnntri  21075  cnss1  21080  cnss2  21081  cncnpi  21082  cnrest  21089  cnt0  21150  cnhaus  21158  cncmp  21195  cnconn  21225  2ndcomap  21261  kgencn3  21361  txcnmpt  21427  txdis1cn  21438  pthaus  21441  ptrescn  21442  txkgen  21455  xkoco2cn  21461  xkococnlem  21462  txconn  21492  imasnopn  21493  qtopkgen  21513  qtopss  21518  isr0  21540  kqreglem1  21544  kqreglem2  21545  kqnrmlem1  21546  kqnrmlem2  21547  hmeoima  21568  hmeoopn  21569  hmeoimaf1o  21573  reghmph  21596  nrmhmph  21597  tmdgsum2  21900  symgtgp  21905  ghmcnp  21918  tgpt0  21922  qustgpopn  21923  qustgplem  21924  nmhmcn  22920  mbfimaopnlem  23422  cncombf  23425  cnmbf  23426  dvloglem  24394  efopnlem2  24403  efopn  24404  atansopn  24659  cnmbfm  30325  cvmsss2  31256  cvmliftmolem2  31264  cvmliftlem15  31280  cvmlift2lem9a  31285  cvmlift2lem9  31293  cvmlift2lem10  31294  cvmlift3lem6  31306  cvmlift3lem8  31308  dvtanlem  33459  rfcnpre1  39178  rfcnpre2  39190  icccncfext  40100