Theorem ucnima 22085

Description: An equivalent statement of the definition of uniformly continuous function. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Nov-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
ucnprima.1	|- ( ph -> U e. (UnifOn ` X ) )
ucnprima.2	|- ( ph -> V e. (UnifOn ` Y ) )
ucnprima.3	|- ( ph -> F e. ( U Cnu V ) )
ucnprima.4	|- ( ph -> W e. V )
ucnprima.5	|- G = ( x e. X , y e. X |-> <. ( F ` x ) , ( F ` y ) >. )

Assertion

Ref	Expression
ucnima	|- ( ph -> E. r e. U ( G " r ) C_ W )

Distinct variable groups:   x, y, F   x, X, y, r   F, r   x, G, y   U, r, x, y   V, r, x   W, r, x, y   X, r   Y, r, x   ph, r, x, y

Allowed substitution hints:   G( r)   V( y)   Y( y)

Proof of Theorem ucnima

Dummy variables p w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ucnprima.4	. . . . 5 |- ( ph -> W e. V )
2		ucnprima.3	. . . . . . 7 |- ( ph -> F e. ( U Cnu V ) )
3		ucnprima.1	. . . . . . . 8 |- ( ph -> U e. (UnifOn ` X ) )
4		ucnprima.2	. . . . . . . 8 |- ( ph -> V e. (UnifOn ` Y ) )
5		isucn 22082	. . . . . . . 8 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ V e. (UnifOn ` Y ) ) -> ( F e. ( U Cnu V ) <-> ( F : X --> Y /\ A. w e. V E. r e. U A. x e. X A. y e. X ( x r y -> ( F ` x ) w ( F ` y ) ) ) ) )
6	3, 4, 5	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F e. ( U Cnu V ) <-> ( F : X --> Y /\ A. w e. V E. r e. U A. x e. X A. y e. X ( x r y -> ( F ` x ) w ( F ` y ) ) ) ) )
7	2, 6	mpbid 222	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F : X --> Y /\ A. w e. V E. r e. U A. x e. X A. y e. X ( x r y -> ( F ` x ) w ( F ` y ) ) ) )
8	7	simprd 479	. . . . 5 |- ( ph -> A. w e. V E. r e. U A. x e. X A. y e. X ( x r y -> ( F ` x ) w ( F ` y ) ) )
9		breq 4655	. . . . . . . . 9 |- ( w = W -> ( ( F ` x ) w ( F ` y ) <-> ( F ` x ) W ( F ` y ) ) )
10	9	imbi2d 330	. . . . . . . 8 |- ( w = W -> ( ( x r y -> ( F ` x ) w ( F ` y ) ) <-> ( x r y -> ( F ` x ) W ( F ` y ) ) ) )
11	10	ralbidv 2986	. . . . . . 7 |- ( w = W -> ( A. y e. X ( x r y -> ( F ` x ) w ( F ` y ) ) <-> A. y e. X ( x r y -> ( F ` x ) W ( F ` y ) ) ) )
12	11	rexralbidv 3058	. . . . . 6 |- ( w = W -> ( E. r e. U A. x e. X A. y e. X ( x r y -> ( F ` x ) w ( F ` y ) ) <-> E. r e. U A. x e. X A. y e. X ( x r y -> ( F ` x ) W ( F ` y ) ) ) )
13	12	rspcv 3305	. . . . 5 |- ( W e. V -> ( A. w e. V E. r e. U A. x e. X A. y e. X ( x r y -> ( F ` x ) w ( F ` y ) ) -> E. r e. U A. x e. X A. y e. X ( x r y -> ( F ` x ) W ( F ` y ) ) ) )
14	1, 8, 13	sylc 65	. . . 4 |- ( ph -> E. r e. U A. x e. X A. y e. X ( x r y -> ( F ` x ) W ( F ` y ) ) )
15		simplll 798	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ r e. U ) /\ A. x e. X A. y e. X ( x r y -> ( F ` x ) W ( F ` y ) ) ) /\ p e. r ) -> ph )
16		simplr 792	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ r e. U ) /\ A. x e. X A. y e. X ( x r y -> ( F ` x ) W ( F ` y ) ) ) /\ p e. r ) -> A. x e. X A. y e. X ( x r y -> ( F ` x ) W ( F ` y ) ) )
17	15, 16	jca 554	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ r e. U ) /\ A. x e. X A. y e. X ( x r y -> ( F ` x ) W ( F ` y ) ) ) /\ p e. r ) -> ( ph /\ A. x e. X A. y e. X ( x r y -> ( F ` x ) W ( F ` y ) ) ) )
18		ustssxp 22008	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ r e. U ) -> r C_ ( X X. X ) )
19	3, 18	sylan 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ r e. U ) -> r C_ ( X X. X ) )
20	19	sselda 3603	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ r e. U ) /\ p e. r ) -> p e. ( X X. X ) )
21	20	adantlr 751	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ r e. U ) /\ A. x e. X A. y e. X ( x r y -> ( F ` x ) W ( F ` y ) ) ) /\ p e. r ) -> p e. ( X X. X ) )
22		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ r e. U ) /\ A. x e. X A. y e. X ( x r y -> ( F ` x ) W ( F ` y ) ) ) /\ p e. r ) -> p e. r )
23		simplr 792	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ A. x e. X A. y e. X ( x r y -> ( F ` x ) W ( F ` y ) ) ) /\ p e. ( X X. X ) ) -> A. x e. X A. y e. X ( x r y -> ( F ` x ) W ( F ` y ) ) )
24		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ p e. ( X X. X ) ) -> p e. ( X X. X ) )
25		elxp2 5132	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( p e. ( X X. X ) <-> E. x e. X E. y e. X p = <. x , y >. )
26	24, 25	sylib 208	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ p e. ( X X. X ) ) -> E. x e. X E. y e. X p = <. x , y >. )
27		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ p = <. x , y >. ) -> p = <. x , y >. )
28	27	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ p = <. x , y >. ) -> ( p e. r <-> <. x , y >. e. r ) )
29	28	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ p e. ( X X. X ) ) /\ p = <. x , y >. ) -> ( p e. r <-> <. x , y >. e. r ) )
30		df-br 4654	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x r y <-> <. x , y >. e. r )
31	29, 30	syl6bbr 278	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ p e. ( X X. X ) ) /\ p = <. x , y >. ) -> ( p e. r <-> x r y ) )
32		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ p e. ( X X. X ) ) /\ p = <. x , y >. ) -> p e. ( X X. X ) )
33		opex 4932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- <. ( F ` ( 1st ` p ) ) , ( F ` ( 2nd ` p ) ) >. e. _V
34		ucnprima.5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- G = ( x e. X , y e. X |-> <. ( F ` x ) , ( F ` y ) >. )
35	3, 4, 2, 1, 34	ucnimalem 22084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- G = ( p e. ( X X. X ) |-> <. ( F ` ( 1st ` p ) ) , ( F ` ( 2nd ` p ) ) >. )
36	35	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( p e. ( X X. X ) /\ <. ( F ` ( 1st ` p ) ) , ( F ` ( 2nd ` p ) ) >. e. _V ) -> ( G ` p ) = <. ( F ` ( 1st ` p ) ) , ( F ` ( 2nd ` p ) ) >. )
37	32, 33, 36	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ p e. ( X X. X ) ) /\ p = <. x , y >. ) -> ( G ` p ) = <. ( F ` ( 1st ` p ) ) , ( F ` ( 2nd ` p ) ) >. )
38		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ p e. ( X X. X ) ) /\ p = <. x , y >. ) -> p = <. x , y >. )
39		1st2nd2 7205	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( p e. ( X X. X ) -> p = <. ( 1st ` p ) , ( 2nd ` p ) >. )
40	32, 39	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ p e. ( X X. X ) ) /\ p = <. x , y >. ) -> p = <. ( 1st ` p ) , ( 2nd ` p ) >. )
41	38, 40	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ p e. ( X X. X ) ) /\ p = <. x , y >. ) -> <. x , y >. = <. ( 1st ` p ) , ( 2nd ` p ) >. )
42		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- x e. _V
43		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- y e. _V
44	42, 43	opth 4945	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( <. x , y >. = <. ( 1st ` p ) , ( 2nd ` p ) >. <-> ( x = ( 1st ` p ) /\ y = ( 2nd ` p ) ) )
45	41, 44	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ p e. ( X X. X ) ) /\ p = <. x , y >. ) -> ( x = ( 1st ` p ) /\ y = ( 2nd ` p ) ) )
46	45	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ p e. ( X X. X ) ) /\ p = <. x , y >. ) -> x = ( 1st ` p ) )
47	46	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ p e. ( X X. X ) ) /\ p = <. x , y >. ) -> ( F ` x ) = ( F ` ( 1st ` p ) ) )
48	45	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ p e. ( X X. X ) ) /\ p = <. x , y >. ) -> y = ( 2nd ` p ) )
49	48	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ p e. ( X X. X ) ) /\ p = <. x , y >. ) -> ( F ` y ) = ( F ` ( 2nd ` p ) ) )
50	47, 49	opeq12d 4410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ p e. ( X X. X ) ) /\ p = <. x , y >. ) -> <. ( F ` x ) , ( F ` y ) >. = <. ( F ` ( 1st ` p ) ) , ( F ` ( 2nd ` p ) ) >. )
51	37, 50	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ p e. ( X X. X ) ) /\ p = <. x , y >. ) -> ( G ` p ) = <. ( F ` x ) , ( F ` y ) >. )
52	51	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ p e. ( X X. X ) ) /\ p = <. x , y >. ) -> ( ( G ` p ) e. W <-> <. ( F ` x ) , ( F ` y ) >. e. W ) )
53		df-br 4654	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F ` x ) W ( F ` y ) <-> <. ( F ` x ) , ( F ` y ) >. e. W )
54	52, 53	syl6bbr 278	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ p e. ( X X. X ) ) /\ p = <. x , y >. ) -> ( ( G ` p ) e. W <-> ( F ` x ) W ( F ` y ) ) )
55	31, 54	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ p e. ( X X. X ) ) /\ p = <. x , y >. ) -> ( ( p e. r -> ( G ` p ) e. W ) <-> ( x r y -> ( F ` x ) W ( F ` y ) ) ) )
56	55	exbiri 652	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ p e. ( X X. X ) ) -> ( p = <. x , y >. -> ( ( x r y -> ( F ` x ) W ( F ` y ) ) -> ( p e. r -> ( G ` p ) e. W ) ) ) )
57	56	reximdv 3016	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ p e. ( X X. X ) ) -> ( E. y e. X p = <. x , y >. -> E. y e. X ( ( x r y -> ( F ` x ) W ( F ` y ) ) -> ( p e. r -> ( G ` p ) e. W ) ) ) )
58	57	reximdv 3016	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ p e. ( X X. X ) ) -> ( E. x e. X E. y e. X p = <. x , y >. -> E. x e. X E. y e. X ( ( x r y -> ( F ` x ) W ( F ` y ) ) -> ( p e. r -> ( G ` p ) e. W ) ) ) )
59	26, 58	mpd 15	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ p e. ( X X. X ) ) -> E. x e. X E. y e. X ( ( x r y -> ( F ` x ) W ( F ` y ) ) -> ( p e. r -> ( G ` p ) e. W ) ) )
60	59	adantlr 751	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ A. x e. X A. y e. X ( x r y -> ( F ` x ) W ( F ` y ) ) ) /\ p e. ( X X. X ) ) -> E. x e. X E. y e. X ( ( x r y -> ( F ` x ) W ( F ` y ) ) -> ( p e. r -> ( G ` p ) e. W ) ) )
61	23, 60	r19.29d2r 3080	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ A. x e. X A. y e. X ( x r y -> ( F ` x ) W ( F ` y ) ) ) /\ p e. ( X X. X ) ) -> E. x e. X E. y e. X ( ( x r y -> ( F ` x ) W ( F ` y ) ) /\ ( ( x r y -> ( F ` x ) W ( F ` y ) ) -> ( p e. r -> ( G ` p ) e. W ) ) ) )
62		pm3.35 611	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x r y -> ( F ` x ) W ( F ` y ) ) /\ ( ( x r y -> ( F ` x ) W ( F ` y ) ) -> ( p e. r -> ( G ` p ) e. W ) ) ) -> ( p e. r -> ( G ` p ) e. W ) )
63	62	rexlimivw 3029	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. y e. X ( ( x r y -> ( F ` x ) W ( F ` y ) ) /\ ( ( x r y -> ( F ` x ) W ( F ` y ) ) -> ( p e. r -> ( G ` p ) e. W ) ) ) -> ( p e. r -> ( G ` p ) e. W ) )
64	63	rexlimivw 3029	. . . . . . . . . 10 |- ( E. x e. X E. y e. X ( ( x r y -> ( F ` x ) W ( F ` y ) ) /\ ( ( x r y -> ( F ` x ) W ( F ` y ) ) -> ( p e. r -> ( G ` p ) e. W ) ) ) -> ( p e. r -> ( G ` p ) e. W ) )
65	61, 64	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ A. x e. X A. y e. X ( x r y -> ( F ` x ) W ( F ` y ) ) ) /\ p e. ( X X. X ) ) -> ( p e. r -> ( G ` p ) e. W ) )
66	65	imp 445	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. X A. y e. X ( x r y -> ( F ` x ) W ( F ` y ) ) ) /\ p e. ( X X. X ) ) /\ p e. r ) -> ( G ` p ) e. W )
67	17, 21, 22, 66	syl21anc 1325	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ r e. U ) /\ A. x e. X A. y e. X ( x r y -> ( F ` x ) W ( F ` y ) ) ) /\ p e. r ) -> ( G ` p ) e. W )
68	67	ralrimiva 2966	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ r e. U ) /\ A. x e. X A. y e. X ( x r y -> ( F ` x ) W ( F ` y ) ) ) -> A. p e. r ( G ` p ) e. W )
69	68	ex 450	. . . . 5 |- ( ( ph /\ r e. U ) -> ( A. x e. X A. y e. X ( x r y -> ( F ` x ) W ( F ` y ) ) -> A. p e. r ( G ` p ) e. W ) )
70	69	reximdva 3017	. . . 4 |- ( ph -> ( E. r e. U A. x e. X A. y e. X ( x r y -> ( F ` x ) W ( F ` y ) ) -> E. r e. U A. p e. r ( G ` p ) e. W ) )
71	14, 70	mpd 15	. . 3 |- ( ph -> E. r e. U A. p e. r ( G ` p ) e. W )
72	34	mpt2fun 6762	. . . . . 6 |- Fun G
73		opex 4932	. . . . . . . 8 |- <. ( F ` x ) , ( F ` y ) >. e. _V
74	34, 73	dmmpt2 7240	. . . . . . 7 |- dom G = ( X X. X )
75	19, 74	syl6sseqr 3652	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ r e. U ) -> r C_ dom G )
76		funimass4 6247	. . . . . 6 |- ( ( Fun G /\ r C_ dom G ) -> ( ( G " r ) C_ W <-> A. p e. r ( G ` p ) e. W ) )
77	72, 75, 76	sylancr 695	. . . . 5 |- ( ( ph /\ r e. U ) -> ( ( G " r ) C_ W <-> A. p e. r ( G ` p ) e. W ) )
78	77	biimprd 238	. . . 4 |- ( ( ph /\ r e. U ) -> ( A. p e. r ( G ` p ) e. W -> ( G " r ) C_ W ) )
79	78	ralrimiva 2966	. . 3 |- ( ph -> A. r e. U ( A. p e. r ( G ` p ) e. W -> ( G " r ) C_ W ) )
80		r19.29r 3073	. . 3 |- ( ( E. r e. U A. p e. r ( G ` p ) e. W /\ A. r e. U ( A. p e. r ( G ` p ) e. W -> ( G " r ) C_ W ) ) -> E. r e. U ( A. p e. r ( G ` p ) e. W /\ ( A. p e. r ( G ` p ) e. W -> ( G " r ) C_ W ) ) )
81	71, 79, 80	syl2anc 693	. 2 |- ( ph -> E. r e. U ( A. p e. r ( G ` p ) e. W /\ ( A. p e. r ( G ` p ) e. W -> ( G " r ) C_ W ) ) )
82		pm3.35 611	. . 3 |- ( ( A. p e. r ( G ` p ) e. W /\ ( A. p e. r ( G ` p ) e. W -> ( G " r ) C_ W ) ) -> ( G " r ) C_ W )
83	82	reximi 3011	. 2 |- ( E. r e. U ( A. p e. r ( G ` p ) e. W /\ ( A. p e. r ( G ` p ) e. W -> ( G " r ) C_ W ) ) -> E. r e. U ( G " r ) C_ W )
84	81, 83	syl 17	1 |- ( ph -> E. r e. U ( G " r ) C_ W )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   <.cop 4183   class class class wbr 4653   X. cxp 5112   dom cdm 5114   "cima 5117   Fun wfun 5882   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   1stc1st 7166   2ndc2nd 7167  UnifOncust 22003   Cn_ucucn 22079

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-map 7859  df-ust 22004  df-ucn 22080

This theorem is referenced by:  ucnprima  22086