Theorem uhgr2edg 26100

Description: If a vertex is adjacent to two different vertices in a hypergraph, there are more than one edges starting at this vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Dec-2017.) (Revised by AV, 11-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
usgrf1oedg.i	|- I = (iEdg ` G )
usgrf1oedg.e	|- E = (Edg ` G )
uhgr2edg.v	|- V = (Vtx ` G )

Assertion

Ref	Expression
uhgr2edg	|- ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( A e. V /\ B e. V /\ N e. V ) /\ ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) ) -> E. x e. dom I E. y e. dom I ( x =/= y /\ N e. ( I ` x ) /\ N e. ( I ` y ) ) )

Distinct variable groups:   x, G   x, A, y   x, B, y   y, G   x, I, y   x, N, y   x, V, y

Allowed substitution hints:   E( x, y)

Proof of Theorem uhgr2edg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 1085	. . 3 |- ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( A e. V /\ B e. V /\ N e. V ) /\ ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) ) -> G e. UHGraph )
2		simp1r 1086	. . 3 |- ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( A e. V /\ B e. V /\ N e. V ) /\ ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) ) -> A =/= B )
3		simp23 1096	. . . 4 |- ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( A e. V /\ B e. V /\ N e. V ) /\ ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) ) -> N e. V )
4		simp21 1094	. . . 4 |- ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( A e. V /\ B e. V /\ N e. V ) /\ ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) ) -> A e. V )
5		3simpc 1060	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ B e. V /\ N e. V ) -> ( B e. V /\ N e. V ) )
6	5	3ad2ant2 1083	. . . 4 |- ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( A e. V /\ B e. V /\ N e. V ) /\ ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) ) -> ( B e. V /\ N e. V ) )
7	3, 4, 6	jca31 557	. . 3 |- ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( A e. V /\ B e. V /\ N e. V ) /\ ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) ) -> ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) )
8	1, 2, 7	jca31 557	. 2 |- ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( A e. V /\ B e. V /\ N e. V ) /\ ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) ) -> ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) ) )
9		simp3 1063	. 2 |- ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( A e. V /\ B e. V /\ N e. V ) /\ ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) ) -> ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) )
10		usgrf1oedg.e	. . . . . . . . 9 |- E = (Edg ` G )
11	10	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( G e. UHGraph -> E = (Edg ` G ) )
12		edgval 25941	. . . . . . . . 9 |- (Edg ` G ) = ran (iEdg ` G )
13	12	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( G e. UHGraph -> (Edg ` G ) = ran (iEdg ` G ) )
14		usgrf1oedg.i	. . . . . . . . . . 11 |- I = (iEdg ` G )
15	14	eqcomi 2631	. . . . . . . . . 10 |- (iEdg ` G ) = I
16	15	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( G e. UHGraph -> (iEdg ` G ) = I )
17	16	rneqd 5353	. . . . . . . 8 |- ( G e. UHGraph -> ran (iEdg ` G ) = ran I )
18	11, 13, 17	3eqtrd 2660	. . . . . . 7 |- ( G e. UHGraph -> E = ran I )
19	18	eleq2d 2687	. . . . . 6 |- ( G e. UHGraph -> ( { N , A } e. E <-> { N , A } e. ran I ) )
20	18	eleq2d 2687	. . . . . 6 |- ( G e. UHGraph -> ( { B , N } e. E <-> { B , N } e. ran I ) )
21	19, 20	anbi12d 747	. . . . 5 |- ( G e. UHGraph -> ( ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) <-> ( { N , A } e. ran I /\ { B , N } e. ran I ) ) )
22	14	uhgrfun 25961	. . . . . . 7 |- ( G e. UHGraph -> Fun I )
23		funfn 5918	. . . . . . 7 |- ( Fun I <-> I Fn dom I )
24	22, 23	sylib 208	. . . . . 6 |- ( G e. UHGraph -> I Fn dom I )
25		fvelrnb 6243	. . . . . . 7 |- ( I Fn dom I -> ( { N , A } e. ran I <-> E. x e. dom I ( I ` x ) = { N , A } ) )
26		fvelrnb 6243	. . . . . . 7 |- ( I Fn dom I -> ( { B , N } e. ran I <-> E. y e. dom I ( I ` y ) = { B , N } ) )
27	25, 26	anbi12d 747	. . . . . 6 |- ( I Fn dom I -> ( ( { N , A } e. ran I /\ { B , N } e. ran I ) <-> ( E. x e. dom I ( I ` x ) = { N , A } /\ E. y e. dom I ( I ` y ) = { B , N } ) ) )
28	24, 27	syl 17	. . . . 5 |- ( G e. UHGraph -> ( ( { N , A } e. ran I /\ { B , N } e. ran I ) <-> ( E. x e. dom I ( I ` x ) = { N , A } /\ E. y e. dom I ( I ` y ) = { B , N } ) ) )
29	21, 28	bitrd 268	. . . 4 |- ( G e. UHGraph -> ( ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) <-> ( E. x e. dom I ( I ` x ) = { N , A } /\ E. y e. dom I ( I ` y ) = { B , N } ) ) )
30	29	ad2antrr 762	. . 3 |- ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) ) -> ( ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) <-> ( E. x e. dom I ( I ` x ) = { N , A } /\ E. y e. dom I ( I ` y ) = { B , N } ) ) )
31		reeanv 3107	. . . 4 |- ( E. x e. dom I E. y e. dom I ( ( I ` x ) = { N , A } /\ ( I ` y ) = { B , N } ) <-> ( E. x e. dom I ( I ` x ) = { N , A } /\ E. y e. dom I ( I ` y ) = { B , N } ) )
32		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = y -> ( I ` x ) = ( I ` y ) )
33	32	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = y -> ( ( I ` x ) = { N , A } <-> ( I ` y ) = { N , A } ) )
34	33	anbi1d 741	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> ( ( ( I ` x ) = { N , A } /\ ( I ` y ) = { B , N } ) <-> ( ( I ` y ) = { N , A } /\ ( I ` y ) = { B , N } ) ) )
35		eqtr2 2642	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( I ` y ) = { N , A } /\ ( I ` y ) = { B , N } ) -> { N , A } = { B , N } )
36		prcom 4267	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- { B , N } = { N , B }
37	36	eqeq2i 2634	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { N , A } = { B , N } <-> { N , A } = { N , B } )
38		preq12bg 4386	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( N e. V /\ B e. V ) ) -> ( { N , A } = { N , B } <-> ( ( N = N /\ A = B ) \/ ( N = B /\ A = N ) ) ) )
39	38	ancom2s 844	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) -> ( { N , A } = { N , B } <-> ( ( N = N /\ A = B ) \/ ( N = B /\ A = N ) ) ) )
40		eqneqall 2805	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( A = B -> ( A =/= B -> x =/= y ) )
41	40	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N = N /\ A = B ) -> ( A =/= B -> x =/= y ) )
42		eqtr 2641	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( A = N /\ N = B ) -> A = B )
43	42	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N = B /\ A = N ) -> A = B )
44	43, 40	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N = B /\ A = N ) -> ( A =/= B -> x =/= y ) )
45	41, 44	jaoi 394	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( N = N /\ A = B ) \/ ( N = B /\ A = N ) ) -> ( A =/= B -> x =/= y ) )
46	45	adantld 483	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( N = N /\ A = B ) \/ ( N = B /\ A = N ) ) -> ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) -> x =/= y ) )
47	39, 46	syl6bi 243	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) -> ( { N , A } = { N , B } -> ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) -> x =/= y ) ) )
48	47	com3l 89	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( { N , A } = { N , B } -> ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) -> ( ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) -> x =/= y ) ) )
49	48	impd 447	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { N , A } = { N , B } -> ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) ) -> x =/= y ) )
50	37, 49	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( { N , A } = { B , N } -> ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) ) -> x =/= y ) )
51	35, 50	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( I ` y ) = { N , A } /\ ( I ` y ) = { B , N } ) -> ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) ) -> x =/= y ) )
52	34, 51	syl6bi 243	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( ( ( I ` x ) = { N , A } /\ ( I ` y ) = { B , N } ) -> ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) ) -> x =/= y ) ) )
53	52	com23 86	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) ) -> ( ( ( I ` x ) = { N , A } /\ ( I ` y ) = { B , N } ) -> x =/= y ) ) )
54	53	impd 447	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) ) /\ ( ( I ` x ) = { N , A } /\ ( I ` y ) = { B , N } ) ) -> x =/= y ) )
55		ax-1 6	. . . . . . . . 9 |- ( x =/= y -> ( ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) ) /\ ( ( I ` x ) = { N , A } /\ ( I ` y ) = { B , N } ) ) -> x =/= y ) )
56	54, 55	pm2.61ine 2877	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) ) /\ ( ( I ` x ) = { N , A } /\ ( I ` y ) = { B , N } ) ) -> x =/= y )
57		prid1g 4295	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. V -> N e. { N , A } )
58	57	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) -> N e. { N , A } )
59	58	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) ) -> N e. { N , A } )
60		eleq2 2690	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( I ` x ) = { N , A } -> ( N e. ( I ` x ) <-> N e. { N , A } ) )
61	59, 60	syl5ibr 236	. . . . . . . . . 10 |- ( ( I ` x ) = { N , A } -> ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) ) -> N e. ( I ` x ) ) )
62	61	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( I ` x ) = { N , A } /\ ( I ` y ) = { B , N } ) -> ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) ) -> N e. ( I ` x ) ) )
63	62	impcom 446	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) ) /\ ( ( I ` x ) = { N , A } /\ ( I ` y ) = { B , N } ) ) -> N e. ( I ` x ) )
64		prid2g 4296	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. V -> N e. { B , N } )
65	64	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) -> N e. { B , N } )
66	65	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) ) -> N e. { B , N } )
67		eleq2 2690	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( I ` y ) = { B , N } -> ( N e. ( I ` y ) <-> N e. { B , N } ) )
68	66, 67	syl5ibr 236	. . . . . . . . . 10 |- ( ( I ` y ) = { B , N } -> ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) ) -> N e. ( I ` y ) ) )
69	68	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( I ` x ) = { N , A } /\ ( I ` y ) = { B , N } ) -> ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) ) -> N e. ( I ` y ) ) )
70	69	impcom 446	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) ) /\ ( ( I ` x ) = { N , A } /\ ( I ` y ) = { B , N } ) ) -> N e. ( I ` y ) )
71	56, 63, 70	3jca 1242	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) ) /\ ( ( I ` x ) = { N , A } /\ ( I ` y ) = { B , N } ) ) -> ( x =/= y /\ N e. ( I ` x ) /\ N e. ( I ` y ) ) )
72	71	ex 450	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) ) -> ( ( ( I ` x ) = { N , A } /\ ( I ` y ) = { B , N } ) -> ( x =/= y /\ N e. ( I ` x ) /\ N e. ( I ` y ) ) ) )
73	72	reximdv 3016	. . . . 5 |- ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) ) -> ( E. y e. dom I ( ( I ` x ) = { N , A } /\ ( I ` y ) = { B , N } ) -> E. y e. dom I ( x =/= y /\ N e. ( I ` x ) /\ N e. ( I ` y ) ) ) )
74	73	reximdv 3016	. . . 4 |- ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) ) -> ( E. x e. dom I E. y e. dom I ( ( I ` x ) = { N , A } /\ ( I ` y ) = { B , N } ) -> E. x e. dom I E. y e. dom I ( x =/= y /\ N e. ( I ` x ) /\ N e. ( I ` y ) ) ) )
75	31, 74	syl5bir 233	. . 3 |- ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) ) -> ( ( E. x e. dom I ( I ` x ) = { N , A } /\ E. y e. dom I ( I ` y ) = { B , N } ) -> E. x e. dom I E. y e. dom I ( x =/= y /\ N e. ( I ` x ) /\ N e. ( I ` y ) ) ) )
76	30, 75	sylbid 230	. 2 |- ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( ( N e. V /\ A e. V ) /\ ( B e. V /\ N e. V ) ) ) -> ( ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) -> E. x e. dom I E. y e. dom I ( x =/= y /\ N e. ( I ` x ) /\ N e. ( I ` y ) ) ) )
77	8, 9, 76	sylc 65	1 |- ( ( ( G e. UHGraph /\ A =/= B ) /\ ( A e. V /\ B e. V /\ N e. V ) /\ ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) ) -> E. x e. dom I E. y e. dom I ( x =/= y /\ N e. ( I ` x ) /\ N e. ( I ` y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   E.wrex 2913   {cpr 4179   dom cdm 5114   ran crn 5115   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   ` cfv 5888  Vtxcvtx 25874  iEdgciedg 25875  Edgcedg 25939   UHGraph cuhgr 25951

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-edg 25940  df-uhgr 25953

This theorem is referenced by:  umgr2edg  26101