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Theorem ustval 22006
Description: The class of all uniform structures for a base X. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Nov-2017.) (Revised by AV, 17-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
ustval |- ( X e. V -> (UnifOn ` X ) = { u | ( u C_ ~P ( X X. X ) /\ ( X X. X ) e. u /\ A. v e. u ( A. w e. ~P ( X X. X ) ( v C_ w -> w e. u ) /\ A. w e. u ( v i^i w ) e. u /\ ( ( _I |` X ) C_ v /\ `' v e. u /\ E. w e. u ( w o. w ) C_ v ) ) ) } )
Distinct variable group:   v, u, w, X
Allowed substitution hints:   V( w, v, u)
Proof of Theorem ustval
Dummy variable x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ust 22004 . . 3 |- UnifOn = ( x e. _V |-> { u | ( u C_ ~P ( x X. x ) /\ ( x X. x ) e. u /\ A. v e. u ( A. w e. ~P ( x X. x ) ( v C_ w -> w e. u ) /\ A. w e. u ( v i^i w ) e. u /\ ( ( _I |` x ) C_ v /\ `' v e. u /\ E. w e. u ( w o. w ) C_ v ) ) ) } )
21a1i 11 . 2 |- ( X e. V -> UnifOn = ( x e. _V |-> { u | ( u C_ ~P ( x X. x ) /\ ( x X. x ) e. u /\ A. v e. u ( A. w e. ~P ( x X. x ) ( v C_ w -> w e. u ) /\ A. w e. u ( v i^i w ) e. u /\ ( ( _I |` x ) C_ v /\ `' v e. u /\ E. w e. u ( w o. w ) C_ v ) ) ) } ) )
3 id 22 . . . . . . . 8 |- ( x = X -> x = X )
43sqxpeqd 5141 . . . . . . 7 |- ( x = X -> ( x X. x ) = ( X X. X ) )
54pweqd 4163 . . . . . 6 |- ( x = X -> ~P ( x X. x ) = ~P ( X X. X ) )
65sseq2d 3633 . . . . 5 |- ( x = X -> ( u C_ ~P ( x X. x ) <-> u C_ ~P ( X X. X ) ) )
74eleq1d 2686 . . . . 5 |- ( x = X -> ( ( x X. x ) e. u <-> ( X X. X ) e. u ) )
85raleqdv 3144 . . . . . . 7 |- ( x = X -> ( A. w e. ~P ( x X. x ) ( v C_ w -> w e. u ) <-> A. w e. ~P ( X X. X ) ( v C_ w -> w e. u ) ) )
9 reseq2 5391 . . . . . . . . 9 |- ( x = X -> ( _I |` x ) = ( _I |` X ) )
109sseq1d 3632 . . . . . . . 8 |- ( x = X -> ( ( _I |` x ) C_ v <-> ( _I |` X ) C_ v ) )
11103anbi1d 1403 . . . . . . 7 |- ( x = X -> ( ( ( _I |` x ) C_ v /\ `' v e. u /\ E. w e. u ( w o. w ) C_ v ) <-> ( ( _I |` X ) C_ v /\ `' v e. u /\ E. w e. u ( w o. w ) C_ v ) ) )
128, 113anbi13d 1401 . . . . . 6 |- ( x = X -> ( ( A. w e. ~P ( x X. x ) ( v C_ w -> w e. u ) /\ A. w e. u ( v i^i w ) e. u /\ ( ( _I |` x ) C_ v /\ `' v e. u /\ E. w e. u ( w o. w ) C_ v ) ) <-> ( A. w e. ~P ( X X. X ) ( v C_ w -> w e. u ) /\ A. w e. u ( v i^i w ) e. u /\ ( ( _I |` X ) C_ v /\ `' v e. u /\ E. w e. u ( w o. w ) C_ v ) ) ) )
1312ralbidv 2986 . . . . 5 |- ( x = X -> ( A. v e. u ( A. w e. ~P ( x X. x ) ( v C_ w -> w e. u ) /\ A. w e. u ( v i^i w ) e. u /\ ( ( _I |` x ) C_ v /\ `' v e. u /\ E. w e. u ( w o. w ) C_ v ) ) <-> A. v e. u ( A. w e. ~P ( X X. X ) ( v C_ w -> w e. u ) /\ A. w e. u ( v i^i w ) e. u /\ ( ( _I |` X ) C_ v /\ `' v e. u /\ E. w e. u ( w o. w ) C_ v ) ) ) )
146, 7, 133anbi123d 1399 . . . 4 |- ( x = X -> ( ( u C_ ~P ( x X. x ) /\ ( x X. x ) e. u /\ A. v e. u ( A. w e. ~P ( x X. x ) ( v C_ w -> w e. u ) /\ A. w e. u ( v i^i w ) e. u /\ ( ( _I |` x ) C_ v /\ `' v e. u /\ E. w e. u ( w o. w ) C_ v ) ) ) <-> ( u C_ ~P ( X X. X ) /\ ( X X. X ) e. u /\ A. v e. u ( A. w e. ~P ( X X. X ) ( v C_ w -> w e. u ) /\ A. w e. u ( v i^i w ) e. u /\ ( ( _I |` X ) C_ v /\ `' v e. u /\ E. w e. u ( w o. w ) C_ v ) ) ) ) )
1514abbidv 2741 . . 3 |- ( x = X -> { u | ( u C_ ~P ( x X. x ) /\ ( x X. x ) e. u /\ A. v e. u ( A. w e. ~P ( x X. x ) ( v C_ w -> w e. u ) /\ A. w e. u ( v i^i w ) e. u /\ ( ( _I |` x ) C_ v /\ `' v e. u /\ E. w e. u ( w o. w ) C_ v ) ) ) } = { u | ( u C_ ~P ( X X. X ) /\ ( X X. X ) e. u /\ A. v e. u ( A. w e. ~P ( X X. X ) ( v C_ w -> w e. u ) /\ A. w e. u ( v i^i w ) e. u /\ ( ( _I |` X ) C_ v /\ `' v e. u /\ E. w e. u ( w o. w ) C_ v ) ) ) } )
1615adantl 482 . 2 |- ( ( X e. V /\ x = X ) -> { u | ( u C_ ~P ( x X. x ) /\ ( x X. x ) e. u /\ A. v e. u ( A. w e. ~P ( x X. x ) ( v C_ w -> w e. u ) /\ A. w e. u ( v i^i w ) e. u /\ ( ( _I |` x ) C_ v /\ `' v e. u /\ E. w e. u ( w o. w ) C_ v ) ) ) } = { u | ( u C_ ~P ( X X. X ) /\ ( X X. X ) e. u /\ A. v e. u ( A. w e. ~P ( X X. X ) ( v C_ w -> w e. u ) /\ A. w e. u ( v i^i w ) e. u /\ ( ( _I |` X ) C_ v /\ `' v e. u /\ E. w e. u ( w o. w ) C_ v ) ) ) } )
17 elex 3212 . 2 |- ( X e. V -> X e. _V )
18 simp1 1061 . . . . 5 |- ( ( u C_ ~P ( X X. X ) /\ ( X X. X ) e. u /\ A. v e. u ( A. w e. ~P ( X X. X ) ( v C_ w -> w e. u ) /\ A. w e. u ( v i^i w ) e. u /\ ( ( _I |` X ) C_ v /\ `' v e. u /\ E. w e. u ( w o. w ) C_ v ) ) ) -> u C_ ~P ( X X. X ) )
1918ss2abi 3674 . . . 4 |- { u | ( u C_ ~P ( X X. X ) /\ ( X X. X ) e. u /\ A. v e. u ( A. w e. ~P ( X X. X ) ( v C_ w -> w e. u ) /\ A. w e. u ( v i^i w ) e. u /\ ( ( _I |` X ) C_ v /\ `' v e. u /\ E. w e. u ( w o. w ) C_ v ) ) ) } C_ { u | u C_ ~P ( X X. X ) }
20 df-pw 4160 . . . 4 |- ~P ~P ( X X. X ) = { u | u C_ ~P ( X X. X ) }
2119, 20sseqtr4i 3638 . . 3 |- { u | ( u C_ ~P ( X X. X ) /\ ( X X. X ) e. u /\ A. v e. u ( A. w e. ~P ( X X. X ) ( v C_ w -> w e. u ) /\ A. w e. u ( v i^i w ) e. u /\ ( ( _I |` X ) C_ v /\ `' v e. u /\ E. w e. u ( w o. w ) C_ v ) ) ) } C_ ~P ~P ( X X. X )
22 sqxpexg 6963 . . . 4 |- ( X e. V -> ( X X. X ) e. _V )
23 pwexg 4850 . . . 4 |- ( ( X X. X ) e. _V -> ~P ( X X. X ) e. _V )
24 pwexg 4850 . . . 4 |- ( ~P ( X X. X ) e. _V -> ~P ~P ( X X. X ) e. _V )
2522, 23, 243syl 18 . . 3 |- ( X e. V -> ~P ~P ( X X. X ) e. _V )
26 ssexg 4804 . . 3 |- ( ( { u | ( u C_ ~P ( X X. X ) /\ ( X X. X ) e. u /\ A. v e. u ( A. w e. ~P ( X X. X ) ( v C_ w -> w e. u ) /\ A. w e. u ( v i^i w ) e. u /\ ( ( _I |` X ) C_ v /\ `' v e. u /\ E. w e. u ( w o. w ) C_ v ) ) ) } C_ ~P ~P ( X X. X ) /\ ~P ~P ( X X. X ) e. _V ) -> { u | ( u C_ ~P ( X X. X ) /\ ( X X. X ) e. u /\ A. v e. u ( A. w e. ~P ( X X. X ) ( v C_ w -> w e. u ) /\ A. w e. u ( v i^i w ) e. u /\ ( ( _I |` X ) C_ v /\ `' v e. u /\ E. w e. u ( w o. w ) C_ v ) ) ) } e. _V )
2721, 25, 26sylancr 695 . 2 |- ( X e. V -> { u | ( u C_ ~P ( X X. X ) /\ ( X X. X ) e. u /\ A. v e. u ( A. w e. ~P ( X X. X ) ( v C_ w -> w e. u ) /\ A. w e. u ( v i^i w ) e. u /\ ( ( _I |` X ) C_ v /\ `' v e. u /\ E. w e. u ( w o. w ) C_ v ) ) ) } e. _V )
282, 16, 17, 27fvmptd 6288 1 |- ( X e. V -> (UnifOn ` X ) = { u | ( u C_ ~P ( X X. X ) /\ ( X X. X ) e. u /\ A. v e. u ( A. w e. ~P ( X X. X ) ( v C_ w -> w e. u ) /\ A. w e. u ( v i^i w ) e. u /\ ( ( _I |` X ) C_ v /\ `' v e. u /\ E. w e. u ( w o. w ) C_ v ) ) ) } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   |-> cmpt 4729   _I cid 5023   X. cxp 5112   `'ccnv 5113   |` cres 5116   o. ccom 5118   ` cfv 5888  UnifOncust 22003
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-res 5126  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-ust 22004
This theorem is referenced by:  isust  22007
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