Theorem isust 22007

Description: The predicate " U is a uniform structure with base X." (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Nov-2017.) (Revised by AV, 17-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
isust	|- ( X e. V -> ( U e. (UnifOn ` X ) <-> ( U C_ ~P ( X X. X ) /\ ( X X. X ) e. U /\ A. v e. U ( A. w e. ~P ( X X. X ) ( v C_ w -> w e. U ) /\ A. w e. U ( v i^i w ) e. U /\ ( ( _I |` X ) C_ v /\ `' v e. U /\ E. w e. U ( w o. w ) C_ v ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   w, v, U   v, X, w

Allowed substitution hints:   V( w, v)

Proof of Theorem isust

Dummy variable u is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ustval 22006	. . 3 |- ( X e. V -> (UnifOn ` X ) = { u | ( u C_ ~P ( X X. X ) /\ ( X X. X ) e. u /\ A. v e. u ( A. w e. ~P ( X X. X ) ( v C_ w -> w e. u ) /\ A. w e. u ( v i^i w ) e. u /\ ( ( _I |` X ) C_ v /\ `' v e. u /\ E. w e. u ( w o. w ) C_ v ) ) ) } )
2	1	eleq2d 2687	. 2 |- ( X e. V -> ( U e. (UnifOn ` X ) <-> U e. { u | ( u C_ ~P ( X X. X ) /\ ( X X. X ) e. u /\ A. v e. u ( A. w e. ~P ( X X. X ) ( v C_ w -> w e. u ) /\ A. w e. u ( v i^i w ) e. u /\ ( ( _I |` X ) C_ v /\ `' v e. u /\ E. w e. u ( w o. w ) C_ v ) ) ) } ) )
3		simp1 1061	. . . 4 |- ( ( U C_ ~P ( X X. X ) /\ ( X X. X ) e. U /\ A. v e. U ( A. w e. ~P ( X X. X ) ( v C_ w -> w e. U ) /\ A. w e. U ( v i^i w ) e. U /\ ( ( _I |` X ) C_ v /\ `' v e. U /\ E. w e. U ( w o. w ) C_ v ) ) ) -> U C_ ~P ( X X. X ) )
4		sqxpexg 6963	. . . . . . . 8 |- ( X e. V -> ( X X. X ) e. _V )
5		pwexg 4850	. . . . . . . 8 |- ( ( X X. X ) e. _V -> ~P ( X X. X ) e. _V )
6	4, 5	syl 17	. . . . . . 7 |- ( X e. V -> ~P ( X X. X ) e. _V )
7	6	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( X e. V /\ U C_ ~P ( X X. X ) ) -> ~P ( X X. X ) e. _V )
8		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( X e. V /\ U C_ ~P ( X X. X ) ) -> U C_ ~P ( X X. X ) )
9	7, 8	ssexd 4805	. . . . 5 |- ( ( X e. V /\ U C_ ~P ( X X. X ) ) -> U e. _V )
10	9	ex 450	. . . 4 |- ( X e. V -> ( U C_ ~P ( X X. X ) -> U e. _V ) )
11	3, 10	syl5 34	. . 3 |- ( X e. V -> ( ( U C_ ~P ( X X. X ) /\ ( X X. X ) e. U /\ A. v e. U ( A. w e. ~P ( X X. X ) ( v C_ w -> w e. U ) /\ A. w e. U ( v i^i w ) e. U /\ ( ( _I |` X ) C_ v /\ `' v e. U /\ E. w e. U ( w o. w ) C_ v ) ) ) -> U e. _V ) )
12		sseq1 3626	. . . . 5 |- ( u = U -> ( u C_ ~P ( X X. X ) <-> U C_ ~P ( X X. X ) ) )
13		eleq2 2690	. . . . 5 |- ( u = U -> ( ( X X. X ) e. u <-> ( X X. X ) e. U ) )
14		eleq2 2690	. . . . . . . . 9 |- ( u = U -> ( w e. u <-> w e. U ) )
15	14	imbi2d 330	. . . . . . . 8 |- ( u = U -> ( ( v C_ w -> w e. u ) <-> ( v C_ w -> w e. U ) ) )
16	15	ralbidv 2986	. . . . . . 7 |- ( u = U -> ( A. w e. ~P ( X X. X ) ( v C_ w -> w e. u ) <-> A. w e. ~P ( X X. X ) ( v C_ w -> w e. U ) ) )
17		eleq2 2690	. . . . . . . 8 |- ( u = U -> ( ( v i^i w ) e. u <-> ( v i^i w ) e. U ) )
18	17	raleqbi1dv 3146	. . . . . . 7 |- ( u = U -> ( A. w e. u ( v i^i w ) e. u <-> A. w e. U ( v i^i w ) e. U ) )
19		eleq2 2690	. . . . . . . 8 |- ( u = U -> ( `' v e. u <-> `' v e. U ) )
20		rexeq 3139	. . . . . . . 8 |- ( u = U -> ( E. w e. u ( w o. w ) C_ v <-> E. w e. U ( w o. w ) C_ v ) )
21	19, 20	3anbi23d 1402	. . . . . . 7 |- ( u = U -> ( ( ( _I |` X ) C_ v /\ `' v e. u /\ E. w e. u ( w o. w ) C_ v ) <-> ( ( _I |` X ) C_ v /\ `' v e. U /\ E. w e. U ( w o. w ) C_ v ) ) )
22	16, 18, 21	3anbi123d 1399	. . . . . 6 |- ( u = U -> ( ( A. w e. ~P ( X X. X ) ( v C_ w -> w e. u ) /\ A. w e. u ( v i^i w ) e. u /\ ( ( _I |` X ) C_ v /\ `' v e. u /\ E. w e. u ( w o. w ) C_ v ) ) <-> ( A. w e. ~P ( X X. X ) ( v C_ w -> w e. U ) /\ A. w e. U ( v i^i w ) e. U /\ ( ( _I |` X ) C_ v /\ `' v e. U /\ E. w e. U ( w o. w ) C_ v ) ) ) )
23	22	raleqbi1dv 3146	. . . . 5 |- ( u = U -> ( A. v e. u ( A. w e. ~P ( X X. X ) ( v C_ w -> w e. u ) /\ A. w e. u ( v i^i w ) e. u /\ ( ( _I |` X ) C_ v /\ `' v e. u /\ E. w e. u ( w o. w ) C_ v ) ) <-> A. v e. U ( A. w e. ~P ( X X. X ) ( v C_ w -> w e. U ) /\ A. w e. U ( v i^i w ) e. U /\ ( ( _I |` X ) C_ v /\ `' v e. U /\ E. w e. U ( w o. w ) C_ v ) ) ) )
24	12, 13, 23	3anbi123d 1399	. . . 4 |- ( u = U -> ( ( u C_ ~P ( X X. X ) /\ ( X X. X ) e. u /\ A. v e. u ( A. w e. ~P ( X X. X ) ( v C_ w -> w e. u ) /\ A. w e. u ( v i^i w ) e. u /\ ( ( _I |` X ) C_ v /\ `' v e. u /\ E. w e. u ( w o. w ) C_ v ) ) ) <-> ( U C_ ~P ( X X. X ) /\ ( X X. X ) e. U /\ A. v e. U ( A. w e. ~P ( X X. X ) ( v C_ w -> w e. U ) /\ A. w e. U ( v i^i w ) e. U /\ ( ( _I |` X ) C_ v /\ `' v e. U /\ E. w e. U ( w o. w ) C_ v ) ) ) ) )
25	24	elab3g 3357	. . 3 |- ( ( ( U C_ ~P ( X X. X ) /\ ( X X. X ) e. U /\ A. v e. U ( A. w e. ~P ( X X. X ) ( v C_ w -> w e. U ) /\ A. w e. U ( v i^i w ) e. U /\ ( ( _I |` X ) C_ v /\ `' v e. U /\ E. w e. U ( w o. w ) C_ v ) ) ) -> U e. _V ) -> ( U e. { u | ( u C_ ~P ( X X. X ) /\ ( X X. X ) e. u /\ A. v e. u ( A. w e. ~P ( X X. X ) ( v C_ w -> w e. u ) /\ A. w e. u ( v i^i w ) e. u /\ ( ( _I |` X ) C_ v /\ `' v e. u /\ E. w e. u ( w o. w ) C_ v ) ) ) } <-> ( U C_ ~P ( X X. X ) /\ ( X X. X ) e. U /\ A. v e. U ( A. w e. ~P ( X X. X ) ( v C_ w -> w e. U ) /\ A. w e. U ( v i^i w ) e. U /\ ( ( _I |` X ) C_ v /\ `' v e. U /\ E. w e. U ( w o. w ) C_ v ) ) ) ) )
26	11, 25	syl 17	. 2 |- ( X e. V -> ( U e. { u | ( u C_ ~P ( X X. X ) /\ ( X X. X ) e. u /\ A. v e. u ( A. w e. ~P ( X X. X ) ( v C_ w -> w e. u ) /\ A. w e. u ( v i^i w ) e. u /\ ( ( _I |` X ) C_ v /\ `' v e. u /\ E. w e. u ( w o. w ) C_ v ) ) ) } <-> ( U C_ ~P ( X X. X ) /\ ( X X. X ) e. U /\ A. v e. U ( A. w e. ~P ( X X. X ) ( v C_ w -> w e. U ) /\ A. w e. U ( v i^i w ) e. U /\ ( ( _I |` X ) C_ v /\ `' v e. U /\ E. w e. U ( w o. w ) C_ v ) ) ) ) )
27	2, 26	bitrd 268	1 |- ( X e. V -> ( U e. (UnifOn ` X ) <-> ( U C_ ~P ( X X. X ) /\ ( X X. X ) e. U /\ A. v e. U ( A. w e. ~P ( X X. X ) ( v C_ w -> w e. U ) /\ A. w e. U ( v i^i w ) e. U /\ ( ( _I |` X ) C_ v /\ `' v e. U /\ E. w e. U ( w o. w ) C_ v ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   _I cid 5023   X. cxp 5112   `'ccnv 5113   |` cres 5116   o. ccom 5118   ` cfv 5888  UnifOncust 22003

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-res 5126  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-ust 22004

This theorem is referenced by:  ustssxp  22008  ustssel  22009  ustbasel  22010  ustincl  22011  ustdiag  22012  ustinvel  22013  ustexhalf  22014  ustfilxp  22016  ust0  22023  ustbas2  22029  trust  22033  metust  22363