Theorem wemaplem3 8453

Description: Lemma for wemapso 8456. Transitivity. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
wemapso.t	|- T = { <. x , y >. | E. z e. A ( ( x ` z ) S ( y ` z ) /\ A. w e. A ( w R z -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) }
wemaplem2.a	|- ( ph -> A e. _V )
wemaplem2.p	|- ( ph -> P e. ( B ^m A ) )
wemaplem2.x	|- ( ph -> X e. ( B ^m A ) )
wemaplem2.q	|- ( ph -> Q e. ( B ^m A ) )
wemaplem2.r	|- ( ph -> R Or A )
wemaplem2.s	|- ( ph -> S Po B )
wemaplem3.px	|- ( ph -> P T X )
wemaplem3.xq	|- ( ph -> X T Q )

Assertion

Ref	Expression
wemaplem3	|- ( ph -> P T Q )

Distinct variable groups:   x, B   x, w, y, z, X   w, A, x, y, z   w, P, x, y, z   w, Q, x, y, z   w, R, x, y, z   w, S, x, y, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z, w)   B( y, z, w)   T( x, y, z, w)

Proof of Theorem wemaplem3

Dummy variables a b c are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wemaplem3.px	. . 3 |- ( ph -> P T X )
2		wemaplem2.p	. . . 4 |- ( ph -> P e. ( B ^m A ) )
3		wemaplem2.x	. . . 4 |- ( ph -> X e. ( B ^m A ) )
4		wemapso.t	. . . . 5 |- T = { <. x , y >. | E. z e. A ( ( x ` z ) S ( y ` z ) /\ A. w e. A ( w R z -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) }
5	4	wemaplem1 8451	. . . 4 |- ( ( P e. ( B ^m A ) /\ X e. ( B ^m A ) ) -> ( P T X <-> E. a e. A ( ( P ` a ) S ( X ` a ) /\ A. c e. A ( c R a -> ( P ` c ) = ( X ` c ) ) ) ) )
6	2, 3, 5	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> ( P T X <-> E. a e. A ( ( P ` a ) S ( X ` a ) /\ A. c e. A ( c R a -> ( P ` c ) = ( X ` c ) ) ) ) )
7	1, 6	mpbid 222	. 2 |- ( ph -> E. a e. A ( ( P ` a ) S ( X ` a ) /\ A. c e. A ( c R a -> ( P ` c ) = ( X ` c ) ) ) )
8		wemaplem3.xq	. . 3 |- ( ph -> X T Q )
9		wemaplem2.q	. . . 4 |- ( ph -> Q e. ( B ^m A ) )
10	4	wemaplem1 8451	. . . 4 |- ( ( X e. ( B ^m A ) /\ Q e. ( B ^m A ) ) -> ( X T Q <-> E. b e. A ( ( X ` b ) S ( Q ` b ) /\ A. c e. A ( c R b -> ( X ` c ) = ( Q ` c ) ) ) ) )
11	3, 9, 10	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> ( X T Q <-> E. b e. A ( ( X ` b ) S ( Q ` b ) /\ A. c e. A ( c R b -> ( X ` c ) = ( Q ` c ) ) ) ) )
12	8, 11	mpbid 222	. 2 |- ( ph -> E. b e. A ( ( X ` b ) S ( Q ` b ) /\ A. c e. A ( c R b -> ( X ` c ) = ( Q ` c ) ) ) )
13		wemaplem2.a	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. _V )
14	13	ad2antrr 762	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( a e. A /\ ( ( P ` a ) S ( X ` a ) /\ A. c e. A ( c R a -> ( P ` c ) = ( X ` c ) ) ) ) ) /\ ( b e. A /\ ( ( X ` b ) S ( Q ` b ) /\ A. c e. A ( c R b -> ( X ` c ) = ( Q ` c ) ) ) ) ) -> A e. _V )
15	2	ad2antrr 762	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( a e. A /\ ( ( P ` a ) S ( X ` a ) /\ A. c e. A ( c R a -> ( P ` c ) = ( X ` c ) ) ) ) ) /\ ( b e. A /\ ( ( X ` b ) S ( Q ` b ) /\ A. c e. A ( c R b -> ( X ` c ) = ( Q ` c ) ) ) ) ) -> P e. ( B ^m A ) )
16	3	ad2antrr 762	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( a e. A /\ ( ( P ` a ) S ( X ` a ) /\ A. c e. A ( c R a -> ( P ` c ) = ( X ` c ) ) ) ) ) /\ ( b e. A /\ ( ( X ` b ) S ( Q ` b ) /\ A. c e. A ( c R b -> ( X ` c ) = ( Q ` c ) ) ) ) ) -> X e. ( B ^m A ) )
17	9	ad2antrr 762	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( a e. A /\ ( ( P ` a ) S ( X ` a ) /\ A. c e. A ( c R a -> ( P ` c ) = ( X ` c ) ) ) ) ) /\ ( b e. A /\ ( ( X ` b ) S ( Q ` b ) /\ A. c e. A ( c R b -> ( X ` c ) = ( Q ` c ) ) ) ) ) -> Q e. ( B ^m A ) )
18		wemaplem2.r	. . . . . 6 |- ( ph -> R Or A )
19	18	ad2antrr 762	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( a e. A /\ ( ( P ` a ) S ( X ` a ) /\ A. c e. A ( c R a -> ( P ` c ) = ( X ` c ) ) ) ) ) /\ ( b e. A /\ ( ( X ` b ) S ( Q ` b ) /\ A. c e. A ( c R b -> ( X ` c ) = ( Q ` c ) ) ) ) ) -> R Or A )
20		wemaplem2.s	. . . . . 6 |- ( ph -> S Po B )
21	20	ad2antrr 762	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( a e. A /\ ( ( P ` a ) S ( X ` a ) /\ A. c e. A ( c R a -> ( P ` c ) = ( X ` c ) ) ) ) ) /\ ( b e. A /\ ( ( X ` b ) S ( Q ` b ) /\ A. c e. A ( c R b -> ( X ` c ) = ( Q ` c ) ) ) ) ) -> S Po B )
22		simplrl 800	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( a e. A /\ ( ( P ` a ) S ( X ` a ) /\ A. c e. A ( c R a -> ( P ` c ) = ( X ` c ) ) ) ) ) /\ ( b e. A /\ ( ( X ` b ) S ( Q ` b ) /\ A. c e. A ( c R b -> ( X ` c ) = ( Q ` c ) ) ) ) ) -> a e. A )
23		simp2rl 1130	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( a e. A /\ ( ( P ` a ) S ( X ` a ) /\ A. c e. A ( c R a -> ( P ` c ) = ( X ` c ) ) ) ) /\ ( b e. A /\ ( ( X ` b ) S ( Q ` b ) /\ A. c e. A ( c R b -> ( X ` c ) = ( Q ` c ) ) ) ) ) -> ( P ` a ) S ( X ` a ) )
24	23	3expa 1265	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( a e. A /\ ( ( P ` a ) S ( X ` a ) /\ A. c e. A ( c R a -> ( P ` c ) = ( X ` c ) ) ) ) ) /\ ( b e. A /\ ( ( X ` b ) S ( Q ` b ) /\ A. c e. A ( c R b -> ( X ` c ) = ( Q ` c ) ) ) ) ) -> ( P ` a ) S ( X ` a ) )
25		simprr 796	. . . . . 6 |- ( ( a e. A /\ ( ( P ` a ) S ( X ` a ) /\ A. c e. A ( c R a -> ( P ` c ) = ( X ` c ) ) ) ) -> A. c e. A ( c R a -> ( P ` c ) = ( X ` c ) ) )
26	25	ad2antlr 763	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( a e. A /\ ( ( P ` a ) S ( X ` a ) /\ A. c e. A ( c R a -> ( P ` c ) = ( X ` c ) ) ) ) ) /\ ( b e. A /\ ( ( X ` b ) S ( Q ` b ) /\ A. c e. A ( c R b -> ( X ` c ) = ( Q ` c ) ) ) ) ) -> A. c e. A ( c R a -> ( P ` c ) = ( X ` c ) ) )
27		simprl 794	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( a e. A /\ ( ( P ` a ) S ( X ` a ) /\ A. c e. A ( c R a -> ( P ` c ) = ( X ` c ) ) ) ) ) /\ ( b e. A /\ ( ( X ` b ) S ( Q ` b ) /\ A. c e. A ( c R b -> ( X ` c ) = ( Q ` c ) ) ) ) ) -> b e. A )
28		simprrl 804	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( a e. A /\ ( ( P ` a ) S ( X ` a ) /\ A. c e. A ( c R a -> ( P ` c ) = ( X ` c ) ) ) ) ) /\ ( b e. A /\ ( ( X ` b ) S ( Q ` b ) /\ A. c e. A ( c R b -> ( X ` c ) = ( Q ` c ) ) ) ) ) -> ( X ` b ) S ( Q ` b ) )
29		simprrr 805	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( a e. A /\ ( ( P ` a ) S ( X ` a ) /\ A. c e. A ( c R a -> ( P ` c ) = ( X ` c ) ) ) ) ) /\ ( b e. A /\ ( ( X ` b ) S ( Q ` b ) /\ A. c e. A ( c R b -> ( X ` c ) = ( Q ` c ) ) ) ) ) -> A. c e. A ( c R b -> ( X ` c ) = ( Q ` c ) ) )
30	4, 14, 15, 16, 17, 19, 21, 22, 24, 26, 27, 28, 29	wemaplem2 8452	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( a e. A /\ ( ( P ` a ) S ( X ` a ) /\ A. c e. A ( c R a -> ( P ` c ) = ( X ` c ) ) ) ) ) /\ ( b e. A /\ ( ( X ` b ) S ( Q ` b ) /\ A. c e. A ( c R b -> ( X ` c ) = ( Q ` c ) ) ) ) ) -> P T Q )
31	30	rexlimdvaa 3032	. . 3 |- ( ( ph /\ ( a e. A /\ ( ( P ` a ) S ( X ` a ) /\ A. c e. A ( c R a -> ( P ` c ) = ( X ` c ) ) ) ) ) -> ( E. b e. A ( ( X ` b ) S ( Q ` b ) /\ A. c e. A ( c R b -> ( X ` c ) = ( Q ` c ) ) ) -> P T Q ) )
32	31	rexlimdvaa 3032	. 2 |- ( ph -> ( E. a e. A ( ( P ` a ) S ( X ` a ) /\ A. c e. A ( c R a -> ( P ` c ) = ( X ` c ) ) ) -> ( E. b e. A ( ( X ` b ) S ( Q ` b ) /\ A. c e. A ( c R b -> ( X ` c ) = ( Q ` c ) ) ) -> P T Q ) ) )
33	7, 12, 32	mp2d 49	1 |- ( ph -> P T Q )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   class class class wbr 4653   {copab 4712   Po wpo 5033   Or wor 5034   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-map 7859

This theorem is referenced by:  wemappo  8454