Theorem wzel 31771

Description: The zero of a well-founded set is a member of that set. (Contributed by Scott Fenton, 13-Jun-2018.) (Revised by AV, 10-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
wzel	|- ( ( R We A /\ R Se A /\ A =/= (/) ) -> inf ( A , A , R ) e. A )

Proof of Theorem wzel

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		weso 5105	. . 3 |- ( R We A -> R Or A )
2	1	3ad2ant1 1082	. 2 |- ( ( R We A /\ R Se A /\ A =/= (/) ) -> R Or A )
3		simp1 1061	. . . 4 |- ( ( R We A /\ R Se A /\ A =/= (/) ) -> R We A )
4		simp2 1062	. . . 4 |- ( ( R We A /\ R Se A /\ A =/= (/) ) -> R Se A )
5		ssid 3624	. . . . 5 |- A C_ A
6	5	a1i 11	. . . 4 |- ( ( R We A /\ R Se A /\ A =/= (/) ) -> A C_ A )
7		simp3 1063	. . . 4 |- ( ( R We A /\ R Se A /\ A =/= (/) ) -> A =/= (/) )
8		tz6.26 5711	. . . 4 |- ( ( ( R We A /\ R Se A ) /\ ( A C_ A /\ A =/= (/) ) ) -> E. x e. A Pred ( R , A , x ) = (/) )
9	3, 4, 6, 7, 8	syl22anc 1327	. . 3 |- ( ( R We A /\ R Se A /\ A =/= (/) ) -> E. x e. A Pred ( R , A , x ) = (/) )
10		vex 3203	. . . . . . . . . . . 12 |- x e. _V
11		vex 3203	. . . . . . . . . . . . 13 |- y e. _V
12	11	elpred 5693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. _V -> ( y e. Pred ( R , A , x ) <-> ( y e. A /\ y R x ) ) )
13	10, 12	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. Pred ( R , A , x ) <-> ( y e. A /\ y R x ) )
14	13	notbii 310	. . . . . . . . . 10 |- ( -. y e. Pred ( R , A , x ) <-> -. ( y e. A /\ y R x ) )
15		imnan 438	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. A -> -. y R x ) <-> -. ( y e. A /\ y R x ) )
16	14, 15	bitr4i 267	. . . . . . . . 9 |- ( -. y e. Pred ( R , A , x ) <-> ( y e. A -> -. y R x ) )
17		pm2.27 42	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. A -> ( ( y e. A -> -. y R x ) -> -. y R x ) )
18	17	ad2antll 765	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R We A /\ R Se A /\ A =/= (/) ) /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( ( y e. A -> -. y R x ) -> -. y R x ) )
19		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = x -> ( z R y <-> x R y ) )
20	19	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. A /\ x R y ) -> E. z e. A z R y )
21	20	ex 450	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. A -> ( x R y -> E. z e. A z R y ) )
22	21	ad2antrl 764	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R We A /\ R Se A /\ A =/= (/) ) /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( x R y -> E. z e. A z R y ) )
23	18, 22	jctird 567	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R We A /\ R Se A /\ A =/= (/) ) /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( ( y e. A -> -. y R x ) -> ( -. y R x /\ ( x R y -> E. z e. A z R y ) ) ) )
24	16, 23	syl5bi 232	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R We A /\ R Se A /\ A =/= (/) ) /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( -. y e. Pred ( R , A , x ) -> ( -. y R x /\ ( x R y -> E. z e. A z R y ) ) ) )
25	24	expr 643	. . . . . . 7 |- ( ( ( R We A /\ R Se A /\ A =/= (/) ) /\ x e. A ) -> ( y e. A -> ( -. y e. Pred ( R , A , x ) -> ( -. y R x /\ ( x R y -> E. z e. A z R y ) ) ) ) )
26	25	com23 86	. . . . . 6 |- ( ( ( R We A /\ R Se A /\ A =/= (/) ) /\ x e. A ) -> ( -. y e. Pred ( R , A , x ) -> ( y e. A -> ( -. y R x /\ ( x R y -> E. z e. A z R y ) ) ) ) )
27	26	alimdv 1845	. . . . 5 |- ( ( ( R We A /\ R Se A /\ A =/= (/) ) /\ x e. A ) -> ( A. y -. y e. Pred ( R , A , x ) -> A. y ( y e. A -> ( -. y R x /\ ( x R y -> E. z e. A z R y ) ) ) ) )
28		eq0 3929	. . . . 5 |- ( Pred ( R , A , x ) = (/) <-> A. y -. y e. Pred ( R , A , x ) )
29		r19.26 3064	. . . . . 6 |- ( A. y e. A ( -. y R x /\ ( x R y -> E. z e. A z R y ) ) <-> ( A. y e. A -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. A z R y ) ) )
30		df-ral 2917	. . . . . 6 |- ( A. y e. A ( -. y R x /\ ( x R y -> E. z e. A z R y ) ) <-> A. y ( y e. A -> ( -. y R x /\ ( x R y -> E. z e. A z R y ) ) ) )
31	29, 30	bitr3i 266	. . . . 5 |- ( ( A. y e. A -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. A z R y ) ) <-> A. y ( y e. A -> ( -. y R x /\ ( x R y -> E. z e. A z R y ) ) ) )
32	27, 28, 31	3imtr4g 285	. . . 4 |- ( ( ( R We A /\ R Se A /\ A =/= (/) ) /\ x e. A ) -> ( Pred ( R , A , x ) = (/) -> ( A. y e. A -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. A z R y ) ) ) )
33	32	reximdva 3017	. . 3 |- ( ( R We A /\ R Se A /\ A =/= (/) ) -> ( E. x e. A Pred ( R , A , x ) = (/) -> E. x e. A ( A. y e. A -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. A z R y ) ) ) )
34	9, 33	mpd 15	. 2 |- ( ( R We A /\ R Se A /\ A =/= (/) ) -> E. x e. A ( A. y e. A -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. A z R y ) ) )
35	2, 34	infcl 8394	1 |- ( ( R We A /\ R Se A /\ A =/= (/) ) -> inf ( A , A , R ) e. A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   A.wal 1481   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   Or wor 5034   Se wse 5071   We wwe 5072   Predcpred 5679  infcinf 8347

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-cnv 5122  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-iota 5851  df-riota 6611  df-sup 8348  df-inf 8349

This theorem is referenced by: (None)