Theorem xpiundi 5173

Description: Distributive law for Cartesian product over indexed union. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
xpiundi	|- ( C X. U_ x e. A B ) = U_ x e. A ( C X. B )

Distinct variable group:   x, C

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x)

Proof of Theorem xpiundi

Dummy variables y w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexcom 3099	. . . 4 |- ( E. w e. C E. x e. A E. y e. B z = <. w , y >. <-> E. x e. A E. w e. C E. y e. B z = <. w , y >. )
2		eliun 4524	. . . . . . . 8 |- ( y e. U_ x e. A B <-> E. x e. A y e. B )
3	2	anbi1i 731	. . . . . . 7 |- ( ( y e. U_ x e. A B /\ z = <. w , y >. ) <-> ( E. x e. A y e. B /\ z = <. w , y >. ) )
4	3	exbii 1774	. . . . . 6 |- ( E. y ( y e. U_ x e. A B /\ z = <. w , y >. ) <-> E. y ( E. x e. A y e. B /\ z = <. w , y >. ) )
5		df-rex 2918	. . . . . 6 |- ( E. y e. U_ x e. A B z = <. w , y >. <-> E. y ( y e. U_ x e. A B /\ z = <. w , y >. ) )
6		df-rex 2918	. . . . . . . 8 |- ( E. y e. B z = <. w , y >. <-> E. y ( y e. B /\ z = <. w , y >. ) )
7	6	rexbii 3041	. . . . . . 7 |- ( E. x e. A E. y e. B z = <. w , y >. <-> E. x e. A E. y ( y e. B /\ z = <. w , y >. ) )
8		rexcom4 3225	. . . . . . 7 |- ( E. x e. A E. y ( y e. B /\ z = <. w , y >. ) <-> E. y E. x e. A ( y e. B /\ z = <. w , y >. ) )
9		r19.41v 3089	. . . . . . . 8 |- ( E. x e. A ( y e. B /\ z = <. w , y >. ) <-> ( E. x e. A y e. B /\ z = <. w , y >. ) )
10	9	exbii 1774	. . . . . . 7 |- ( E. y E. x e. A ( y e. B /\ z = <. w , y >. ) <-> E. y ( E. x e. A y e. B /\ z = <. w , y >. ) )
11	7, 8, 10	3bitri 286	. . . . . 6 |- ( E. x e. A E. y e. B z = <. w , y >. <-> E. y ( E. x e. A y e. B /\ z = <. w , y >. ) )
12	4, 5, 11	3bitr4i 292	. . . . 5 |- ( E. y e. U_ x e. A B z = <. w , y >. <-> E. x e. A E. y e. B z = <. w , y >. )
13	12	rexbii 3041	. . . 4 |- ( E. w e. C E. y e. U_ x e. A B z = <. w , y >. <-> E. w e. C E. x e. A E. y e. B z = <. w , y >. )
14		elxp2 5132	. . . . 5 |- ( z e. ( C X. B ) <-> E. w e. C E. y e. B z = <. w , y >. )
15	14	rexbii 3041	. . . 4 |- ( E. x e. A z e. ( C X. B ) <-> E. x e. A E. w e. C E. y e. B z = <. w , y >. )
16	1, 13, 15	3bitr4i 292	. . 3 |- ( E. w e. C E. y e. U_ x e. A B z = <. w , y >. <-> E. x e. A z e. ( C X. B ) )
17		elxp2 5132	. . 3 |- ( z e. ( C X. U_ x e. A B ) <-> E. w e. C E. y e. U_ x e. A B z = <. w , y >. )
18		eliun 4524	. . 3 |- ( z e. U_ x e. A ( C X. B ) <-> E. x e. A z e. ( C X. B ) )
19	16, 17, 18	3bitr4i 292	. 2 |- ( z e. ( C X. U_ x e. A B ) <-> z e. U_ x e. A ( C X. B ) )
20	19	eqriv 2619	1 |- ( C X. U_ x e. A B ) = U_ x e. A ( C X. B )

Syntax hints:   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   E.wrex 2913   <.cop 4183   U_ciun 4520   X. cxp 5112

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-iun 4522  df-opab 4713  df-xp 5120

This theorem is referenced by:  xpexgALT  7161  txbasval  21409  txcmplem2  21445  xkoinjcn  21490  cvmlift2lem12  31296